2022-2023學年福建省永安市高一年級下冊學期5月月考數學試題【含答案】

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1、數學試題 完卷時間120分鐘；滿分150分 第Ⅰ卷 一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的． 1．復數的虛部為（ ） A．1 B． C． D． 2．已知平面向量，，且，則（ ） A． B． C． D． 3．如圖，是的直觀圖，則是（ ） A．正三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．以上都有可能 4．下圖是一組數據的頻率分布直方圖，設這組數據的平均數為M，中位數為N，則關于M與N的大小關系，下面說法正確的是（ ） A． B． C． D．不確定 5．云南某鎮因地制宜，在政府的

2、帶領下，數字力量賦能鄉村振興，利用“農抬頭”智慧農業平臺，通過大數據精準分析柑橘等特色產業的生產數量、價格走勢、市場供求等數據，幫助小農戶找到大市場，開啟“直播電商”銷售新模式，推進當地特色農產品“走出去”；通過“互聯網旅游”聚焦特色農產品、綠色食品、生態景區資源．下面是2022年7月到12月份該鎮甲、乙兩村銷售收入統計數據（單位：百萬）： 甲：5，6，6，7，8，16； 乙：4，6，8，9，10，17． 根據上述數據，則（ ） A．甲村銷售收入的第50百分位數為7百萬 B．甲村銷售收入的平均數小于乙村銷售收入的的平均數 C．甲村銷售收入的中位數大于乙村銷售收入的中位數 D

3、．甲村銷售收入的方差大于乙村銷售收入的方差 6．“春雨驚春清谷天，夏滿芒夏暑相連，秋處露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月兩節不變史，最多相差一兩天．”中國農歷的“二十四節氣”，凝結著中華民族的智慧，是中國傳統文化的結晶，如五月有立夏、小滿，六月有芒種、夏至，七月有小暑、大暑，現從五月、六月、七月這六個節氣中任選兩個節氣，則這兩個節氣恰在同一個月的概率為（ ） A． B． C． D． 7．在中，已知角A，B，C所對邊長分別為a，b，c，且滿足，，D為BC的中點，，則（ ） A． B．3 C． D．4 8．兩個邊長為4的正三角形與，沿公共邊AB折疊成的二面角，若點A，B，C，D

4、在同一球O的球面上，則球O的表面積為（ ） A． B． C． D． 二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分． 9．已知復數，則下列說法正確的是（ ） A． B．z的共軛復數是 C．復數z對應的點位于第二象限 D． 10．設平面向量，滿足，且，則（ ） A． B． C． D．與的夾角為 11．設A，B為兩個隨機事件，以下命題正確的為（ ） A．若A，B是互斥事件，，，則 B．若A，B是對立事件，則 C．若A，B是獨立事件，，，則 D．若，

5、，且，則A，B是獨立事件 12．如圖，在幾何體中，平面平面，，，平面，底面為直角梯形．，E為的中點，，則（ ） A． B． C．AC與所成角的余弦值為 D．幾何體的體積為2 第Ⅱ卷 三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中的橫線上． 13．2020年新冠肺炎疫情期間，為停課不停學，某高中實施網上教學．該高中為了解網課學習效果，組織了一次網上測試．并利用分層抽樣的方法從高中3個年級的學生中隨機抽取了150人的測試成績，其中高一、高二年級各抽取了40人，50人，若高三年級有學生1200人，則該高中共有學生________人． 14．若樣本數據的方

6、差為3，則數據的方差為________． 15．已知復數是關于x的方程的一個根，則________． 16．一所初級中學為了估計全體學生的平均身高和方差，通過抽樣的方法從初一年級隨機抽取了30人，計算得這30人的平均身高為，方差為30；從初二年級隨機抽取了40人，計算得這40人的平均身高為，方差為20；從初三年級隨機抽取了30人，計算得這30人的平均身高為，方差為10．依據以上數據，若用樣本的方差估計全校學生身高的方差，則全校學生身高方差的估計值為________． 四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟． 17．（10分） 已知向量，滿足，，．

7、 （1）求向量與的夾角的大?。? （2）求的值． 18．（12分） 天氣預報中，在元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3．假定在這段時間內兩地是否降雨相互之間沒有影響，計算在這段時間內： （1）甲乙兩地都降雨的概率 （2）甲乙兩地都不降雨的概率 19．（12分） 如圖，四棱錐中，，，點E為PC上一點，F為PB的中點，且平面BDE． （1）若平面PAD與平面PBC的交線為l，求證：平面； （2）求證：． 20．（12分） 的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知，，． （1）求A； （2）若M是直線BC外一點，，求面積的最大值． 21．（12分

8、） 2021年3月18日，位于孝感市孝南區長興工業園內的湖北福益康醫療科技有限公司正式落地投產，這是孝感市第一家獲批的具有省級醫療器械生產許可證資質的企業，也是我市首家“一次性使用醫用口罩、醫用外科口罩”生產企業．在加大生產的同時，該公司狠抓質量管理，不定時抽查口罩質量，該企業質檢人員從所生產的口罩中隨機抽取了100個，將其質量指標值分成以下六組：，，，…，，得到如下頻率分布直方圖． （1）求出直方圖中m的值； （2）利用樣本估計總體的思想，估計該企業所生產的口罩的質量指標值的平均數和中位數（同一組中的數據用該組區間中點值作代表，中位數精確到0.01）； （3）現規定：質量指標值小

9、于70的口罩為二等品，質量指標值不小于70的口罩為一等品．利用分層抽樣的方法從該企業所抽取的100個口罩中抽出5個口罩，其中一等品和二等品分別有多少個． （4）該廠每月能否獲利？如果能獲利，求出最大利潤． 22．（12分） 如圖所示，四邊形為菱形，，平面平面，點E是棱AB的中點． （1）求證：； （2）若，求三棱錐的體積． （3）若，當二面角的正切值為時，求直線PE與平面所成的角． 數學試題 參考答案： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D B C B B C C B BD AC BC ABD

10、5．B 【詳解】對于A，因為，所以這組數據的第50百分位數為，故A錯誤； 對于B，，， 故甲村銷售收入的平均數小于乙村銷售收入的平均數，故B正確； 對于C，甲村銷售收入的中位數為，乙村銷售收入的中位數為到， 則甲村銷售收入的中位數小于乙村銷售收入的中位數，故C錯誤； 對于D，甲村銷售收入的方差 ， 乙村銷售收入的方差 ． 所以甲村銷售收入的方差小于乙村銷售收入的方差，故D錯誤． 故選：B 7．C 【詳解】因為，，D為BC的中點，，如圖， 在中，根據余弦定理可得，， 在中，根據余弦定理可得，， 又因為，所以， 故有，得到，即，所以，故選：C． 8．B 【

11、詳解】取AB的中點E，連接CE，DE，因為正三角形與的邊長為4，所以，，且，故為二面角的平面角，，所以是等邊三角形，取CE的中點F，連接DF，則，，，因為，，，DE，平面，所以平面，因為平面，所以，因為，AB，平面，所以平面，取的中心G，則點G在CE上，且，故，則球心O在G點正上方，連接DO，OG，OC，過點O作于點K，則，設，，則，由勾股定理得，，故，解得，故外接球半徑，故球O的表面積為． 9．BD 【詳解】因為，則，故A錯誤； z的共軛復數是，故B正確； 復數z在復平面內對應的點的坐標為，位于第一象限，故C錯誤； 因為，， 所以，故D正確； 10．AC 【詳解】由題意，

12、得，因為，所以，解得，故A正確； ，故B錯誤； ，故C正確； 設與的夾角為，則，故與的夾角不為，故D錯誤． 11．BC 【詳解】對于A：若A，B是互斥事件，，，則，故A錯誤； 對于B：若A，B是對立事件，則，故B正確； 對于C：若A，B是獨立事件，，，則A，也是獨立事件，則，故C正確； 對于D：若，，則且，則，B不是獨立事件，故A，B也不是獨立事件，故D錯誤； 12．ABD 【詳解】對于A，的中點E，連接BE，，則，且，∴四邊形為平行四邊形，∴，．∵平面平面，平面平面，平面平面，∴，又，∴四邊形為平形四邊形，∴，，∴，，∴四邊形為平行四邊形，則，∵平面平面，平面平面，平面平

13、面，∴．易知，∴四邊形為平行四邊形，∴，∴，故A正確． ∵，平面，∴平面，∵平面，∴又∵四邊形為直角梯形，，，∴，又∵，，平面，∴平面，∵平面，∴，故B正確； ，，所以為平行四邊形，所以，AC與所成角即為或其補角，，，而， 所以，故C錯誤； 三棱柱的體積，故D正確． 13 14 15 16 3000 12 64.4 15． 【詳解】由求根公式可得或，所以，故答案為： 16．64.4 【詳解】初一學生的樣本記為，方差記為，初二學生的樣本記為，方差記為，初三學生的樣本記為，方差記為． 設樣本的平均數為，則，設樣本的方差為． 則 又， 故， 同理，，

14、 因此， ． 17．（1）由得，由得，得， 設向量與的夾角為，由得，得， 因為，所以，即向量與的夾角的大小為． （2）． 18．（1）設“甲地降雨”為事件A，“乙地降雨”為事件B，則，， “甲乙兩地都下雨”表示事件A，B同時發生，即事件AB， 由已知，甲乙兩地是否降雨相互之間沒有影響，即事件A與事件B相互獨立， 所以， 所以甲乙兩地都降雨的概率為0.06． （2）設“甲地降雨”為事件A，“乙地降雨”為事件B，“甲乙兩地都不降雨”即事件與同時發生，即， ，，利用獨立事件的性質可知，事件與相互獨立， 所以，所以甲乙兩地都不降雨的概率為0.56． 19．（1）∵，

15、平面，平面，∴平面．∵平面，平面平面，∴．∵平面，平面，∴平面． （2）連接AC，FC，設，，連接OM，∵平面，平面，平面平面，∴，∵，，所以，∴，∴點M是的重心，∴點E是PC的中點，∴，∴，∴． 20．（1）由得，由正弦定理得， 因為，所以． 又因為，所以，所以．因為，所以． （2）由得，故．因為，所以，所以，可得．根據正弦定理可得，． 設，，在中，， 由余弦定理可得． 所以， 當且僅當時取等號，所以． 所以．故面積的最大值為． 21．（1）由，得． （2）平均數為， 因為，， 所以中位數在第4組，設中位數為n，則，解得， 所以可以估計該企業所生產的口罩

16、的質量指標值的平均數為71，中位數為73.33． （3）由頻率分布直方圖可知：100個口罩中一等品有60個，二等品有40個， 由分層抽樣可知，所抽取的5個口罩中一等品有個，二等品有個， 所以抽取的5個口罩中一等品有3個和二等品有2個． 22．（1）如圖所示，設點F是棱AD的中點，連接PF，EF，BD，由及點F是棱AD的中點，可得，因為平面平面，平面平面，平面，故平面，又因為平面，所以，又因為四邊形為菱形，所以，而EF是的中位線，所以，可得，又由，且平面，平面，所以平面，又因為平面，所以． （2）若，由于菱形，易證正三角形中，由于平面，所以． （3）設點G是AC與EF的交點，由（1）可知平面，又PG，EG均在平面內，從而有，，故為二面角的平面角，所以，所以， 因為，所以為等邊三角形．不妨設菱形的邊長為，．則在直角中，，，，所以，因為平面，所以為直線PE與平面所成的角．則，所以直線PE與平面所成的角為．