2021-2022學年甘肅省蘭州市高一年級下冊學期期末數學試題【含答案】

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1、一、單選題 1．已知是虛數單位，則復數（????） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根據復數除法運算化簡即可求解. 【詳解】， 故選：A. 2．天氣預報說，在今后的三天中，每天下雨的概率都為60%．現采用隨機模擬的方法估計這三天中恰有兩天下雨的概率．用1，2，3，4，5，6表示下雨，用計算機產生了10組隨機數為180，792，454，417，165，809，798，386，196，206．據此估計這三天中恰有兩天下雨的概率近似為（????） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根據題意，計算隨機數中每組數中有2個數字在集合中判斷即可 【詳解】由題意，隨

2、機數中417，386，196，206表示這三天中恰有兩天下雨，故估計這三天中恰有兩天下雨的概率近似為 故選：B 3．已知、是空間中兩個不同平面，、是空間中兩條不同直線，則下列命題中錯誤的是 A．若，⊥，則⊥ B．若，，則 C．若⊥，⊥，則 D．若⊥，，則 【答案】B 【分析】根據線面、面面平行垂直的性質判定定理依次判定. 【詳解】線面垂直的性質定理可知A正確； m、n可以異面，B錯誤； 面面平行的判定可知C正確； 面面垂直的判定可知D正確. 故選：B. 4．已知向量，，且，那么（????） A．2 B．-2 C．6 D．-6 【答案】B 【分析】根據向量共線的

3、坐標表示，列出關于m的方程，解得答案. 【詳解】由向量，，且， 可得: , 故選：B 5．“迪拜世博會”于2021年10月1日至2022年3月31日在迪拜舉行，中國館建筑名為“華夏之光”，外觀取型中國傳統燈籠，寓意希望和光明．它的形狀可視為內外兩個同軸圓柱，某愛好者制作了一個中國館的實心模型，已知模型內層底面直徑為，外層底面直徑為，且內外層圓柱的底面圓周都在一個直徑為的球面上.此模型的體積為（????） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出內層圓柱，外層圓柱的高，該模型的體積等于外層圓柱的體積與上下面內層圓柱高出的幾何體的體積之和，計算可得解. 【詳解】如圖，該

4、模型內層圓柱底面直徑為，且其底面圓周在一個直徑為的球面上， 可知內層圓柱的高 同理，該模型外層圓柱底面直徑為，且其底面圓周在一個直徑為的球面上， 可知外層圓柱的高 此模型的體積為 故選：C 6．若，則（????） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角函數的誘導公式，即可求得答案. 【詳解】 故選：B 7．在，其內角，，的對邊分別為，，，若，則的形狀是（????） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．.等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】由正弦定理邊角互化得，進而移項整理得，再結合得或，進而得答案. 【詳解】解：根據正弦定理

5、邊角互化得， 所以， 所以， 所以，即， 所以或， 所以或，即的形狀是等腰或直角三角形. 故選：D 8．已知△是邊長為1的等邊三角形，點分別是邊的中點，且 ，則的值為（ ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】把△放在直角坐標系中，可以根據題干中的條件寫出各個點的坐標，再利用，求出點的坐標，再求出的值即可. 【詳解】把△如下圖放在直角坐標系中， 由于△的邊長為1，故，點分別是邊的中點，，設，，，，. 故選：B. 二、多選題 9．已知點O是邊長為1的正方形ABCD的中心，則下列結論正確的為（????） A． B． C． D． 【答案】A

6、D 【分析】通過向量加法的平行四邊形法則、向量減法的三角形法與向量的數量積公式即可判斷各選項正確與否. 【詳解】通過向量加法的平行四邊形法則可知，，選項A正確； ，選項B錯誤； 與方向不同，選項C錯誤； 延長到,使,通過向量減法的三角形法則可知,在中，，，選項D正確. 故選：AD. 10．下列各式中，值為的是（????） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根據正弦函數、余弦函數和正切函數的倍角公式，準確化簡，即可求解. 【詳解】由余弦的倍角公式，可得，所以A不正確； 由正切的倍角公式，可得，所以B正確；由正弦的倍角公式，可得，所以C正確； 由，所以D

7、不正確. 故選：BC. 11．已知向量，下列結論正確的是（????） A．與能作為一組基底 B．與同向的單位向量的坐標為 C．與的夾角的正弦值為 D．若滿足，則 【答案】ACD 【分析】對于A兩個不共線的向量可以作為平面的一組基底；對于B與向量同向的單位向量為；對于C可以用夾角公式先求夾角的余弦，再用平方關系求正弦；對于D代模長公式計算即可. 【詳解】對于A，因為，所以不存在實數使得， 所以與能作為一組基底，故A正確； 對于B，因為， 所以， 所以與同向的單位向量的坐標為，故B錯誤； 對于C，因為， 所以與的夾角的正弦值為，故C正確； 對于D，因為， 所以，解

8、得，故D正確． 故選：ACD． 12．如圖，在正方體中，點在線段上運動，則（????） A．三棱錐的體積為定值 B．異面直線與所成的角的取值范圍為 C．直線與平面所成角的正弦值的最大值為 D．過作直線，則 【答案】ACD 【分析】證明平面，結合三棱錐的體積計算判斷A；利用異面直線夾角的定義計算判斷B；求出點到平面的距離計算判斷C；證明平面判斷D作答. 【詳解】對于A，在正方體中，對角面是矩形，即， 平面，平面，則平面，即點P到平面的距離等于點C到 平面的距離，為定值，而的面積是定值，因此，三棱錐的體積為定值，A正確； 對于B，由選項A知，，則異面直線與所成的角

9、即為直線與所成的角，連， 則有是正三角形，點在線段上運動，當點P與或重合時，直線與所成的角最小，為， 當點P為線段的中點時，直線與所成的角最大，為， 所以異面直線與所成的角的取值范圍為，B不正確； 對于C，令正方體棱長為2，點到平面的距離為h，正邊長為，面積為， 由得：，解得，當點P為線段的中點時，， 所以直線與平面所成角的正弦值的最大值為，C正確； 對于D，在正方體中，，平面，又平面，因此， 而，平面，于是有平面，又平面， 則，又直線過，且直線，所以，D正確. 故選：ACD 三、填空題 13．已知為虛數單位，復數，則_________． 【答案】 【分析】先將

10、復數z化成的形式，再求模即可得答案. 【詳解】解：因為， 所以. 故答案為：. 14．已知甲運動員的投籃命中率為0.7，乙運動員的投籃命中率為0.6，若甲、乙各投籃一次，則恰有一人命中的概率是 __． 【答案】/ 【分析】根據相互獨立事件的概率乘法公式，以及互斥事件的概率加法公式，即可求解. 【詳解】由甲運動員的投籃命中率為0.7，乙運動員的投籃命中率為0.6， 若甲、乙各投籃一次，則恰有一人命中的概率為 故答案為：. 15．已知三棱錐的四個頂點均在同一個球面上，底面為等腰直角三角形且，若該三棱錐體積的最大值為，則其外接球的表面積為__________. 【答案】 【

11、分析】設球心為所在圓面的圓心為，根據球的幾何特征可知，當三棱錐體積最大時，為射線與球的交點，即可根據三棱錐的體積公式求出球的半徑，從而得其外接球的表面積． 【詳解】如圖所示：設球心為所在圓面的圓心為，則平面． 因為為等腰直角三角形且，所以是中點；所以當三棱錐體積最大時，為射線與球的交點，所以；因為，設球的半徑為，所以，所以，解得：，所以球的表面積為. 故答案為：． 16．在面上有及內一點滿足關系式：即稱為經典的“奔馳定理”，若的三邊為，，，現有，則為的__心. 【答案】內 【分析】利用平面向量的線性運算得到，再利用三角形內心的性質求解即可． 【詳解】，， ， ， ，

12、分別是，方向上的單位向量， 向量平分，即平分，同理平分， 為的內心， 故答案為：內 四、解答題 17．蘭州市新開的滑冰館備受年輕人的喜歡，此館的平面設計如圖所示，其中區域為休息區，，，區域為滑冰區，．現為了安全起見，將滑冰區周圍筑起護欄．若，求護欄的長度（的周長）. ?? 【答案】 【分析】利用余弦定理求出的長，分析出為直角三角形，計算出邊、的長，即可求得的周長，即為所求. 【詳解】解：區域為休息區，，，， 由余弦定理可得， 所以，， 所以，，所以，， 區域為滑冰區，在中，，， 所以，，， 所以，的周長為. 護欄的長度為． 18．甲、乙兩人參加普法知識競賽

13、，共有道不同的題目，其中選擇題道，判斷題道，甲、乙兩人各抽一道（不重復）． (1)甲抽到選擇題且乙抽到判斷題的概率是多少？ (2)甲、乙二人中至少有一人抽到選擇題的概率是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）記“甲抽到選擇題，乙抽到判斷題”為事件，列舉所有的基本事件，并確定事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得事件發生的概率； （2）記事件甲、乙二人中至少有一人抽到選擇題，確定事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可計算出事件發生的概率. 【詳解】（1）解：記“甲抽到選擇題，乙抽到判斷題”為事件， 記兩道選擇題分別為、，兩道判斷題分別為、， 所有

14、的基本事件有：、、、、、、、 、、、、，共種， 其中事件包含的基本事件有：、、、，共種， 由古典概型的概率公式可得. （2）解：記事件甲、乙二人中至少有一人抽到選擇題， 則事件包含的基本事件有：、、、、、 、、、、，共種， 由古典概型的概率公式可得. 19．①，②，③三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并進行解答． 已知的三邊，，所對的角分別為，，．若，______． （1）求； （2）求的面積．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分． 【答案】選①：（1）；（2）或.選②：（1）；（2）或. 選③：（1）；（2）或. 【分析】若選①：（1）由二倍角公式

15、、輔助角公式化簡可求；（2）由正弦定理求，即可得，，，由面積公式即可求面積；若選②：（1）由正弦定理化邊為角可求；（2）由正弦定理求，即可得，，，由面積公式即可求面積；若選③：（1）由余弦定理可求；（2）由正弦定理求，即可得，，，由面積公式即可求面積； 【詳解】若選①： （1）由可得即， 所以，所以， 因為，所以 （2）由可得， 因為，所以或， 當時，，由可得，， 此時的面積為， 當時，，所以， 此時的面積為， 所以的面積為或. 若選②： 由可得， 因為，所以，可得， 因為，所以； （2）由可得， 因為，所以或， 當時，，由可得，， 此時的面積為， 當時

16、，，所以， 此時的面積為， 所以的面積為或. 若選③：由可得， 由余弦定理可得， 因為，所以； （2）由可得， 因為，所以或， 當時，，由可得，， 此時的面積為， 當時，，所以， 此時的面積為， 所以的面積為或. 20．如圖，中，，是正方形，平面平面，若、分別是、的中點． ?? (1)求證：平面； (2)求證：平面. 【答案】(1)證明見解析 (2)證明見解析 【分析】（1）作出輔助線，得到面面平行，從而得到線面平行； （2）由面面垂直得到線面垂直，進而得到線線垂直，結合勾股定理逆定理得到線面垂直. 【詳解】（1）證明：如圖，取的中點，連接，．

17、?? ，分別是和的中點， ，． 又四邊形為正方形， ，從而． 平面，平面， 平面， 同理平面，又， 平面平面， ∵平面， 則平面； （2）為正方形， ． 又平面平面，且平面平面，面， 平面，平面，則， ，， ，則，得． 又，平面， 平面； 21．甲、乙兩同學組成“星隊”參加“慶祝中國共產黨成立周年”知識競賽．現有、兩類問題，競賽規則如下： ①競賽開始時，甲、乙兩同學各自先從類問題中隨機抽取一個問題進行回答，答錯的同學本輪競賽結束；答對的同學再從類問題中隨機抽取一個問題進行回答，無論答對與否，本輪競賽結束． ②若在本輪競賽中甲、乙兩同學合計答對問題的個數

18、不少于個，則“星隊”可進入下一輪．已知甲同學能答對類中問題的概率為，能答對類中問題的概率為．乙同學能答對類中問題的概率為，答對類中問題的概率為． (1)設“甲答對個，個，個問題”分別記為事件、、，求事件、、的概率； (2)求“星隊”能進入下一輪的概率． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）利用對立事件的概率公式可求得的值，利用獨立事件的概率公式可求得、的值； （2）設“乙同學答對個、個問題”別記為事件、，計算出、的值，利用獨立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率. 【詳解】（1）解：甲同學能答對類中問題的概率為，能答對類中問題的概率為， ，，． （2）解：設

19、“乙同學答對個、個問題”別記為事件、， 乙同學能答對類中問題的概率為，答對類中問題的概率為． ，， 設事件表示““星隊”能進入下一輪”， ， 故“星隊”能進入下一輪的概率為． 22．如圖，在三棱錐中，底面． (1)證明：平面平面； (2)若，直線與平面所成角的大小為，求的長． 【答案】(1)證明見解析 (2) 【分析】（1）由線面垂直得到，再由，即可得到平面，從而得證； （2）過點A作，垂足為H，連接，由面面垂直的性質得到平面，即可得到就是直線與平面所成角，再由銳角三角函數及勾股定理計算可得； 【詳解】（1）證明：因為平面，平面， 所以， 因為，，平面，所以平面， 又平面， 所以平面平面． （2）解：過點A作，垂足為H，連接． 由（1）知平面平面， 又，平面平面，平面， 所以平面， 所以就是直線與平面所成角， 即． 在中，，故． 在中，． 在中，因為，所以，即， 所以為等腰直角三角形， 所以．