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1、第三章 正弦交流電路,教學重點 1了解正弦交流電的產生。 2掌握表征正弦交流電的三要素：振幅、角頻率、初相位。 3理解交流電的周期、頻率、有效值、相位與相位差等概念。 4掌握正弦交流電流、電壓的表示法(解析式、波形圖、矢量圖等)。,第3章 正弦交流電,3.1 正弦交流電的基本知識,3.2 單相交流電路,3.3 三相交流電路,3.4 安全用電,如果電流的大小及方向都隨時間做周期性變化，并且在一個周期內的平均值為零的電流稱為交流電。,一、正弦交流電的產生,3.1 正弦交流電的基本知識,二、正弦交流電的三要素,大小及方向均隨時間按正弦規律做周期性變化的電流、電壓、電動勢稱為正弦交流電流、電壓、電動勢
2、，在某一時刻 t 的瞬時值可用三角函數式(解析式)來表示，即,i ( t ) = Imsin( t i 0) u ( t ) = Umsin( t u0) e ( t ) = Emsin( t e0),i ( t ) = Imsin( t i0) u ( t ) = Umsin( t u0) e ( t ) = Emsin( t e0),式中，Im、Um、Em 分別稱為交流電流、電壓、電動勢的振幅(也稱為峰值或最大值)，電流的單位為A (安)，電壓和電動勢的單位為 V(伏)； 稱為交流電的角頻率，單位為rad/s (弧度/秒)，它表征正弦交流電流每秒內變化的電角度；i0、u0、e0 分別稱為電
3、流、電壓、電動勢的初相位或初相，單位為 rad（弧度） 或 (度)，它表示初始時刻(t = 0 時)正弦交流電所處的電角度。,振幅、角頻率、初相這三個參數稱為正弦交流電的三要素。任何正弦量都具備三要素。,1周期 正弦交流電完成一次循環變化所用的時間稱為周期，用字母 T 表示，單位為s（秒） 。顯然正弦交流電流或電壓相鄰的兩個最大值(或相鄰的兩個最小值)之間的時間間隔即為周期，由三角函數知識可知,（一）周期與頻率,2頻率, = 2 f,交流電周期的倒數稱為頻率(用符號 f 表示)，即,它表示正弦交流電流在單位時間內作周期性循環變化的次數，即表征交流電交替變化的速率(快慢)。頻率的國際單位制是Hz
4、 (赫) 。角頻率與頻率之間的關系為,在電工技術中，有時并不需要知道交流電的瞬時值，而規定一個能夠表征其大小的特定值有效值，其依據是交流電流和直流電流通過電阻時，電阻都要消耗電能(熱效應)。,設正弦交流電流 i( t ) 在一個周期 T 時間內，使一電阻R 消耗的電能為 WR ，另有一相應的直流電流 I 在時間 T 內也使該電阻 R 消耗相同的電能，即 WR = I2RT 。,（二） 有效值,就平均對電阻作功的能力來說，這兩個電流(i 與 I)是等效的，則該直流電流 I 的數值可以表示交流電流 i(t) 的大小，于是把這一特定的數值 I 稱為交流電流的有效值。理論與實驗均可證明，正弦交流電流
5、i 的有效值 I 等于其振幅(最大值)Im 的 0.707 倍，即,正弦交流電壓的有效值,正弦交流電動勢的有效值,例如正弦交流電流 i = 2sin( t30) A 的有效值 I = 20.707 A= 1.414 A，如果通過 R = 10 的電阻時，在一秒時間內電阻消耗的電能(又稱為平均功率)為 P = I2R = 20 W，即與 I = 1.414 A 的直流電流通過該電阻時產生相同的電功率。,我國工業和民用交流電源的有效值為 220 V，頻率為50 Hz，因而通常將這一交流電壓簡稱為工頻電壓。,因為正弦交流電的有效值與最大值(振幅值)之間有確定的比例系數，所以有效值、頻率、初相這三個參
6、數也可以合在一起稱為正弦交流電的三要素。,（三）相位和相位差,任意一個正弦量 y = Asin( t + 0 )的相位為( t + 0 )，本章只涉及兩個同頻率正弦量的相位差(與時間 t 無關)。設第一個正弦量的初相為 01 ，第二個正弦量的初相為 02 ，則這兩個正弦量的相位差為 12 = 01 02,并規定 |12| 180 或 |12| ,在討論兩個正弦量的相位關系時：,(1)當 12 0 時，稱第一個正弦量比第二個正弦量越前(或超前) 12 ；,(2)當 12 0 時，稱第一個正弦量比第二個正弦量滯后(或落后) | 12 | ；,(3)當 12 = 0 時，稱第一個正弦量與第二個正弦量
7、同相，如圖 3-1(a)；,(4)當 12 = 或 180 時，稱第一個正弦量與第二個正弦量反相，如圖 3-1(b)；,(5)當 12 = 或 90 時，稱第一個正弦量與第二個正弦量正交。,圖3-1 相位差的同相與反相波形,例如已知 u = 311sin(314t 30) V，i = 5sin(314t 60) A，則 u 與 i的相位差為 ui = (30) ( 60) = 90，即 u 比 i滯后 90，或 i比 u 超前90。,1、解析式表示法,i(t) = Imsin( t i0) u(t) = Umsin( t u0) e(t) = Emsin( t e0),例如已知某正弦交流電流的
8、最大值是 2 A，頻率為 100 Hz，設初相位為 60 ，則該電流的瞬時表達式為,i(t) = Imsin( t i0) = 2sin(2f t 60) = 2sin(628t 60)A,三、正弦交流電的表示法,2、波形圖表示法,圖3-2 正弦交流電的波形圖舉例,3、矢量圖表示法,正弦量可以用最大值矢量或有效值矢量表示，但通常用有效值矢量表示。,圖 3-3 正弦量的振幅矢量圖舉例,（1）振幅矢量表示法 最大值矢量表示法是用正弦量的最大值作為矢量的模(大小)，用初相角作為矢量的幅角，例如有三個正弦量 e = 60 sin( t60 ) V u = 30 sin( t30 ) V i = 5 s
9、in( t30) A 則它們的最大值矢量圖如圖3-3所示。,（2）有效值矢量表示法,有效值矢量表示法是用正弦量的有效值作為矢量的模(長度大小)，仍用初相角作為矢量的幅角，例如,則它們的有效值矢量圖如圖 3-4 所示。,圖 3-4 正弦量的有效值矢量圖舉例,交流電路:負載接到交流電源上。 單相交流電路只有一個交變電動勢，三相交流電路有三個交變電動勢。 負載元件: 電路分析：,一、概述,3.2 單相交流電路,二、純電阻電路,1、電壓、電流的瞬時值關系,2、電壓、電流的有效值關系,3、相位關系,只含有電阻元件的交流電路稱為純電阻電路，如含有白熾燈、電爐、電烙鐵等的電路。,1、電壓、電流的瞬時值關系,
10、電阻與電壓、電流的瞬時值之間的關系服從歐姆定律。設加在電阻 R 上的正弦交流電壓瞬時值 u = Umsin( t)，則通過該電阻的電流瞬時值,其中,是正弦交流電流的最大值。這說明，正弦交流電壓和電流的最大值之間滿足歐姆定律。,2、電壓、電流的有效值關系,電壓、電流的有效值關系又稱為大小關系。,由于純電阻電路中正弦交流電壓和電流的最大值之間滿足歐姆定律，因此把等式兩邊同時除以 ，即得到有效值關系，即,這說明，正弦交流電壓和電流的有效值之間也滿足歐姆定律。,3、相位關系,電阻兩端的電壓 u 與通過它的電流 i 同相，其波形圖和矢量圖如圖 3-5所示。,圖3-5 電阻兩端的電壓 u 與電流 i 的波
11、形圖和矢量圖,【例 1】在純電阻電路中，已知電阻 R = 44 ，交流電壓 u = 311sin(314t + 30) V，求通過該電阻的電流大小，并寫出電流的解析式。,解：解析式 sin(314t + 30) A，大小(有效值)為,三、純電感電路,1、電感對交流電的阻礙作用,2、電感電流與電壓的關系,純電感電路中通過正弦交流電流的時候，所呈現的感抗 XL=L=2fL,式中，自感系數L的國際單位制單位是H (亨)，常用的單位還有mH (毫亨) 、 H (微亨) 、 nH (納亨 ) 等，它們與H 的換算關系為 1 mH = 103 H，1 H = 106 H ，1 nH = 109 H。,如果
12、線圈中不含有導磁介質，則稱為空心電感或線性電感，線性電感 L 在電路中是一常數，與外加電壓或通電電流無關。,如果線圈中含有導磁介質時，則電感 L 將不是常數，而是與外加電壓或通電電流有關的量，這樣的電感稱為非線性電感，例如鐵心電感。,1、電感對交流電的阻礙作用,線圈在電路中的作用 用于“通直流、阻交流”的電感線圈稱為低頻扼流圈，用于“通低頻、阻高頻”的電感線圈稱為高頻扼流圈。,顯然，感抗與電阻的單位相同，都是 (歐)。,（1）電感電流與電壓的大小關系,電感電流與電壓的大小關系,2、電感電流與電壓的關系,（2）電感電流與電壓的相位關系,電感電壓比電流超前90(或 /2)，即電感電流比電壓滯后 9
13、0 ，如圖 3-6 所示。,圖 3-6 電感電壓與電流的波形圖與矢量圖,解：(1) 電路中的感抗 XL = L = 314 0.08 25 ,(2),(3) 電感電流 iL 比電壓 uL 滯后 90，則,【例2】 已知一電感 L = 80 mH，外加電壓 uL = 50 sin(314t 65) V。試求：(1) 感抗 XL ；(2) 電感中的電流 IL；(3) 電流瞬時值 iL。,四、純電容電路,1、電容對交流電的阻礙作用,2、電流與電壓的關系,1、電容對交流電的阻礙作用,（1）容抗的概念,反映電容對交流電流阻礙作用程度的參數稱為容抗。容抗按下式計算,容抗和電阻、電感的單位一樣，也是 (歐)
14、。,（2）電容在電路中的作用,在電路中，用于“通交流、隔直流”的電容器稱為隔直電容器；用于“通高頻、阻低頻”將高頻電流成分濾除的電容器稱為高頻旁路電容器。,（1）電容電流與電壓的大小關系,電容電流與電壓的大小關系為,2、電流與電壓的關系,（2）電容電流與電壓的相位關系,電容電流比電壓超前 90(或 /2)，即電容電壓比電流滯后 90 ，如圖3-7所示。,圖3-7 電容電壓與電流的波形圖與矢量圖,解：(1) (2) (3) 電容電流比電壓超前90，則,【例3】已知一電容 C = 127 F，外加正弦交流電壓 。試求：(1) 容抗 XC；(2) 電流大小 IC；(3) 電流瞬時值。,五、電阻、電感
15、、電容的串聯電路,1、RLC 串聯電路的電壓關系,2、RLC 串聯電路的阻抗,3、RLC 串聯電路的性質,1、RLC 串聯電路的電壓關系,由電阻、電感、電容相串聯構成的電路稱為 RLC 串聯電路。,圖 3-8 RLC 串聯電路,設電路中電流為 i = Imsin( t)，則根據 R、L、C 的基本特性可得各元件的兩端電壓： uR =RImsin( t)， uL=XLImsin( t 90)， uC =XCImsin( t 90),根據基爾霍夫電壓定律 (KVL) ，在任一時刻總電壓u 的瞬時值 u = uR uL uC,作出矢量圖，如圖 3-9 所示，并得到各電壓之間的大小關系為,上式又稱為電
16、壓三角形關系式。,圖 3-9 RLC 串聯電路的矢量圖,由于 UR = RI，UL = XLI，UC = XCI，可得,令,上式稱為阻抗三角形關系式，|Z| 稱為 RLC 串聯電路的阻抗，其中 X = XL XC 稱為電抗。阻抗和電抗的單位均是 (歐)。,2、RLC 串聯電路的阻抗,阻抗三角形的關系如圖 3-10 所示。,由矢量圖可以看出總電壓與電流的相位差,上式中 稱為阻抗角。,圖 3-10 RLC 串聯電路的阻抗三角形,根據總電壓與電流的相位差(即阻抗角 )為正、負、零三種情況，將電路分為三種性質。,1. 感性電路：當 X 0 時，即 X L X C， 0，電壓 u 比電流i超前 ，稱電路
17、呈感性； 2. 容性電路：當 X 0 時，即 X L X C， 0，電壓 u 比電流i滯后 | ，稱電路呈容性； 3. 諧振電路：當 X = 0 時，即 X L = X C， = 0，電壓 u 與電流 i 同相，稱電路呈電阻性，電路處于這種狀態時，稱為諧振狀態。,3、RLC 串聯電路的性質,【例4】 在 RLC 串聯電路中，交流電源電壓 U = 220 V，頻率 f = 50 Hz，R = 30 ，L = 445 mH，C = 32 F。試求：(1) 電路中的電流大小 I ；(2) 總電壓與電流的相位差 ；(3) 各元件上的電壓 UR、UL、UC 。,解：(1) XL = 2fL 140 ，X
18、C = 100 ，,則,(2),即總電壓比電流超前 53.1 ，電路呈感性。,(3) UR = RI = 132 V，UL = X LI = 616 V，UC = X CI = 440 V。,本例題中電感電壓、電容電壓都比電源電壓大，在交流電路中各元件上的電壓可以比總電壓大，這是交流電路與直流電路特性不同之處。,六、交流電路的功率,1、正弦交流電路功率的基本概念,2、電阻、電感、電容電路的功率,3、功率因數的提高,1、正弦交流電路功率的基本概念,（1）瞬時功率 p,設正弦交流電路的總電壓 u 與總電流i的相位差(即阻抗角)為 ，則電壓與電流的瞬時值表達式為,u = Umsin( t )，i =
19、 Imsin( t),瞬時功率為,p = ui = UmImsin( t )sin( t),利用三角函數關系式 sin( t )= sin( t)cos cos(t)sin 可得,式中 為電壓有效值， 為電流有效值。,（2）有功功率 P 與功率因數 ,瞬時功率在一個周期內的平均值稱為平均功率，它反映了交流電路中實際消耗的功率，所以又稱為有功功率，用 P表示，單位是W (瓦)。,在瞬時功率 P = UIcos1 cos(2 t) UIsin sin(2 t)中，第一項與電壓和電流相位差 的余弦值 cos 有關，在一個周期內的平均值為 UI cos ；第二項與電壓和電流相位差 的正弦值 sin 有
20、關，在一個周期內的平均值為零。則瞬時功率在一個周期內的平均值(即有功功率) P = UI cos = UI 其中 = cos 稱為正弦交流電路的功率因數。,（3）視在功率 S,定義：在交流電路中，電源電壓有效值與總電流有效值的乘積(UI)稱為視在功率，用 S 表示，即 S =UI ，單位是VA (伏安)。,S 代表了交流電源可以向電路提供的最大功率，又稱為電源的功率容量。于是交流電路的功率因數等于有功功率與視在功率的比值，即,所以電路的功率因數能夠表示出電路實際消耗功率占電源功率容量的百分比。,（4）無功功率 Q,在瞬時功率 p = UIcos1 cos(2 t) UI sin sin(2 t
21、)中，第二項表示交流電路與電源之間進行能量交換的瞬時功率，|UIsin | 是這種能量交換的最大功率，并不代表電路實際消耗的功率。,定義： Q = UI sin 把它稱為交流電路的無功功率，用 Q 表示，單位是乏爾，簡稱乏(var)。,圖 8-7 功率三角形,當 0 時，Q 0，電路呈感性；當 0 時，Q 0，電路呈容性；當 = 0 時，Q = 0，電路呈電阻性。,顯然，有功功率 P、無功功率 Q 和視在功率 S 三者之間成三角形關系，即,這一關系稱為功率三角形，如圖 8-7 所示。,2、電阻、電感、電容電路的功率,（1）純電阻電路的功率,在純電阻電路中，由于電壓與電流同相，即相位差 = 0，
22、則瞬時功率 pR = UIcos1 cos(2t) UI sin sin(2 t) = UIcos1 cos(2 t),有功功率 PR = UI cos = UI = I2R =,無功功率 QR = UI sin = 0,視在功率,即純電阻電路消耗功率(能量)。,（2) 純電感電路的功率,在純電感電路中，由于電壓比電流超前 90 ，即電壓與電流的相位差 = 90，則瞬時功率,pL = UIcos1 cos(2 t) UI sin sin(2 t) = UI sin(2 t),有功功率 PL = UI cos = 0,無功功率 QL = UI = I2XL =,視在功率,即純電感電路不消耗功率(
23、能量)，電感與電源之間進行著可逆的能量轉換。,（）純電容電路的功率,在純電容電路中，由于電壓比電流滯后 90，即電壓與電流的相位差 = 90，則瞬時功率,pC = UIcos1 cos(2 t) UI sin sin(2 t)= UI sin(2 t),有功功率 PC = UIcos = 0,無功功率 QC = UI = I2XC =,視在功率,即純電容電路也不消耗功率(能量)，電容與電源之間進行著可逆的能量轉換。,RLC 元件的特性,二、RLC 串聯電路,說明：,(1) RL 串聯電路：只需將 RLC 串聯電路中的電容 C 短路去掉，即令 XC = 0，UC = 0，則表中有關串聯電路的公式完全適用于 RL 串聯情況。,(2) RC 串聯電路：只需將 RLC 串聯電路中的電感 L 短路去掉，即令 XL = 0，UL = 0，則表中有關串聯電路的公式完全適用于 RC 串聯情況。,(3) RL 并聯電路：只需將 RLC 并聯電路中的電容 C 開路去掉，即令 XC = ，IC = 0 ，則表中有關并聯電路的公式完全適用于 R-L 并聯情況。,(4) RC 并聯電路：只需將 RLC 并聯電路中的電感 L 開路去掉，即令 XL=，IL = 0 ，則表中有關并聯電路的公式完全適用于 RC 并聯情況。,
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