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1、2022-2023學年第二學期高二年級期中檢測
數學試卷
注意事項：
1.本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.
2.請考生將答案寫在答題卷上，寫在試卷上無效.
3.請考生在答題卷規定的位置寫班級，姓名和考號，交卷時只交答題卷，試卷無須上交.
一?單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中只有一項符合題目要求）
1. 曲線在點處的切線方程為
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由題意利用導函數研究函數的切線方程即可.
【詳解】由題意可得：，則曲線的斜率為，
切線方程為：，即.
本題選擇A選項.
【點睛】導
2、數運算及切線的理解應注意的問題
一是利用公式求導時要特別注意除法公式中分子的符號，防止與乘法公式混淆．
二是直線與曲線公共點的個數不是切線的本質，直線與曲線只有一個公共點，直線不一定是曲線的切線，同樣，直線是曲線的切線，則直線與曲線可能有兩個或兩個以上的公共點．
三是復合函數求導的關鍵是分清函數的結構形式．由外向內逐層求導，其導數為兩層導數之積.
2. 數列的通項公式為，則的第5項是
A. 13 B. C. D. 15
【答案】B
【解析】
【詳解】分析:把n=5代入，即得的第5項.
詳解：當n=5時，=-13.故選B.
點睛：求數列的某一項，只要把n的值代入數列的通項
3、即得該項.
3. 函數有極值的充要條件是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【詳解】因為，所以，即，應選答案C．
4. 若函數在處取得極值，則（）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】求出函數的導數，由題設可得，從而可求，注意檢驗.
【詳解】因為，所以，
又函數在處取得極值，
所以，即．
此時，
當或時，，當時，，
故是極大值點，故符合題意．
故選：D．
5. 《萊茵德紙草書》是世界上最古老的數學著作之一．書中有這樣一道題目：把個面包分給個人，使每個人所得成等差數列，且使較大的三份之和的是較小的兩份之和
4、，則最小的一份為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】設5人分到的面包數量從小到大記為，設公差為，可得，，求出，根據等差數列的通項公式，得到關于關系式，即可求出結論.
【詳解】設5人分到的面包數量從小到大記為，設公差為，
依題意可得，，
，
，解得，
.
故選:A.
【點睛】本題以數學文化為背景，考查等差數列的前項和、通項公式基本量的計算，等差數列的性質應用是解題的關鍵，屬于中檔題.
6. 若數列滿足，，則的值為
A. 2 B. -3 C. D.
【答案】B
【解析】
【詳解】，，所以
故數列是以4 為周期的周期數列，故
故
5、選B.
7. 已知數列前項和，則的通項公式（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】令，解得，當時，，得數列的遞推公式，根據等比數列的定義，通項公式，即可得到所求．
【詳解】令，則，解得，
當時，，
則，即，，
所以數列是以1為首項，為公比的等比數列，
所以．
故選：C．
8. 中國明代商人程大位對文學和數學也頗感興趣，他于60歲時完成杰作直指算法統宗，這是一本風行東亞的數學名著，該書第五卷有問題云：“今有白米一百八十石，令三人從上及和減率分之，只云甲多丙米三十六石，問：各該若干？”翻譯成現代文就是：“今有百米一百八十石，甲乙丙三個人來分，他
6、們分得的米數構成等差數列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少米？”請你計算甲應該分得
A. 78石 B. 76石 C. 75石 D. 74石
【答案】A
【解析】
【分析】由只知道甲比丙多分三十六石，求出公差，再由等差數列的前n項和的，能求出甲應該分得78石，得到答案．
【詳解】由題意，今有百米一百八十石，甲乙丙三個人來分，他們分得的米數構成等差數列，
只知道甲比丙多分三十六石，所以，
所以，解得石．
甲應該分得78石．
故選A．
【點睛】本題主要考查了等差數列的通項公式和前n項和基本量的運算，其中解答中熟記等差數列的性質和前n項和，準確運算是解答的關鍵，著重
7、考查了運算與求解能力，屬于基礎題．
二?多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中有多項符合題目要求，全部選對得5分，選對但不全的得3分，有選錯的不得分）
9. 如圖是導數的圖象，下列說法正確的是（）
A. 為函數的單調遞增區間
B. 為函數的單調遞減區間
C. 函數在處取得極大值
D. 函數在處取得極小值
【答案】AB
【解析】
【分析】根據原函數與導函數圖象的關系及極值的定義一一判定即可.
【詳解】對于A、B選項，由導函數的圖象可知上導函數為正，上導函數為負，故A、B正確；
對于C、D選項，由導函數的圖象可知處導函數不為零，在處導函
8、數為零，其左側導函數為正號，右側導函數為負號，故處應取得極大值，故C、D選項錯誤.
故選：AB
10. （多選）等差數列是遞增數列，且，前項和為，則（）
A. B.
C. 當時，最小 D. 當時，的最小值為8
【答案】AD
【解析】
【分析】先求得，結合數列的單調性判斷AB選項的正確性，結合二次函數的性質、一元二次不等式判斷CD選項的正確性.
【詳解】設等差數列的公差為，
由，可得，即．
又由等差數列是遞增數列，
可知，則，故A正確，B錯誤；
因為，
由，可知當或時最小，故C錯誤；
令，解得（舍去）或，
即時的最小值為8，故D正確．
故選：AD．
11.
9、若函數與的圖象恰有一個公共點，則實數可能取值為
A. 2 B. 1 C. 0 D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】
數形結合考查兩個函數的圖象只有一個交點，因為兩函數圖象都過原點，則求函數過原點的切線．
【詳解】解：函數的導數為；
所以過原點的切線的斜率為；
則過原點的切線的方程為：；
所以當時，函數與的圖象恰有一個公共點；
故選：BCD
【點睛】本題考查數形結合思想，考查函數零點，函數的切線的求法；屬于基礎題．
12. 已知函數，則以下結論正確的是（）
A. 在上單調遞增
B.
C. 方程有實數解
D. 存在實數，使得方程有4個實數解
【答案
10、】BCD
【解析】
【分析】對于A項，利用導函數計算即可判定，對于B項，通過求導判定函數單調區間，再比較自變量即可；對于C項，求導判定函數的極值再數形結合即可判定，對于D項，分類討論，分離參數求導函數及數形結合即可判定.
【詳解】由，
顯然當時，，即在上單調遞減，
當時，，即在上單調遞增，故A錯誤；
對于B項，易知，由在上單調遞增可知B正確；
對于C項，由上知處取得極小值，而，故C正確，如圖所示；
對于D項，，即，當，顯然成立，即是其一根，當時，原方程等價于，令，
令，解得，即在上單調遞減，
令，解得或時，即在和上單調遞增，故在處取得極大值，在處取得極小值，，
又時，
11、，可得的大致圖象，如圖所示，
當時，有三個不同的根，且均不為零，綜上所述D正確；
故選：BCD
三?填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中的橫線上）
13. 已知，若三個數成等差數列，則__________.
【答案】5
【解析】
【分析】由等差中項即可求解.
【詳解】由等差中項可得，所以，
故答案為：5
14. 函數在點處的切線方程為，則_____，____.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】
由題得，由導數的幾何意義可得，解方程組即得解.
【詳解】由題得，由導數的幾何意義可得，
即，，
所以.
故答案為：
12、(1). (2).
【點睛】本題主要考查導數的幾何意義，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.
15. 已知數列為等差數列，為數列的前項和，若，，則的取值范圍是_______.
【答案】
【解析】
【分析】根據等差數列的通項公式列不等式組，將表示為的線性和的形式，由此求得的取值范圍.
【詳解】依題意，設，
由解得
，兩式相加得，即的取值范圍是.
【點睛】本小題主要考查等差數列的通項公式，考查等差數列前項和公式，考查取值范圍的求法，屬于中檔題.
16. 若函數f（x）＝x3﹣3x在區間（a，6﹣a2）上有最小值，則實數a的取值范圍是______
【答案
13、】
【解析】
【分析】根據題意求出函數的導數，因為函數 f（x）在區間（a，6﹣a2）上有最小值，所以f′（x）先小于0然后再大于0，所以結合二次函數的性質可得：a＜1＜5﹣a2，進而求出正確的答案．
【詳解】由題意可得：函數 f（x）＝x3﹣3x，
所以f′（x）＝3x2﹣3．
令f′（x）＝3x2﹣3＝0可得，x＝±1；
在上遞增，在（-1，1）上遞減，在（1，+）上遞增，
因為函數 f（x）在區間（a，6﹣a2）上有最小值，則其最小值必為f（1），
1（a，6﹣a2）即a＜1＜6﹣a2，
又結合函數的性質可得：f（a）＝a3﹣3a≥f（1）＝﹣2，且6﹣a2﹣a＞0，
14、
聯立解得：﹣2≤a＜1．
故答案為[﹣2，1）．
【點睛】本題考查了利用導數求函數的單調區間與函數的最值的問題，屬于中檔題．
四?解答題（本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟）
17. 已知函數在處取得極值．
（1）討論和是函數的極大值還是極小值；
（2）過點作曲線的切線，求此切線方程．
【答案】（1）是極大值，是極小值；（2）；
【解析】
【詳解】試題分析：（1）先求出函數的導數，由函數在處取得極值，則得到關于的方程組，求出，可以得到函數的解析式，再去判斷函數的單調性，從而得出函數的極大值與極小值；（2）點不在曲線上，先設切點坐標，然后寫出切線
15、的方程，再根據點在切線上，得到關于的方程，求出，從而得出切點坐標和切線方程；
試題解析：（1），依題意得，，即
解得．，．
令，得．若，則，故
在上是增函數，在上是增函數．若，則，故在上是減函數．是極大值；是極小值．
（2）曲線方程為．點不在曲線上．
設切點為，則點M的坐標滿足．，故切線的方程為．注意到點在切線上，有
化簡得，解得，因此切點為，切線方程為．
考點：導數的應用；
18. 已知數列的前項和為，且.
（1）求數列的通項公式
（2）若數列是等差數列，且，，求數列的前項和.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）當時，求得，當時，遞推作差得，即，得到
16、數列是首項為1，公比為3的等比數列，即可求解數列的通項公式；
（2）由（1）求得，得到，利用分組求和，即可求解．
【詳解】（1）當時，，所以，
當時，因為，所以，
兩式作差得，即，因為，
所以數列是首項為1，公比為3的等比數列，
故；
（2）令，則，，
所以數列的公差，故，
所以，
所以.
【點睛】本題主要考查了等比數列的通項公式的求解，以及數列的“分組求和”的應用，其中解答中根據數列的通項和前n項和之間的關系，求得數列的通項公式，再利用等差、等比數列的前n項和公式求解是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題．
19. 一杯80℃的熱紅茶置于20℃的房間里，它
17、的溫度會逐漸下降，溫度T（單位：℃）與時間t（單位：min）之間的關系由函數給出．
（1）判斷的正負，并說明理由．
（2）的實際意義是什么？如果，你能畫出函數在時圖象的大致形狀嗎？
【答案】（1）負（2）第三分鐘的水溫，平均每分鐘下降
【解析】
【分析】（1）利用導函數的意義解釋即可.
（2）根據圖像過，即可畫出大致圖象.
【詳解】（1）因為的意義為在附近函數值的瞬時變化率，熱紅茶的溫度隨時間的增加而減小，故，的符號為負.
（2）的實際意義表示在第三分鐘附近紅茶的溫度約以每分鐘速率下降.函數的圖象過，，大致圖象如下：
20. 已知數列滿足，.
（1）證明數列是等比數列，
18、并求數列的通項公式；
（2）令，求數列前項和
【答案】（1）見解析（2）
【解析】
【分析】（1）將式子合理變形，即可化成，從而證明是以首項為2，公比為2的等比數列，并利用等比數列通項公式求出的通項公式.
（2）由數列的通項公式是由等比數列與等差數列通項公式乘積得到，即可判斷其可運用錯位相減法求解前n項和.
【詳解】（Ⅰ）證明：由題意可得：，則，又
故是以首項為2，公比為2的等比數列，
所以，故
（2）由（1）知
【點睛】本題主要考查了等比數列的證明，以及錯位相減法的運用，屬于中檔題.對于等比數列的證明主要有兩種方法：（1）定義法，證得即可，其中為常數；（2
19、）等比中項法：證得即可.
21. 正項數列的前n項和Sn滿足：
(1)求數列的通項公式；
(2)令，數列{bn}的前n項和為Tn，證明：對于任意的n∈N*，都有Tn＜ .
【答案】（1）（2）見解析
【解析】
【詳解】（1）因為數列前項和滿足：，
所以當時，，
即
解得或，
因為數列都是正項，
所以，
因為，
所以，
解得或，
因為數列都是正項，
所以，
當時，有，
所以，
解得，
當時，，符合
所以數列的通項公式，;
（2）因為，
所以
，
所以數列的前項和為：
，
當時，
有，
所以，
所以對于任意，數列的前項和.
20、
22. 已知函數
（1）求的單調區間和極值；
（2）若對任意，成立，求實數m的最大值．
【答案】（1）單調增區間是，單調減區間是，極小值，無極大值
（2）4
【解析】
【分析】（1）求導，再根據導函數的符號求出函數的單調區間，再根據極值的定義即可求出極值；
（2）對任意，成立，即恒成立，構造函數，利用導數求出函數的最小值即可得解.
【小問1詳解】
由，得，
令，得；令，得，
∴的單調增區間是，單調減區間是，
故在處有極小值，無極大值；
【小問2詳解】
由及，得恒成立，
令，則，
由，由，
所以在上是減函數，在上是增函數，
所以，
因此，所以m的最大值是4．
2022-2023學年安徽省合肥市高二年級下冊學期期中檢測 數學【含答案】
