河南省焦作市2022—2023學年高二數學（下）期末考試【含答案】

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1、焦作市2022—2023學年（下）高二數學期末考試 考生注意： 1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置． 2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效． 3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回． 一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的． 1．已知集合，，則（ ） A． B． C． D． 2．若復數，則（ ） A

2、．0 B．1 C． D．2 3．已知向量，，若，則實數m＝（ ） A．－5 B．5 C． D． 4．已知等比數列中，，，則（ ） A．16 B．4 C．2 D．1 5．已知拋物線C：的焦點為F，A是C上一點，O為坐標原點，若，則△AOF的面積為（ ） A． B．3 C． D．6 6．已知角滿足，則（ ） A． B． C． D． 7．已知函數的圖象的一個對稱中心的橫坐標在區間內，且兩個相鄰對稱中心之間的距離大于，則的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 8．已知函數存在零點a，函數存在零點b，且，則實數m的取值范圍是（ ） A． B

3、． C． D． 二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分． 9．2014—2022年（2022年為上半年）中國國內生產總值（GDP）統計如下，且已知2022年全年中國國內生產總值（GDP）為121.01萬億元，則下列結論中正確的是（ ） A．2022年下半年中國GDP為64.75萬億元 B．2022年中國GDP大于2014年與2015年的GDP之和 C．2014—2021年中國GDP同比增長率超過10%的有2017年、2018年、2021年 D．2014—2021年

4、中國GDP同比增長最快的是2021年 10．已知函數，則下列結論中正確的是（ ） A．當時，是R上的增函數 B．當時，直線y＝a與的圖象沒有公共點 C．當時，的單調遞減區間為 D．當有一個極值點為0時，的極大值為 11．已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，離心率為，P，Q為C上的動點，的最大值為6，則下列結論中正確的是（ ） A．橢圓C的短軸長為 B．當P，Q分別在x軸的上方和下方時四邊形的周長的取值范圍是 C．存在四個不同的點P，使得 D．若為銳角三角形，則點P橫坐標的取值范圍是 12．如圖，在三棱柱中，AB⊥BC，平面ABC，BC＝2，三棱錐的外接球O的表面

5、積為，記直線AC與所成的角為，直線與平面ABC所成的角為，則下列結論中正確的是（ ） A． B．三棱柱的體積的最大值為6 C．球心O到平面的距離為 D． 三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分． 13．若的展開式中的系數為15，則實數a＝______． 14．某足球隊共有30名球員練習點球，其中前鋒6人，中場16人，后衛8人．若前鋒點球進門的概率均是0.9，中場點球進門的概率均是0.8，后衛點球進門的概率均是0.7，則任選一名球員點球進門的概率是______．（結果保留兩位小數） 15．已知函數的定義域為R，是偶函數，當時，，則不等式的解集為______． 1

6、6．已知在四面體P－ABC中，PA＝PB＝PC＝BC＝6，，則該四面體外接球的體積為______． 四、解答題：共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟． 17．（10分） 已知在等差數列中，，． （Ⅰ）求的通項公式； （Ⅱ）若是等比數列，且，，求數列的前n項和． 18．（12分） 已知在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且． （Ⅰ）求C； （Ⅱ）若c＝2，△ABC的面積為，求證：△ABC是正三角形． 19．（12分） 如圖，在長方體中，，AD＝8，交于點O． （Ⅰ）證明：平面； （Ⅱ）求直線AB與平面所成角的正弦值． 20．（12分）

7、2023年5月15日至21日是第二個全國家庭教育宣傳周，為進一步促進家校共育，某校舉行“家教伴成長，協同育新人”主題活動，最終評出了8位“最美家長”，其中有6位媽媽，2位爸爸，學校準備從這8位“最美家長”中每次隨機選出一人做家庭教育經驗分享． （Ⅰ）若每位“最美家長”最多做一次家庭教育經驗分享，記第一次抽到媽媽為事件A，第二次抽到爸爸為事件B，求和； （Ⅱ）現需要每天從這8位“最美家長”中隨機選1人，連續4天分別為低年級、中年級、高年級和全體教師各做1場經驗分享，1天只做1場，且人選可以重復，記這4天中爸爸做經驗分享的天數為X，求X的分布列和數學期望． 21．（12分） 已知函數．

8、（Ⅰ）證明：在上單調遞減； （Ⅱ）若函數（為的導函數），且單調遞增，求實數a的取值范圍． 22．（12分） 已知點在雙曲線C：上，過C的右焦點F的動直線l與C交于A，B兩點． （Ⅰ）若點，分別為C的左、右頂點，Q為C上異于，的點，求（k表示斜率）的值； （Ⅱ）證明以AB為直徑的圓恒過x軸上的定點，并求該定點的坐標． 數學·答案 一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分． 1．A 2．B 3．D 4．C 5．A 6．C 7．B 8．D 二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．每小題全部選對的得5分，部分選對的得2分，有

9、選錯的得0分． 9．ACD 10．ABC 11．AD 12．BD 三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分． 13．或1 14．0.79 15． 16． 四、解答題：共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟． 17．解析 （Ⅰ）設的公差為d． 由得解得 所以． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，， 則，． 因為是等比數列，所以公比為， 所以，所以． 所以． 18．解析 （Ⅰ）由及正弦定理得， 所以， 所以， 所以． 因為，所以，所以． 因為，所以． （Ⅱ）因為，所以ab＝4． 由余弦定理可得，所以，即， 所以a＋b＝4，所以a＝

10、b＝2，所以a＝b＝c， 所以△ABC是正三角形． 19．解析 （Ⅰ）如圖，連接，BD． 因為且， 所以四邊形為平行四邊形，所以． 又平面，平面， 所以平面． 同理可證，平面． 又，，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面． （Ⅱ）以A為坐標原點，直線AB，AD，分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系， 則，，，，， 所以，，． 設平面的法向量為． 由得 令y＝1，得平面的一個法向量為． 設直線AB與平面所成的角為， 則， 故直線AB與平面所成角的正弦值為． 20．解析 （Ⅰ）根據題意可知，， ． （Ⅱ）爸爸做經驗分享的天數X的所

11、有可能取值為0，1，2，3，4，且， 故，，，，， 故X的分布列為： X 0 1 2 3 4 P 根據二項分布的期望公式可知，． 21．解析 （Ⅰ）由題可知的定義域為，． 令，則，． 令，得，令，得． 故在上單調遞增，在上單調遞減， 故． 所以對任意恒成立， 所以在上單調遞減． （Ⅱ）由題可知， 則． 因為單調遞增，所以， 即． 令， 則，． 當時，，此時單調遞增， 當時，，此時單調遞減， 所以，則，解得． 所以a的取值范圍為． 22．解析 （Ⅰ）∵點在雙曲線C：上 ∴，解得， ∴雙曲線C的方程為，則，． 設Q點坐標為，則，， ∴． ∵點Q在雙曲線C上，∴， ∴． （Ⅱ）設以AB為直徑的圓與x軸的交點為． 由（Ⅰ）可知雙曲線的右焦點F為． 當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為，，， ∵，∴， 整理得到①． 由消去y可得． ∵直線l與雙曲線C有兩個不同的交點， ∴且， ∴． 由題設有①對任意的總成立， ∵，， ∴①可轉化為， 整理得到對任意的總成立， 故解得，即點M的坐標為． 當直線l的斜率不存在時，l：x＝2， 此時，或，， 則，即M在以AB為直徑的圓上． 綜上，以AB為直徑的圓恒過x軸上的定點，且定點的坐標為．