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1、摘要混沌現象的研究是非線性系統理論研究中的前沿課題。蔡氏電路是一個能產生混沌行為的最簡單自治電路，該電路僅包含三個儲能元件，在該電路中能夠觀察到極為豐富的非線性動力學行為。本文對該電路的復雜動力學行為做了較為深入的仿真和硬件實驗研究，應用EWB仿真軟件對蔡氏電路的復雜動力學行為進行了計算機仿真，通過改變蔡氏電路線性電阻的阻值，在實驗中觀察、了解了其通向混沌過程中的各種現象，為蔡氏電路混沌系統在保密通信中應用奠定了基礎。關鍵詞：混沌；蔡氏電路；EWB仿真；第 1 章緒論混沌是非線性動力學系統所特有的一種運動形式，是自然界及社會中的一種普遍現象，它是一種在確定性系統中所出現的類似隨機而無規則運動的
2、動力學行為。由于其對初值的極端敏感性和類噪聲性，在保密通信技術和擴頻通信技術中具有廣闊的應用前景。設計制造出能產生穩定混沌信號的電路硬件系統是混沌應用于信息通信領域的關鍵技術之一。為此各國學者進行了一系列的研究，找到并設計出了許多可產生混沌信號的電路系統。1983年，美國貝克萊(Berkeley)大學的蔡少棠教授(Leon.o.Chua)發明了蔡氏電路(Chuas Circuit)，蔡氏電路因其簡潔性和代表性而成為研究非線性電路中混沌的典范，它是第一個能產生混沌信號的電路系統，該電路不僅廣泛地用于研究混沌特性，而且在應用混沌同步進行保密通信方面有較好的前景。1.1混沌學概述1.1.1混沌學基本
3、理論現代非線性科學是人類科學文化的重要組成部分，而混沌又是現代非線性科學的重要組成部分，混沌理論為非線性系統的研究提供了簡單有效的模型?；煦缃沂镜氖怯行蚺c無序的統一、確定性與隨機性的統一，是繼相對論和量子力學問世以來，20世紀物理學的第三次大革命?；煦鐒恿W的誕生不僅使物理學、數學本身有很大的發展，而且它的基本概念、精神實質、研究方法已經滲透到了包括人文社會科學在內的幾乎所有科學領域。混沌學既是一門科學，一種世界觀、一種方法論。它的基本觀點為：世界是確定的、必然的、有序的，但同時又是隨機的、偶然的、無序的，有序運動會產生無序，無序的運動又包含著更高層次的有序。混沌是確定性的非線性系統產生的一種
4、回復性、非周期、有界、類似隨機的行為。這種類隨機性常稱作內在隨機性，以區別于外在隨機性?！按_定性”的含義是，系統不含任何隨機項，方程完全確定?；煦缬幸韵氯齻€特征1：蝴蝶效應：蝴蝶效應即系統演化對初始條件的敏感性，在混沌出現的參數范圍內，初始條件的一個微小誤差在迭代過程會不斷地被放大，不但使迭代結果變得極為不同而最后隨機地歷經幾乎整個吸引子，由此使得系統的長期預測變得不可能。奇異吸引子：代表系統的穩定態，在相空間中是由點或點的集合表示的。這種集合對周圍的軌道有吸引作用，系統運動只有到達吸引子上才能穩定下來并保持下去。經典動力學包括三類吸引子：穩定不動點、穩定極限環和穩定環面。混沌動力學的吸引子是
5、相空間的分形幾何體，具有分數維數，稱為奇異吸引子。分形：1975年Mandelbrot的專著分形：形狀、機遇和維數標志著分形理論的誕生。人們通過列出分形的一系列特性來說明分形：分形集都具有任意小尺度下的比例細節，或者說它具有精細的結構；分形集具有某種自相似形式；分形集的“分形維數”一般嚴格大于它相應的拓撲維數；分形集通常由非常簡單的方法定義，可能以變換的迭代產生。1.1.2蔡氏混沌電路的提出蔡氏電路一直是在非線性電路中產生復雜動力學行為最有效而簡單的混沌振蕩電路之一。1983 年，在日本蔡少棠目睹了試圖在基于洛侖茲方程的模擬電路中產生混沌現象的試驗，于是他也試圖提出一個能夠產生混沌的電子電路。
6、他意識到在分段線性電路中，如果能夠提供至少兩個不穩定的平衡點(一個提供伸長，另一個折疊軌跡)，就可以產生混沌。懷著這種想法，他系統地證明了那些含有簡單的由電壓控制的非線性電阻的三階分段線性電路能夠產生混沌現象。證明了電壓控制非線性電阻NR的驅動點特征應符合至少有兩個不穩定平衡點的要求，于是，他發明了蔡氏電路如圖1-1。0C1C2RNRL圖 1-1 蔡氏電路方框圖蔡氏電路中的非線性電阻NR又稱為蔡氏二級管?？捎枚喾N方法實現。由圖可以看到，蔡氏電路是由電阻電容和電感及蔡氏二極管組成的三階自治電路，在滿足以下條件時能夠產生混沌現象2：(a)非線性元件不少于1 個；(b)線性有效電阻不少于1 個；(c
7、)儲能元件不少于3 個。符合以上標準的最簡單電路，就是混沌電路之一典型蔡氏電路。蔡氏電路的運動形態因元件參數值的不同而有本質的不同，可以把電路元件參數值看作控制參數而使蔡氏電路工作在不同的狀態?，F在以其中的線性電阻R(方程中的RG1)為例說明，R兩端分別是線性元件與蔡氏二極管，R將這二者連接在線性元件2C、L端，R是非耗能元件，蔡氏二極管是放能元件，只有R是耗能元件。不斷地改變電阻R的數值，可以得到各種周期相圖和吸引子。1.1.3 混沌的發展與前景展望目前，混沌系統的控制研究已經取得了一定的成果。國內外學術界發表了許多有關控制混沌系繞和混沌現象方面的論文，理論研究除了涉及到以上所介紹的方法外，
8、還有參數擾動OGY 的各種改進法、納入軌道和強迫遷徒法、弱周期擾動、偶然正比技術法、跟蹤法、連續變量反饋法、正比變量脈沖反饋法、線性和非線性反饋法、直接反饋法、變量反饋法、參數共振法、工程反饋控制法、分布參數系統的人工智能控制(包括神經網絡和隨機控制方法的嘗試)等等。在應用方面，主要包括混沌信號同步化和保密通信，混沌預測，混沌神經網絡的信息處理、混沌與分形圖像處理，基于混沌的優化方法、混沌生物工程、天氣系統、生態系統、混沌經濟等。此外，控制混沌的技術還被應用到神經網絡、激光、化學反應過程、流體力學、非線性機械故障診斷系統、非線性電路、天體力學、醫療以及分布參數的物理系統的研究工作中去.人們已經
9、對混沌控制進行了大量的研究，并已取得了許多結果，但是混沌控制仍是一個全新的科學前沿，很多系統的理論和有效的方法尚待發展3。1.2 課題來源及論文的主要內容1.2.1 課題來源混沌是非線性確定系統中由于內稟隨機性而產生的外在復雜表現，是一種貌似隨機的非隨機運動。它的基本特征之一是系統對初始條件的極端敏感性，即初始條件的微小差異會隨時間的演化呈指數增長，最終不可接受。其長期行為表現出明顯的隨機，不可控制和不可預測。人們對混沌現象的研究起始于70 年代后期。被譽為“混沌之父”的美國科學家Lo renz 曾經給出過一個通俗的定義：一個真實的物理系統，在排除了所有的隨機性影響以后，仍有貌似隨機的表現，那
10、么這個系統就是混沌的。1983 年，蔡少棠教授首次提出了著名的Chua電路，它是迄今為止在非線性電路中產生復雜動力學行為的最有效而簡單的混沌振蕩電路之一。通過對Chua 電路參數的改變，可產生從倍周期分岔、單渦卷、周期3 到雙渦卷等十分豐富的混沌現象，從而使人們能從電路的角度較為方便地對混沌機理與特性進行研究。由此，本次設計的主要任務就是在設計和實現蔡氏電路方面做一嘗試，在計算機上仿真蔡氏電路并對其進行硬件實驗，通過觀察其豐富的分岔和混沌現象，加深對非線性系統的復雜動力學行為及混沌現象的理解，從而為進一步蔡氏電路的應用奠定基礎。1.2.2 論文的主要內容本次設計的主要目標是從數學模型入手，對蔡
11、氏非線性電路進行計算機仿真和電路實驗。論文的主要內容包括：第1章：緒論。簡要介紹了混沌學的基本理論、蔡氏電路提出的背景和過程以及混沌的發展與前景展望，討論了本文的課題來源及論文的主要內容。第2章：蔡氏電路結構及數學模型。主要介紹了蔡氏電路的電路結構、數學模型，討論了蔡氏電路中的非線性電阻，并對蔡氏電路的模型和參數值進行簡要分析，為電路仿真和硬件實現提供理論基礎。第3章：蔡氏電路仿真實現及分析。詳細介紹了蔡氏電路仿真的背景、過程及仿真結果，并對其進行細致分析，在仿真中用了多種仿真軟件對電路仿真，并在最后對仿真軟件進行了對比。第4章：蔡氏電路硬件實現及分析。這一章主要介紹了蔡氏電路硬件實現的具體過
12、程，并對硬件實驗得到的各種實驗現象進行討論。第5章：蔡氏電路混沌同步研究。在蔡氏電路的基礎上，運用EWB軟件對混沌同步系統進行模擬仿真，討論了仿真的結果，并介紹了混沌電路同步研究的意義。第6章：結論。對整個實驗過程中遇到的困難進行總結，陳述了主要幾個難題及其解決方法。第 2 章蔡氏電路結構及模型分析2.1 典型蔡氏電路結構與狀態方程1983年，美國貝克萊(Berkeley)大學的蔡少棠(Leon.O.Chua)教授發明了蔡氏電路(Chuas Circuit)，蔡氏電路因其簡潔性和代表性而成為研究非線性電路中混沌的典范。蔡氏電路是由線性電阻電容、電感和非線性“蔡氏二極管”組成的三階自治電路，它滿
13、足以下一種能夠產生混沌的條件：(a)非線性元件不少于一個；(b)線性有效電阻不少于一個；(c)儲能元件不少于三個，蔡氏電路符合以上標準，如圖2-1。0C1C2RNRL圖 2-1 蔡氏電路方框圖根據圖2-1可以列寫蔡氏電路的三階微分方程組為：11211vfvvGdtdvCLivvGdtdvC2122(2-1)2vdtdiLL其中，Li是流經電感的電流，1v、2v、rv分別是1C、2C和非線性電阻兩端的電壓，G是可調阻抗器的電導，nRG1是等效非線性電阻的電導。rrvfvfi1它是一個三段線性的分段線性函數：EvvmmEvmEvvmEvvmmEvmvfirrr10110111101101,(2-2
14、)也可以寫成：EvEvmmvmvf110110121(2-3)Evx1，Evy2，EGizL(2-4)如果定義：2GtG，Gma1，Gmb0，21CC，22LGC(2-5)則原微分方程組式(2-1)變為：xfyxddxzyxddy(2-6)yddz其中：1,1,1,xbabxxaxxbabxxf(2-7)2.2蔡氏電路模型分析2.2.1 蔡氏二極管蔡氏電路中的非線性電阻NR也被稱為蔡氏二極管，可用多種方式實現。一個典型的蔡氏電路如圖 2-2 所示。圖 2-2 典型的蔡氏電路另一種典型的蔡氏電路如圖 2-3 所示，也是經常被討論的一個電路。圖 2-3 另一種典型的蔡氏電路圖 2-2 和圖 2-3
15、 的區別就在于蔡氏二極管的實現方法不同。本文主要討論圖 2-2所示的蔡氏電路，這里使用的是 Kennedy 于 1993 年提出的方法4：使用 2 個運算放大器和 6 個電阻，其電路圖及其伏安特性曲線如圖 2-4 和圖 2-5 所示。圖 2-4 蔡氏二極管圖 2-5 蔡氏二極管的伏安特性它相當于兩個非線性電阻1NR和2NR的并聯。圖 2-6 給出1NR和2NR電路及其伏安特性。(a)1NR電路(b)2NR電路(c)1NR伏安特性(d)2NR伏安特性圖 2-6 兩個非線性電阻及其伏安特性圖 2-6 中v是兩個非線性電阻兩端電壓，由于兩電阻是并聯，故電壓是相等的。1i和2i分別是流入1NR、2NR
16、的電流。satVRRRE2111satVRRRE5442(2-8)satV是運放得輸出飽和電壓，它與運放的工作電源有關。適當選取電阻參數值，使2E遠大于1E，也遠大于蔡氏電路工作時1CV的變化范圍，則在電路的工作范圍內，2NR是一個線性負電阻，1NR和2NR并聯后可實現圖 2-5 中非線性電阻的伏安特性，其中434121111111RRGRRGVRRREEbasat(2-9)2.2.2電路中各元件參數標稱值的確定電路的混沌特性是由其元件參數值確定的，只有元件的參數值在可能的范圍內系統才有可能出現混沌現象，文獻 5 對此進行了有益的探討，但只是給出了蔡氏混沌電路產生分岔時元件R，1C，2C，L與
17、im的關系式和畫出了系統產生穩定周期解的參數區域，要確定元件值還是得靠假設，對硬件實現的參考作用不大?，F有的其他文獻所給出的元件參數值，硬件實現時可行性都比較差，有些給出的元件參數值在現實中根本就找不到與之對應的標稱值元件，經過分析發現其容差范圍也較小，參數值稍有偏差系統就可能脫離混沌狀態，這樣就需要去分析并尋找出蔡氏電路出現混沌信號時元件的參數空間，以便確定出電路系統產生穩定混沌信號時各元件的參數標稱值去指導硬件的實現。另外，蔡氏電路雖然簡單，但是由于電路的混沌特性對元件參數的敏感性，現有文獻只是單一地控制電阻器的阻值變化而其余元件的參數值固定不變來對電路進行研究，而對電路中各個元件參數都發
18、生變化以及其各種變化的組合形式改變時電路系統的變化的研究鮮見報道，這顯然與電路的實際工作環境相差甚遠。文中針對這些情況，利用計算機仿真分析技術和理論分析，對蔡氏混沌電路處于實際工作環境時各元件參數值進行了容差分析，得到了一些重要的結論，為混沌振蕩電路的硬件實現提供了有益的理論指導。關于混沌電路元件參數的確定方法，在文獻6中已論述了這方面的問題。他們通過仿真分析后認為混沌信號的頻譜分量絕大多數都集中在直流分量到基波分量Hf(Hopf 分岔點附近周期或最不穩定周期軌道的頻率)之。在文獻7中導出了蔡氏電路極限環頻率表達式：2111mmfH(2-10)基于此式便可估計出各元件的參數值.蔡氏電路系統式(
19、2-1)中共有 3 個平衡點：EuGGEGGGGGEGGiuuPEuGGEGGGGGEGGiuuPEuiuuPbabbabLbabbabaLL121012101210,0,:,0,:,0,0,0,:(2-11)由于蔡氏電路狀態方程中參數達7個之多，為了分析的簡便需將其簡化為無量綱形式.也就是前面列出的式(2-6)，現重寫如下：xfyxddxzyxddy(2-12)yddz式中：1121101xxmmxmxf(2-13)aRGm 0，bRGm 1(2-14)電路中蔡氏二極管的分段線性轉折點電壓 E 及斜率 Ga，Gb 與元件參數的關系式現重寫如下：434121111111RRGRRGVRRREE
20、basat(2-15)式中satV為運放的輸出飽和電壓，它與運放的工作電壓有關。元件參數值kR3.31，kRR2232，kR2.24，22065RR；運放的工作電源電壓取12V。將以上值代入式(2-11)可計算出msGa76.0，msGb41.0，VE1。下面首先確定電阻R及電容1C的值，基于分析和綜合現有的文獻可以得出R不宜取值太大但又要與實際元件的標稱值相符，故其值宜取R=1.6或1.8 k(最佳為1.6 k)；而1C則不能取值太小且也要與實際元件標稱值相符，故其值宜取1C=5.1 或10 nF。這里取R=116 k，可得0m=-1.216，1m=-0.656，若取R=1.8 k，則0m=
21、-1.368，1m=-0.7388。這樣就確定了式(2-13)中參數0m，1m的值，將其固定不變，只需分析參數，的變化對系統輸出特性的影響，簡化了分析的難度.用 Matlab 仿真并結合理論分析畫出了參數平面中雙渦卷混沌區域圖(見圖 2-7)。從圖中可以看出，參數由大變小時系統狀態由平衡點周期倍周期分岔單渦卷混沌吸引子區進入雙渦卷混沌吸引子區，最后至系統失穩區；而參數則是由小變大時系統狀態由平衡點周期倍周期分岔單渦卷混沌吸引子區進入雙渦卷混沌吸引子區，最后至系統失穩區。圖 2-7-平面上的蔡氏電路系統狀態圖基于圖2-7并利用式(2-4)和式(2-5)進行反變換可得到蔡氏電路出現雙渦卷混沌吸引子
22、時元件標稱值有很多。根據圖 2-7 和最小二乘法原理導出了雙渦卷混沌區域中心曲線方程：11.4737.1027.02(2-16)只要參數，滿足式(2-16)，再經式(2-4)和式(2-5)反變換就可得到電路元件參數值，在該參數值下，系統都會出現雙渦卷混沌吸引子。另外，由于式(2-16)所確定的，值代表了混沌區域中的各中心點，所以，值滿足式(2-16)時，系統出現混沌動態變化范圍為近似最大。因此，據此確定元件參數值時，電路中各元件參數值的容差范圍將是近似最大，下一章的仿真實驗也說明了這一點。第 3 章蔡氏電路仿真實現及分析3.1 結構化仿真的意義實際蔡氏電路的實驗具有一定的難度，這是由于混沌運動
23、對于電路元件參數的誤差特別敏感，一般說來，蔡氏電路中只要一個電路元件的誤差超過 1%就有可能導致整體設計的失敗9。典型蔡氏電路實驗需要仔細選擇電子元器件，電子市場買到的普通電感器一般不能產生混沌輸出，電子市場買到的普通電容器一般離散性很大，需要精心選擇。并且電子器件的參數往往與其標稱值有一定的差異，造成元件選擇有一定的困難，電阻電容的參數隨溫度變化較大，這些都對用電子元器件構成的蔡氏電路的精度和穩定性造成影響。這是混沌電子線路實驗的特點10。這種特點使非線性電路的設計極易失敗，同時使線性電子線路實驗具有很大的局限性，所以混沌電路對于系統設計和參數失配的問題尚需要進一步的研究，但對參數失配和初始
24、條件敏感則恰恰是混沌通信的保密性所在。針對上述存在的問題，我們想到了利用計算機軟件強大的仿真功能，在計算機上進行模擬仿真，既可以省去篩選元器件的麻煩，又可以提高實際效能。3.2.EWB仿真蔡氏電路的混沌演變3.2.1 EWB軟件簡介電子工作平臺 Electronics Workbench(EWB)(現稱為 MultiSim)軟件是加拿大 Interactive Image Technologies 公司于八十年代末、九十年代初推出的電子電路仿真的虛擬電子工作臺軟件，它具有這樣一些特點11：(1)采用直觀的圖形界面創建電路：在計算機屏幕上模仿真實實驗室的工作臺，繪制電路圖需要的元器件、電路仿真需
25、要的測試儀器均可直接從屏幕上選??；(2)軟件儀器的控制面板外形和操作方式都與實物相似，可以實時顯示測量結果。(3)EWB 軟件帶有豐富的電路元件庫，提供多種電路分析方法。(4)作為設計工具，它可以同其它流行的電路分析、設計和制板軟件交換數據。(5)EWB 還是一個優秀的電子技術訓練工具，利用它提供的虛擬儀器可以用比實驗室中更靈活的方式進行電路實驗，仿真電路的實際運行情況，熟悉常用電子儀器測量方法。下面對 EWB 軟件的界面及元件庫進行簡單介紹。1.Electronics Workbench 軟件界面(1)EWB 的主窗口圖 3-1 EWB 的主窗口(2)元件庫欄圖 3-2(3)信號源庫圖 3-
26、3(4)基本器件庫圖 3-4(5)二極管庫圖 3-5(6)模擬集成電路庫圖 3-6(7)指示器件庫圖 3-7(8)儀器庫圖 3-8從上述所有圖庫我們可以看到，由于 EWB 增加了虛擬測量儀器、實時交互控制元件和多種受控信號源模型，除了可以給出以數值和曲線表示的 SPICE 分析結果外，EWB 還提供了獨特的虛擬電子工作臺仿真方式，可以用虛擬儀器實時監測顯示電路的變量值，頻響曲線和波形。仿真的步驟為：(1)輸入原理圖，在工作區放置元件的原理圖符號，連接導線，設置元件參數；(2)放置和連接測量儀器，設置測量儀器參數；(3)啟動仿真開關，在儀器上觀察仿真結果。將EWB 電子平臺軟件應用于蔡氏電路仿真
27、實驗,既增加了該實驗的方法,又補足了其他實驗方式的欠缺之處,效果好又簡單、直觀。在實驗中可以很方便的改變電路元件參數值，從而觀察電路狀態的變化情況。3.2.2 EWB仿真蔡氏電路的過程運用電子工作平臺(EWB)軟件對蔡氏電路進行仿真，其具體步驟如下：1.首先在該軟件的主窗口中新建一個新文件“基本蔡氏電路”，文件的后綴名是“ewb”。2.打開元件庫欄，移動鼠標到需要的元件圖形上，按下左鍵，將元件符號拖拽到工作區。元件的旋轉、反轉、復制和刪除操作：用鼠標單擊元件符號選定，用相應的菜單、工具欄，或單擊右鍵激活彈出菜單，選定需要的動作。3.元器件參數設置：選定該元件，從右鍵彈出菜單中選 Compone
28、nt Properties可以設定元器件的標簽（Label）、編號（Reference ID）、數值（Value）和模型參數（Model）、故障（Fault）等特性。4.連接元器件：鼠標指向一元件的端點，出現小園點后，按下左鍵并拖拽導線到另一個元件的端點，出現小園點后松開鼠標左鍵。5.電路圖選項的設置：Circuit/Schematic Option 對話框可設置標識、編號、數值、模型參數、節點號等的顯示方式及有關柵格（Grid）、顯示字體（Fonts）的設置，該設置對整個電路圖的顯示方式有效。其中節點號是在連接電路時，EWB自動為每個連接點分配的。6.蔡氏電路仿真所使用到的元件及儀器如下：(
29、1)示波器圖 3-9示波器為雙蹤模擬式，其圖標和面板如下圖所示。其中：Expand-面板擴展按鈕；Time base-時基控制；Trigger-觸發控制；包括：1Edge-上（下）跳沿觸發Level-觸發電平2觸發信號選擇按鈕：Auto（自動觸發按鈕）；A、B（A、B 通道觸發按鈕）；Ext（外觸發按鈕）。X（Y）position-X（Y）軸偏置；Y/T、B/A、A/B-顯示方式選擇按鈕（幅度/時間、B 通道/A 通道、A 通道/B 通道）；AC、0、DC-Y 軸輸入方式按鈕（AC、0、DC）。在我們仿真試驗中，觀察相圖時示波器的設置為 Time base：0.01ms/div,channel
30、 A：500mv/div,channel B：500mv/div,顯示方式選擇“B 通道/A 通道”。(2)線性電阻 7 個：分別為 1.5k(1 個)，2.2k(1 個)，3.3k(1 個)，22k(2個)，220(2 個)。(3)電容：2 個。一個為 100nF，一個為 10nF。(4)電感：1 個，電感值為 17mH。(5)五端運放：2 個。(6)直流電源：2 個，均為 15V。(7)接地：1 個。選好元器件進行連接，然后對每個元器件進行參數設置，完成之后就可以對蔡氏電路進行仿真了。雙擊該圖最上方的示波器，雙擊它就可以看到示波器的控制面板和顯示界面，在控制面板上可以通過相關按鍵對顯示波形
31、進行調節。圖 3-10 蔡氏電路仿真原理圖3.2.3蔡氏二極管伏安特性實驗為了驗證所設計的蔡氏二級管是否符合第 2 章所要求的伏安特性，我們用如下電路來測量非線性電阻的伏安特性。按圖 3-11 接線，圖中NR可以是圖 2-6所示的非線性電阻1NR和2NR，也可以是1NR和2NR并聯后形成的蔡氏二極管。依次用這三個非線性電阻替換圖中的NR，可以利用此實驗電路研究它們的伏安特性，仿真電路圖如圖 3-12。仿真結果如圖 3-13 所示。圖 3-11非線性電阻實驗原理圖(a)蔡氏二極管伏安特性 EWB 仿真電路圖(b)1NR伏安特性 EWB 仿真電路圖(c)2NR伏安特性 EWB 仿真電路圖圖 3-1
32、2 非線性電阻伏安特性 EWB 仿真電路圖元件參數值已標注在仿真電路圖中，運放的工作電源取為9V。信號源為三角波，其輸出幅度從-3V 到 3V。為測量電流i，在電路中串聯了一個 10的取樣電阻R，其電壓v與電流i成正比。數字示波器記錄的實驗結果如圖 3-13 所示。根據所標注的元件參數及所取工作電源值，由式(2-9)可算得蔡氏二極管的參數為aG=-0175m S，bG=-0141m S，E1V?？梢娖浞抡嫠玫降闹蹬c第 2 章中的理論計算值吻合的很好。為方便說明，我們將圖由圖 3-13 我們可以看到，實驗所得的伏安特性曲線與第 2 章的理論曲線基本相符。(a)仿真圖形(b)理論圖形(1)1NR
33、的伏安特性(a)仿真圖形(b)理論圖形(2)2NR的伏安特性(a)仿真圖形(b)理論圖形(3)蔡氏二極管伏安特性圖3-13 非線性電阻EWB仿真結果3.2.4蔡氏電路中的電感Chua 電路中存在線性電感，由于其難于集成，給電路帶來不少困擾，影響了電路在實際中的應用。文獻12設計了一種利用集成運放、線性電阻和電容組成的模擬電感電路，利用模擬電感電路對 Chua 電路進行改進，取得了良好的效果，為實際的應用奠定了基礎。本文采用 EWB 軟件對該模擬電感進行計算機仿真，首先設計一種測量模擬電感的方法，然后將該電感運用在蔡氏電路中以觀察其仿真結果。1.模擬電感及其測量電路(1)電壓三角形方法測量模擬電
34、感的仿真電路圖3-14 測量模擬電感的EWB仿真電路其中，模擬電感的電路圖為：圖3-15 模擬電感EWB仿真圖(2)使用電壓三角形方法測量模擬電感當電阻R與電感L串聯，R在上L在下，信號源正弦波電壓SV加到此RL串聯電路上，示波器通道 1 接R上端，示波器通道 2 接L上端，示波器讀數分別為與LV，因為22LSRVVV222LSVVRI得222RVVILS而LVfLI 2得22222222LSLLSLLVVfRVRVVfVfIVL根據以上模擬電感電路 EWB 仿真，看出，當信號源正弦波 100mV(峰峰值200mV)，串聯 kR 1電阻，示波器讀數mVVS1.197，示波器讀數mVVL94，因
35、此，mVVVVLSR24.17322，代入數據，得mHL17。這個值與理論上討論的蔡氏電路電感的標稱值相吻合。2.用模擬電感改進 Chua 電路的可行性從研究中發現圖 3-15 所示的模擬電感電路具有純電感元件的特性，所以可以利用模擬電感電路對 Chua 電路進行改進，以便于 Chua 電路在實際中更好地被應用。具體實現方法是：用圖 3-15 所示的模擬電感電路代替圖 3-10 所示 Chua 電路中的電感元件。具體電路如圖 3-16 所示。圖 3-16 模擬電感代替無源電感的蔡氏電路對改進前后的電路進行仿真，得到改進前的1V時域波形如圖 3-17 所示，改進后的1V時域波形如圖 3-18 所
36、示，改進前后的21VV 相平面圖如圖 3-19 所示。從結果中可以發現，改進后的 Chua 電路與圖 3-10 所示的 Chua 電路具有相同的特性，所以這一改進方案是可行的。圖 3-17電路改進前的1V時域波形圖圖 3-18 電路改進后的1V時域波形圖(a)改進前雙渦卷混沌吸引子(b)改進后雙渦卷混沌吸引子圖 3-19改進前后的 Chua 電路所產生的雙渦卷混沌吸引子蔡氏電路中的電感器L，它沒有串聯的一個等效小電阻，而實際電感器L總是等效串聯一個小電阻的，若考慮這個小電阻，這種蔡氏電路就叫做蔡氏振蕩器。由于蔡氏振蕩器分析結果很麻煩，沒有多大的理論價值，一般不予討論。但是電感器L等效串聯小電阻
37、，這就引出幾個問題：第一，若用實際電感器L組成蔡氏電路，必須考慮L小電阻的影響，仿真時要在L上串聯一個小電阻。第二，若要使用無誤差的理想化的L，必須專門設計L，可用運算放大器電路實現，這就是有源電感的應用。3.2.5蔡氏電路電壓和電流圖分析1、波形圖分析典型蔡氏電路的電壓、電流波形呈現復雜的運動形態，處于無休止的運動，并且不是周期性的運動，其中1V與Li在兩個正、負數值之間跳來跳去，波形相同；2V在零附近無規則地變化，如圖 3-20 所示。(a)1v波形(b)2v波形(c)Li波形圖 3-20 典型蔡氏電路1v、2v與Li信號輸出波形2、相圖分析蔡氏電路的相圖是LiVV21三維空間的相軌跡流線
38、圖，在21VV、LiV 1、LiV 2三個相平面的透影如圖 3-21(a)、(b)、(c)所示，將 3 個相圖畫在一起并用立體圖的形式表示則見圖 3-21(d)。由相圖清楚可見，相圖軌線在三維相空間中圍繞兩個點旋繞并在這兩個點之間跳來跳去，永不閉合，運動是無周期的。蔡氏電路的這一個運動形態被蔡氏叫做“雙渦旋”，因為它的相圖很象兩個靠近的旋渦。圖 3-21(e)是三維相圖的形象化畫法。(a)21VV 平面相圖(b)LiV 1平面相圖(c)LiV 2平面相圖(d)三維相圖產生的三個平面相圖(e)三維相圖刻畫圖 3-21 典型蔡氏電路雙渦旋輸出相圖3.2.6蔡氏電路元件參數對運動形態的影響蔡氏電路的
39、運動形態因元件參數值的不同而有不同的拓撲性質，上述典型蔡氏電路的運動形態僅僅是一個特例，可以把電路元件參數值看作控制參數而使蔡氏電路工作在不同的拓撲結構狀態?，F在以其中的線性電阻R為例說明。R兩端分別是線性元件與蔡氏二極管，R將這二者連接。在線性元件2C、L端，是非耗能元件(儲能元件)，蔡氏二極管是放能元件，只有R是耗能元件。將R的參數為控制變量進行討論，為了使得討論過程方便，將電阻R從大到小的順序進行討論，使用圖 3-2 的電路參數，重點討論R在 1.298k-1.92k這一范圍的狀態。先考慮R很大的情況，即R1.92k，例如R為 100k，電路狀態變化中1V與2V相圖為穩定焦點，呈蝌蚪形，
40、為衰減振蕩，這就是不動點。圖 3-22。(a)R=1.92k(b)R.=2.0k圖 3-22R逐漸減小至 1.911k時，等幅振蕩，如圖 3-23。圖 3-23R逐漸減小至 1.910k時，增幅振蕩開始，L、2C振幅增至 3.7V，1C蔡氏二極管振幅增至 3.7V，周期 1，如圖 3-24。(d)R=1.91k，t=114.43ms圖 3-24R=1.9181.820k，周期 2，如圖 3-25。(a)R=1.918k(b)R=1.820k圖 3-25R=1.8191.818k，周期 4，如圖 3-26。(a)R=1.819k(b)R=1.818k圖 3-26R=1.787k，周期 8，如圖
41、3-27。圖 3-27R=1.787kR=1.786k，周期 16，如圖 3-28。圖 3-28 R=1.786kR繼續減少至1.750k為單渦旋圖形，這是電路第一次進入單渦旋混沌，為洛斯勒形混沌吸引子，如圖3-29。對比圖3-28和圖3-29我們可以看到，當電路處于單渦旋混沌狀態時,改變電路的初始狀態,可分別觀察到向左和向右的兩種單渦旋混沌吸引子相圖(電路工作時,在C1 兩端并聯一個幾十毫亨的電感再突然斷開,有可能改變電路的初始狀態)。在第4章的硬件電路實驗中也可以觀察到該現象。圖 3-29 R=1.750kR繼續減少會出現周期 3、周期 6、周期 12 等，并第二次進入單渦旋混沌。這樣繼續
42、周期-混沌-周期-混沌地演變，直至洛斯勒形混沌結束。減少至R=1.7165k時演變成雙渦旋圖形。基本范圍是R為 1.716k1.300k。仔細調試R值(在1/10000 精度內)并仔細觀察還會發現，雙渦旋混沌相圖的演變中也有各種“周期”出現，例如R=1.349k時出現“周期 5”，R=1.324k時出現“周期 3”等，如圖 3-30。(a)R=1.7165K(b)R=1.349K(c)R=1.324K圖 3-30R=1.320K1.300k，無波形，有一個短暫的不動點。200K1.000k時，10.0mS 之前不動，之后緩慢增幅振蕩從而達到最大振幅，呈單葉周期，如圖 3-31。圖 3-31各種
43、演變的波形圖如圖 3-32 所示。(a)穩定焦點，1v波形(b)周期 1，1v波形(c)周期 3，1v波形(d)單渦旋，1v波形(e)雙渦旋，1v波形(f)穩定焦點，2v波形(g)周期 1，2v波形(h)周期 3，2v波形(i)單渦旋，2v波形(j)雙渦旋，2v波形圖 3-32 蔡氏電路 V1 與 V2 信號輸出波形觀察圖 3-32 我們可以看到，從穩定焦點的產生一直到周期三產生期間，2v的波形基本保持不變，直到單渦旋混沌發生，2v波形變得極不穩定，在零附近無規則地變化，作非周期運動。1v的波形在周期三之前保持穩定規律，周期三到來后，其值在兩個正、負數值之間跳來跳去，也變得極不穩定。這是混沌現
44、象的運動復雜性決定的。改變蔡氏電路的其它元件參數如L、1C、2C等參數范圍，也能夠得到類似結論。此處限于篇幅不再展開討論。3.2.7蔡氏電路頻譜分析因為蔡氏電路輸出波形不是周期波形，也不是噪聲，而是一個混沌吸引子。這一特點決定它的頻譜不是離散譜，也不是光滑連續譜，而是不光滑連續譜。L、1C點的頻譜在不同電路狀態下的頻譜圖如圖 3-33 所示。周期 1(R=1.83K)周期 2(R=1.80K)單渦旋混沌(R=1.75K)雙渦旋混沌(R=1.50K)“周期 5”(R=1.3525K)圖 3-33 頻譜圖由上敘述可見，R的變化引起蔡氏電路運動形態拓撲結構的變化。為了便于看出蔡氏電路中混沌工作區域范
45、圍在參數中的位置，特將R參數值作為橫坐標予以表示，如圖 3-34 所示。雙蝸圈混沌n混沌2周期3混沌1周期n周期2周期1衰減振蕩極限環（穩定焦點）1.2971.31.41K本具體電路混沌尺度本類型電路混沌尺度電子電路尺度物理尺度1.51.6 1.71.9 1.9221.1K1.2K1.3K 1.4K 1.6K1.8K 1.9K1101001K10K100K1M圖 3-34 蔡氏電路中混沌工作區域范圍示意圖由圖可見，混沌工作區域范圍在參數中所占的比例很小13，在經典電子學中，這個范圍在電子學工作者的經驗中可以完全被忽略，這在其它學科中也是類似的，正是這個原因使得混沌現象在歷史上多次被觀察到而多次
46、被忽視。3.3 蔡氏電路仿真軟件的選擇對于蔡氏電路仿真方法，除了 EWB 之外還有許多專用軟件都可以實現，例如：Pspice，Matlab，VB 等等14。但是盡管有許多種專用軟件可以選擇，但是任何一種專用軟件都遠遠不能滿足我們的要求。在做蔡氏電路仿真的時候，我嘗試過用其他幾種軟件來實現，此處限于篇幅，只描述了應用 EWB 進行仿真的過程及結果，對其他軟件不再一一贅述，只對這幾種軟件的仿真實現做一對比，將它們在蔡氏電路仿真方面的應用情況列表如下。表 3-1蔡氏電路仿真軟件特點對比一覽表軟件名稱功能原理圖電路原理圖波形圖相圖頻譜圖管理界面Protel最好最好好無好無Pspice好好好好很好無EWB好好好很好很好無VewSystem好好好很好很好無Matlab很好無很好很好編程編程VB無無編程技巧編程技巧編程編程技巧VC無無編程技巧編程技巧編程編程技巧
蔡氏電路的仿真設計論文
