2022-2023學年廣西南寧市高一（下）期中數學試卷【含答案】

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1、第I卷（選擇題） 一、單選題（本大題共8小題，共40分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項） 1. 已知i為虛數單位，在復平面內，復數11?i的共軛復數對應的點位于(????) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知平面向量a=(1,2)，b=(?2,y)，若a//b，則a+b=(????) A. (?1,?2) B. (?1,6) C. (?1,3) D. (?1,1) 3. 若函數f(x)=x2+1,x≤0log3(x+3),x>0，則f(f(?2))=(????) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知集合A=

2、{x|y= x+3},B={x|x?3x?1<0}，則A∪B=(????) A. (?3,+∞) B. [?3,+∞) C. (?3,3) D. [?3,3) 5. 已知角α的終邊經過點(?1, 3)，則tan(α+π2)+sin(2α?3π)=(????) A. 32 B. ?34 C. ? 36 D. 5 36 6. 如圖所示，△ABC的直觀圖是邊長為2的等邊△A'B'C'，則在原圖中，BC邊上的高為(????) A. 2 6 B. 6 C. 2 3 D. 3 7. 若sinα=2sinβ,sin(α+β)?tan(α?β)=1，則tanαtanβ=(????)

3、 A. 2 B. 32 C. 1 D. 12 8. 在平行四邊形ABCD中，BE=12EC，DF=2FC，設AE=a，AF=b，則AC=(????) A. 67a+37b B. 37a+67b C. 34a+13b D. 13a+34b 二、多選題（本大題共4小題，共20分。在每小題有多項符合題目要求） 9. 已知x，y∈R，i為虛數單位，且(x+1)i?y=?1+2i，復數z=(1?i)x+y，則以下結論正確的是(????) A. z的虛部為?2i B. z的模為2 C. z的共軛復數為2i D. z對應的點在第四象限 10. 在△ABC中，內角A,B,C的對邊分別為a,

4、b,c，下列說法中正確的是(????) A. “△ABC為銳角三角形”是“sinA>cosB”的充分不必要條件 B. 若sin2A=sin2B，則△ABC為等腰三角形 C. 命題“若A>B，則sinA>sinB”是真命題 D. 若a=8，c=10，B=π3，則符合條件的△ABC有兩個 11. 下列說法正確的是(????) A. 若a?b=a?c，且a≠0，則b≠c B. 若z1，z2為復數，則|z1?z2|=|z1|?|z2| C. 設a，b是非零向量，若|a+b|=|a?b|，則a?b=0 D. 設z1，z2為復數，若|z1+z2|=|z1?z2|，則z1z2=0 12

5、. 向量是近代數學中重要和基本的概念之一，它既是代數研究對象，也是幾何研究對象，是溝通代數與幾何的橋梁.若向量a，b滿足|a|=|b|=2，|a+b|=2 3，則(????) A. a?b=?2 B. a與b的夾角為π3 C. |a?b|>|a+b| D. a?b在b上的投影向量為?12b 第II卷（非選擇題） 三、填空題（本大題共4小題，共20分） 13. 已知命題p：?x0∈R,x02+2x0+a≤0，命題q：?x>0,x+1x>a，若p假q真，則實數a的取值范圍為______ ． 14. 1?tan?75°1+tan?75°=??????????． 15. 若圓x2

6、+y2?2ax?2by=0(a>0,b>0)被直線x+y=1平分，則1a+2b的最小值為______ ． 16. 如圖，在△ABC中，已知BD=12DC，P為AD上一點，且滿足CP=mCA+49CB，若△ABC的面積為 3，∠ACB=π3，則|CP|的最小值為______ ． 四、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟） 17. (本小題12分) 設向量a、b滿足|a|=|b|=1，且|3a?2b|= 7． (1)求a與b夾角的大??； (2)求a+b與b夾角的大?。? (3)求|3a+b||3a?b|的值． 18. (本小題12分)

7、在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設bsinC= 3sinC+3cosC，A=π3． (Ⅰ)求c； (Ⅱ)若BC，AC邊上的兩條中線AM，BN相交于P，AM=3，以P為圓心，r(0

8、形ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若f(A)= 3，a=3，B=π6，求△ABC的面積． 21. (本小題12分) 已知向量a=( 3,k)，b=(0,?1)，c=(1, 3)． (Ⅰ)若a⊥c，求k的值； (Ⅱ)當k=1時，a?λb與c共線，求λ的值； (Ⅲ)若|m|= 3|b|，且m與c的夾角為150°，求 |m+2c|. 22. (本小題12分) 已知e1，e2是平面內兩個不共線的非零向量，AB=2e1+e2，BE=?e1+λe2，EC=?2e1+e2，且A，E，C三點共線． (1)求實數λ的值； (2)若e1=(3,1)，e2=(?1,?2)，求

9、BC的坐標； (3)已知D(?12,3)，在(2)的條件下，若A，B，C，D四點按逆時針順序構成平行四邊形，求點A的坐標． 答案和解析 1.【答案】D? 【解析】∵11?i=1+i(1?i)(1+i)=12+12i， ∴復數11?i的共軛復數為12?12i， ∴復數11?i的共軛復數對應的點(12,?12)位于第四象限． 故選：D． 2.【答案】A? 【解析】a=(1,2)，b=(?2,y)，a//b， 則y=?2×2=?4， a=(1,2)，b=(?2,?4)， 故a+b=(?1,?2)． 故選：A． 3.【答案】C? 【解析】根據題意，函數f(x)=x2+

10、1,x≤0log3(x+3),x>0，則f(?2)=4+1=5， 則f(f(?2))=log28=3． 故選：C． 4.【答案】B? 【解析】A={x|x≥?3}，B={x|1

11、.【答案】A? 【解析】在直觀圖中， 因為邊長為2的等邊△A'B'C'，所以B'C'上的高?= 3， ∴O'A'=?sin45°= 6， ∴在原圖中，BC上的高AO=2 6． 故選：A． 7.【答案】A? 【解析】 因為cos(α+β)=cosαcosβ?sinαsinβcos(α?β)=cosαcosβ+sinαsinβ, 所以sinαsinβ=12[cos(α?β)?cos(α+β)]， 所以sin(α+β)sin(α?β)=12(cos2β?cos2α)， 又sin(α+β)?tan(α?β)=1， 所以sin(α+β)?sin(α?β)cos(α?β)=1

12、，即sin(α+β)sin(α?β)=cos(α?β)， 所以12(cos2β?cos2α)=cos(α?β)， 所以12(1?2sin2β?1+2sin2α)=cos(α?β)，即sin2α?sin2β=cos(α?β)， 又sinα=2sinβ， 所以4sin2β?sin2β=cosαcosβ+sinαsinβ， 所以4sin2β?sin2β=cosαcosβ+2sin2β， 所以sin2β=cosαcosβ， 所以12sinαsinβ=cosαcosβ，即sinαsinβ=2cosαcosβ， 又易知cosαcosβ≠0， 所以sinαsinβcosαcosβ=2，即t

13、anαtanβ=2． 故選A． ?? 8.【答案】B? 【解析】如圖： 因為四邊形ABCD為平行四邊形， 所以AC=AB+AD，BC=AD，DC=AB， 因為BE=12EC，DF=2FC， 所以BE=13BC，DF=23DC， 所以AE=AB+BE=AB+13BC=AB+13AD， AF=AD+DF=AD+23DC=AD+23AB， 因為AE=a，AF=b， 所以AB+13AD=aAD+23AB=b，解得AB=97a?37bAD=97b?67a, 所以AC=AB+AD=97a?37b+97b?67a=37a+67b， 故選：B． ?? 9.【答案】BC?

14、【解析】(x+1)i?y=?1+2i， 則x+1=2，?y=?1，解得x=1，y=1， 故z=(1?i)2=?2i， z的虛部為?2，z的模為2，故A錯誤，B正確； z?=2i，故C正確；z對應的點(0,?2)位于虛軸負半軸上，故D錯誤． 故選：BC． 10.【答案】AC? 【解析】若△ABC為銳角三角形，則A∈(0,π2)，B∈(0,π2)，且A+B>π2，即A>π2?B，又A∈(0,π2)，π2?B∈(0,π2)，則sinA>sin(π2?B)=cosB；反之，若B為鈍角，滿足sinA>cosB，不能推出△ABC為銳角三角形，故A正確； 由sin2A=sin2B，得2A

15、=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=π2，所以△ABC為等腰三角形或直角三角形，故B錯誤； 若A>B，則a>b，由正弦定理得asinA=bsinB，即sinA>sinB成立，故C正確; 根據余弦定理得b2=a2+c.2?2accosB，即b2=82+102?2×8×10×12=84，所以b=2 21，符合條件的△ABC只有一個，故D錯誤． 故選AC． ?? 11.【答案】BC? 【解析】若a?b=a?c，且a≠0，則a?(b?c)=0，即a⊥(b?c)或b=c，故A錯誤； 設z1=a+bi，z2=c+di，(a,b,c,d∈R)， |z1|= a2+b2，|z2|= c2

16、+d2， 則|z1z2|=|ac?bd+(ad+bc)i|= a2c2+b2d2+a2d2+b2c2= (a2+b2)(c2+d2)， |z1z2|= (a2+b2)(c2+d2)，故B正確； 因為a、b為非零向量，|a+b|=|a?b|，兩邊同時平方可得，(a+b)2=(a?b)2， 即a2+b2+2a?b=a2+b2?2a?b， 所以a?b=0，故C項正確； 當z1=i，z2=1時，滿足|z1+z2|=|z1?z2|，但不滿足z1?z2=0，故D項錯誤． 故選：BC． 12.【答案】BD? 【解析】∵|a|=|b|=2，|a+b|=2 3， 所以12=|a+b|2=a2

17、+2a?b+b2=4+2a?b+4， 解得a?b=2，A錯誤； 設a，b的夾角為α，則cosα=a?b|a||b|=22×2=12， 由于α∈[0,π]， ∴a與b的夾角為π3，故B正確； |a?b|= (a?b)2= a2?2a?b+b2= 4?2a?b+4=2<|a+b|=2 3，故錯誤； a?b在b上的投影向量為b?(a?b)|b|?b|b|=a?b?b22?b|b|=?b|b|=?12b，故D正確． 故選：BD． 13.【答案】(1,2)? 【解析】命題p：由題意可得Δ=4?4a≥0，解得a≤1； 命題q：由題意只需a<(x+1x)min，又當x>0時，x+1x≥2

18、，當且僅當x=1是取等號，所以a<2， 因為p假q真，則a>1a<2，所以1

19、)=3+ba+2ab≥3+2 2， 當且僅當ba=2ab時，a= 2?1，b=2? 2時取等號， 故1a+2b的最小值為3+2 2． 故答案為：3+2 2． 16.【答案】43? 【解析】設AP=λAD，則CP=CA+λAD=CA+λ(CD?CA)=(1?λ)CA+23λCB． 又CP=mCA+49CB，則1?λ=m49=23λ，解得m=13， 所以CP=13CA+49CB，令|CA|=x，|CB|=y， 則S△ABC=12|CA|×|CB|×sin∠ACB= 34xy= 3， 所以xy=4，且x>0，y>0． 所以|CP|2=19x2+1681y2+427xy=19x2+

20、1681y2+1627≥2 19x2×1681y2+1627=169， 當且僅當19x2=1681y2，即3x=4y，即3|CA|=4|CB|時等號成立， 所以|CP|的最小值為43． 故答案為：43． 17.【答案】(1)|a|=|b|=1，且|3a?2b|= 7， 即有(3a?2b)2=7， 即9a2?12a?b+4b2=7， 9?12×1×cos+4=7， 即有cos=12， 由0≤≤π， 可得a與b夾角為π3； (2)由(a+b)?b=a?b+b2=12+1=32， |a+b|= a2+b2+2a?b= 1+1+1= 3， 則co

21、s=(a+b)?b|a+b|?|b|=32 3= 32， 由于0≤≤π， 即有a+b與b夾角為π6； (3)|3a+b|2=9a2+6a?b+b2=9+6×12+1=13， 即有|3a+b|= 13， |3a?b|2=9a2?6a?b+b2=9?6×12+1=7， 即有|3a?b|= 7， 故|3a+b||3a?b|= 13 7= 917．? 18.【答案】(Ⅰ)由正弦定理及bsinC= 3sinC+3cosC，A=π3得csinB= 3sinC+3cosC， ∴csin(C+A)=2 3(12sinC+ 32cosC)， ∴csin(C+π3)

22、=2 3sin(C+π3)， ∵C∈(0,2π3)，∴C+π3∈(π3,π)，∴sin(C+π3)≠0， ∴c=2 3． (Ⅱ)以A為坐標原點，AC所在直線為x軸，建立如圖所示的直角坐標系， 則A(0,0)，B( 3,3)，設C(t,0)，∴M(t+ 32,32)，∵|AM|=3，∴t=2 3，∴C(2 3,0)， 又∵P為三角形的重心，∴P( 3,1)， ∴圓P：(x? 3)2+(y?1)2=r2(0

23、sinθ)， ∴TA+TB+3TC=(2 3?5rcosθ,?2?5rsinθ)， ∴|TA+TB+3TC|2=(2 3?5rcosθ)2+(?2?5rsinθ)2=16+25r2+40rsin(θ?π3)≤25r2+40r+16≤25×12+40×1+16=81， ∴|TA+TB+3TC|max=9． ? 19.【答案】(1)z=a?i1+i=(a?i)(1?i)(1+i)(1?i)=a?12?a+12i， 因為z為純虛數，所以a?12=0，且?a+12≠0，則a=1． (2)由(1)知，z=a?12+a+12i，則點(a?12,a+12)位于第二象限， 所以a?1<0a+1

24、>0，得?1

25、π4或5π12， 當A=π4時，C=π?π4?π6=7π12，不符合題意； 當A=5π12時，C=π?5π12?π6=5π12，符合題意， 所以a=3，B=π6，A=5π12，C=5π12， 此時△ABC為等腰三角形，所以c=a=3， 所以SΔABC=12acsinB=12×3×3×sin?π6=12×3×3×12=94， 即△ABC的面積為94．? 21.【答案】(Ⅰ)∵a⊥c，∴a?c=0，∴ 3+ 3k=0，解得k=?1； (Ⅱ)∵k=1，∴a=( 3,1)，又b=(0,?1)，∴a?λb=( 3,1?λ)． ∵a?λb與c共線，∴ 3× 3?(1+λ)=0，解得λ=2

26、； (Ⅲ)∵|b|= 0+(?1)2=1，∴|m|= 3． 又m與c的夾角為150°，|c|= 1+( 3)2=2． ∴m?c=|m|?|c|cos150°= 3×2×cos150°=?3， |m+2c|= m2+4m?c+4c2= ( 3)2+4×(?3)+4×22= 7．? 22.【答案】(1)AE=AB+BE=(2e1+e2)+(?e1+λe2)=e1+(1+λ)e2， 因為A，E，C三點共線，所以存在實數k，使得AE=kEC， 即e1+(1+λ)e2=k(?2e1+e2)，得(1+2k)e1=(k?1?λ)e2． 因為e1，e2是平面內兩個不共線的非零向量，所以1+2k=0k?1?λ=0 解得k=?12，λ=?32； (2)BC=BE+EC=?e1?32e2?2e1+e2=?3e1?12e2=?3×(3,1)?12×(?1,?2)=(?9,?3)+(12,1)=(?172,?2)， (3)設A(x,y)， 由題意可得AD=BC=(?172,?2)， ∴?12?x=?172，3?y=?2， ∴x=8，y=5． ∴A(8,5)．?