2022-2023學年北京市海淀區高三年級下冊學期查缺補漏試題 數學【含答案】

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1、2023屆高三數學查漏補缺題 一、選擇題部分 1． 已知向量是兩個單位向量，則“”是“為銳角”的 （????） A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 2． 數列的前n項和為，且，則“”是“”的 （????） A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 3． 已知數列滿足，，若，則 （????） A．10 B．15 C．20 D．25 4. 已知是首項為正數，公比不為的等比數列，是等差數列，且，那么（

2、 ） A. B. C. D. 的大小關系不能確定 5. 已知直線，曲線，則“l與C相切”是“”的 （????） A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 6. 已知點,．若點在函數的圖象上，記的面積為，則使得 的點的個數為 （????） A．4 B．3 C．2 D．1 7. 過拋物線的焦點F的直線交拋物線于A, B兩點,若F是線段AB的中點,則|AB|=

3、（????） A. 1 B.2 C.3 D.4 8. 已知點M(2,0),點P在曲線上運動,點F為拋物線的焦點,則的最小值為 （????） A.3 B.2(5-1) C.45 D.4 9. 設，則“是第一象限角”是“”的 （????） A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 10. 若角,是銳角三角形的兩個內角，則 “”是“”的 （????） A．充分而不

4、必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 11. 函數，則 （????） A. 若，則為奇函數 B. 若，則為偶函數 C.若，則為偶函數 D.若，則為奇函數 12. 函數，則“對任意的實數，”是“”的 （????） A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 13. 已知,故“存在使得”是“”的 （????） A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充

5、分必要條件 D．既不充分也不必要條件 14. 已知則“”是“”的 （????） A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 15. 在中，, ，則“”是“的面積為”的 （????） A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 二、填空題部分 16. 與雙曲線漸近線相同，且一個焦點坐標是的雙曲線的標準方程是 . 17. 已知分別是雙曲線的左右焦點，P是C上的一點，且, 則的周長是_________

6、_. 18. 已知平面向量滿足，則向量與夾角的最大值是 . 19. 如圖，是半徑為3的圓O的兩條直徑， ，則__________. 20. 函數在的圖象如圖所示. 則 ①的最小正周期為 ； ②距離軸最近的對稱軸方程__________. 21. 將函數且的圖象上各點的橫坐標縮短為原來的倍，再將所得圖象 向左平移個單位長度后，得到一個偶函數圖象，則__________. 22. 設函數 ① 若，則的單調遞增區間是_________； ② 若的值域為R，則的取值范圍是_________. 23. 已知函數有2個零

7、點，且過點，則常數的一個取值為_______. 24. 已知數列的前n項和為，，則_______. 25. 設等差數列的前n項和為，若，，，則公差 ；____. 26. 設函數 ①當時，的值域為____________； ②若恰有2個解，則的取值范圍為____________. 27. 已知平面直角坐標系中的點集，給出下列四個結論： ①當直線l為時，l與S沒有公共點； ②存在直線l與S有且只有一個公共點； ③存在直線l經過S中的無窮個點； ④存在直線l與S沒有公共點，且S中存在兩點在l的兩側. 其中所有正確結論的序號是________. 三、三角函數解答題部分

8、28．已知函數的部分圖象如圖所示. （Ⅰ）直接寫出的值； （Ⅱ）再從條件①、條件②中選擇一個作為已知，求函數在區間 上的最小值. 條件①：直線為函數的圖象的一條對稱軸； 條件②：為函數的圖象的一個對稱中心 29．在△ABC中，． （Ⅰ）求B的值； （Ⅱ）給出以下三個條件： ①； ②，； ③. 若這三個條件中僅有兩個正確，請選出正確的條件并回答下面問題： （?。┣蟮闹?； （ⅱ）∠ABC的平分線交AC于點D，求線段BD的長． 30. 設函數（是常數，）. 若在區間上具有單 調性，且， （Ⅰ）直接寫出的解析式； （Ⅱ）求的單調遞減區間； （Ⅲ

9、）已知，求函數在上的值域. 四、立體幾何解答題部分 31. 如圖，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，平面A1ADD1⊥平面ABCD，AD＝2， AA1＝A1D. （Ⅰ）求證：A1D⊥AB； （Ⅱ）若. （?。┣笾本€與直線所成角的余弦值； （ⅱ）求點到平面的距離； （ⅲ）設點為線段上任意一點（不包含端點），證明：直線與平面相交。 32．正△ABC的邊長為2，CD是AB邊上的高，E、F分別是AC和BC邊的中點，先將△ABC沿CD翻折成直二面角． （Ⅰ）求二面角E－DF－C的余弦值； （Ⅱ）在線段BC上是否存在一點P，使AP⊥DE？

10、 證明你的結論． 五、概率統計解答題部分 33．為了解某地區居民每戶月均用電情況，采用隨機抽樣的方式，從該地區隨機調查了100戶居民，獲得了他們每戶月均用電量的數據，發現每戶月均用電量都在之間，進行適當分組后（每組為左閉右開區間），得到如下頻率分布直方圖： （Ⅰ）記頻率分布直方圖中從左到右的分組依次為第1組，第2組，，第6組，從第5組，第6組中 任取2戶居民，求他們月均用電量都不低于的概率； （Ⅱ）根據上述頻率分布直方圖，估計月均用電量的樣本數據的第90百分位數； （Ⅲ）該地區為提倡節約用電，擬以每戶月均用電量為依據，給該地區月均用電量不少于的居民 用戶每戶發出一份節約

11、用電倡議書，且發放倡議書的數量為該地區居民用戶數的2%．請根據此次 調查的數據，估計應定為多少合適？（只需寫出結論）． 34．2022年冬季奧林匹克運動會主辦城市是北京，北京成為第一個舉辦過夏季奧林匹克運動會和冬季奧林匹克運動會以及亞洲運動會三項國際賽事的城市．為迎接冬奧會的到來，某地很多中小學開展了模擬冬奧會賽事的活動，為了深入了解學生在“自由式滑雪”和“單板滑雪”兩項活動的參與情況，在該地隨機選取了10所學校進行研究，得到如圖數據： （Ⅰ）“自由式滑雪”參與人數超過40人的學?？梢宰鳛椤盎貙W校”，現在從這10所學校中隨機選出3 所，記X為可作為“基地學?！钡膶W校個數，求X的分

12、布列和數學期望； （Ⅱ）在這10所學校中隨機選取3所來調查研究，求在抽到學校中恰有一所參與“自由式滑雪”超過40人 的條件下，抽到學校中恰有一所學?！皢伟寤背^30人的概率； （Ⅲ）現在有一個“單板滑雪”集訓營，對“滑行、轉彎、停止”這3個動作技巧進行集訓，且在集訓中進行 了多輪測試．規定：在一輪測試中，這3個動作中至少有2個動作達到“優秀”，則該輪測試記為 “優秀”．在集訓測試中，小明同學3個動作中每個動作達到“優秀”的概率均為，每個動作互不影 響且每輪測試互不影響．如果小明同學在集訓測試中要想獲得“優秀”的次數的平均值達到3次，那 么理論上至少要進行多少輪測試？ 六

13、、解析幾何解答題部分 35. 已知橢圓的左頂點為，上、下頂點分別為，，. （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）設是橢圓上一點, 不與頂點重合, 點與點關于坐標原點中心對稱, 過作垂直于軸的 直線交直線于點, 再過作垂直于軸的直線交直線于點. 求證: 三點共線. 36. 已知橢圓的左、右頂點為，，離心率為，直線與橢圓交于不同的兩點，直線分別與直線交于點. （Ⅰ）求橢圓的標準方程； （Ⅱ）求證：以為直徑的圓恒過定點. 七、函數綜合題（導數）部分 37. 設函數． （Ⅰ）若曲線在點處的切線與軸平行，求a； （Ⅱ）求的單調區間. 38. 已知函數． （Ⅰ）求

14、曲線在點處的切線方程； （Ⅱ）求證：存在唯一的，使得曲線在點處的切線的斜率為； （Ⅲ）比較與的大小，并加以證明． 39. 設函數，曲線在點處的切線與y軸垂直． （Ⅰ）求b； （Ⅱ）若有一個絕對值不大于1的零點，證明：所有零點的絕對值都不大于1． 八、第21題 40．設A是如下形式的2行3列的數表： a b c d e f 滿足性質，且a+b+c+d+e+f=0. 記為A的第i行各數之和（i=1,2）, 為A的第j列各數之和（j=1,2,3）記為中的最小值． （Ⅰ）對如下表A，求的值； 1 1 0.1 （Ⅱ）設數表A形如 1

15、1 d d 其中，求的最大值； （Ⅲ）對所有滿足性質P的2行3列的數表A，求的最大值． 41．已知數列是由正實數組成的無窮數列，滿足， ， ，. （Ⅰ）寫出數列前4項的所有可能取法； （Ⅱ）判斷：是否存在正整數k，滿足，并說明理由； （Ⅲ）為數列的前項中不同取值的個數，求的最小值. （2）解：不存在，下面證明： 42．已知集合P的元素個數為且元素均為正整數，若能夠將集合P分成元素個數相同且兩兩沒有公共元素的三個集合A, B, C，即， ， ， ，其中，，，且滿足，，，則稱集合為“完美集合”． （Ⅰ）若集合，，判斷集合和集合是否為“完美集合”？并說明理由

16、； （Ⅱ）已知集合為“完美集合”，求正整數的值； （Ⅲ）設集合，證明：集合為“完美集合”的一個必要條件是或. 2023屆高三數學查漏補缺題 參考答案 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A A C C B D D 題號 9 10 11 12 13 14 15 答案 C C B A C D C 16. 17. 34 18. 60° 19. －8 20. ； 21. 22. ①（或）; ② 23. ，取內部任意值均可 24.

17、36 25. ， 26. ①； ② 27. ②④ 28．解：（1）由圖象可知，函數的最小正周期滿足，，則； （2）選擇條件①：因為直線為函數的圖象的一條對稱軸， 所以，，即， ，，則，，， 當時，， 所以當或時，即當或時，函數取得最小值，即； 選擇條件②：因為是函數圖象的一個對稱中心， 則，解得， ，，則，，， 當時，， 所以當或時，即當或時，函數取得最小值，即. 29．解：（1）由題設， 而， 所以，故； （2）若①②正確，則，得或， 所以①②有一個錯誤條件，則③是正確條件， 若②③正確，則，可得，即②為錯誤條件， 綜上，正確條件為①③，

18、 （i）由，則，即， 又，可得， 所以，可得，則， 故； （ii）因為且，得， 由平分得， 在中，， 在中，由，得． 30. 解：（1）； （2） （3）由（1）知， 因為,所以， 令， 所以的值域為 31. 【解析】（Ⅰ）因為底面ABCD是正方形，所以AB⊥AD， 又因為平面A1ADD1⊥平面ABCD，且平面A1ADD1∩平面ABCD＝AD， 所以AB⊥平面A1ADD1. 因為A1D平面A1ADD1，所以AB⊥A1D. （Ⅱ）（i）如圖建立空間直角坐標系O－xyz， 則，，，，， 所以，， 設直線與直線所成角為，則 （ii），，

19、設平面A1DC1的法向量為n＝（x，y，z），則 令z＝1，則y＝，x＝， 于是n＝（，，1）. 所以點到平面的距離 （iii） 設是線段上一點，設（）. 則 因為， 所以直線與平面相交。 32．【解】（1）由已知， 所以為二面角的平面角， 又二面角為直二面角，所以， 以D為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系， 則，，，，， 所以 設平面EDF的法向量為，則，即， 取，則， 所以為平面的一個法向量， 又為平面的一個法向量， ， ∴二面角E－DF－C的余弦值為． （2）設，則， 因為， 所以， ∴， 又，， ∵， ∴， ∴， 把

20、代入上式得， ∴， ∴， ∴在線段BC上存在點，使AP⊥DE． 33．解：(1)由頻率分布直方圖可知，戶居民中，第組的居民戶數為， 第組的居民戶數為， 從第組、第組中任取戶居民，他們月均用電量都不低于的概率為. (2)前個矩形的面積之和為， 前個矩形的面積之和為，設月均用電量的樣本數據的第百分位數為，則，則，解得，因此，估計月均用電量的樣本數據的第百分位數為. (3)前個矩形的面積之和為， 設月均用電量的樣本數據的第百分位數為，則， 則，解得， 故應定為較為合適. 34．解：（1）“自由式滑雪”參與人數超過40人的學校有4所，則X的可能取值為0，1，2，3．

21、 ． 所以X的分布列為： X 0 1 2 3 P 所以． （2）由題可知，參與“自由式滑雪”的人數超過40人的學校，且參加“單板滑雪”的人數不超過30人的學校為C、G， 參與“自由式滑雪”的人數超過40人，且參加“單板滑雪”的人數超過30人的學校為D、I， 參與“自由式滑雪”的人數不超過40人，且參加“單板滑雪”的人數超過30人的學校為A、B、E、H， 參與“自由式滑雪”的人數不超過40人，且參加“單板滑雪”的人數不超過30人的學校為F、J， 設事件A為“從這10所學校中抽3所學校恰有一個參與‘自由式滑雪’的人數超過40人”． 事件B為“從這10所

22、學校中抽3所學校恰有一個參與‘單板滑雪’的人數超過30人”． 則． 若“自由式滑雪”的人數超過40人和“單板滑雪”人數超過30人為同一個學校，則有種情況， 若“自由式滑雪”的人數超過40人和“單板滑雪”人數超過30人非同一個學校，則有種情況，， 所以． （3）由題意可得小明同學在一輪測試中為“優秀”的概率為：． 所以小明在n輪測試中獲得“優秀”的次數Y滿足，由，得． 所以理論上至少要進行12輪測試． 35. 解: 可得, 因此. 設. 聯立方程可得: , 解得 代入得, 于是. 的方程為, 代入, 得: . 再代入得: , 即. 所以, ,

23、 而, 總之三點共線. 36. 解： （Ⅰ） 所以； （Ⅱ）. 聯立 消元得，，. 設，， 可得，，， ，直線的方程為：, 令，可得 , . ，直線的方程為：, 令，可得 , . 取定點, 則: , 同理, , 因此以為直徑的圓恒過定點. 37. 解：（Ⅰ）因為=[]， 所以f ′（x）=［2ax–（4a+1）］ex+［ax2–（4a+1）x+4a+3］ex（x∈R） =［ax2–（2a+1）x+2］ex． f

24、′(1)=(1–a)e． 由題設知f ′(1)=0，即(1–a)e=0，解得a=1． 此時f (1)=3e≠0． 所以a的值為1． （Ⅱ）由（Ⅰ）得f ′（x）=［ax2–（2a+1）x+2］ex=（ax–1）(x–2)ex． 1） 當時，令，， 所以的變化情況如下表： 極大值 2）當，令，或 ①當時，，所以的變化情況如下表： 極小值 極大值 ②當時， （i）當即時， 極大值 極小值 （ii）

25、當即時，恒成立，所以在上單調遞增； （iii）當即時， 極大值 極小值 綜上， 當時，的單調遞增區間是，單調遞減區間是和； 當時，的單調遞增區間是，單調遞減區間是； 當時，的單調遞增區間是和，單調遞減區間為； 當時，的單調遞增區間是，無單調遞減區間； 當時，的單調遞增區間是和，單調遞減區間是. 38. 解：（Ⅰ）函數的定義域是， 導函數為． 所以， 又， 所以曲線在點處的切線方程為． （Ⅱ）由已知．

26、 所以只需證明方程 在區間有唯一解． 即方程 在區間有唯一解． 設函數 ， 則 ． 當 時，，故在區間單調遞增． 又 ，， 所以 存在唯一的，使得． 綜上，存在唯一的，使得曲線在點處的切線的斜率為． （Ⅲ）．證明如下

27、： 首先證明：當時，． 設 ， 則 ． 當 時，，， 所以 ，故在單調遞增， 所以 時，有， 即當 時，有． 所以 ． 39. 解：（Ⅰ）因為，由題意，，即：，則． （Ⅱ）由（1）可得，， 令，得或；令，得， 所以在上單調遞減，在，上單調遞增， 且， 若所有零點中存在一個絕對值大于1的零點，則或， 即或. 當時，， 又， 由零點

28、存在性定理知在上存在唯一一個零點， 即在上存在唯一一個零點，在上不存在零點， 此時不存在絕對值不大于1的零點，與題設矛盾； 當時，， 又， 由零點存在性定理知在上存在唯一一個零點， 即在上存在唯一一個零點，在上不存在零點， 此時不存在絕對值不大于1的零點，與題設矛盾； 綜上，所有零點的絕對值都不大于1. 40．【詳解】（1）因為，，所以 （2）， 因為，所以， 所以 當d=0時，取得最大值1 （3）任給滿足性質P的數表A（如圖所示） a b c d e f 任意改變A的行次序或列次序，或把A中的每個數換成它的相反數，所得數表仍滿足性質P，并且，因此，不

29、妨設，， 由得定義知，，，， 從而 所以，，由（2）知，存在滿足性質P的數表A使，故的最大值為1 41．【詳解】（1）解：由得或， 所以或， 因為足，， 所以或， 所以，當時，或； 當時，或 因為數列是由正實數組成的無窮數列， 所以舍， 所以，數列前4項的所有可能取法有，，，或，，，或，，，. （2）解：不存在，下面證明： 因為， 所以，或， 當時， 因為數列是由正實數組成的無窮數列， 所以，即 或， 所以； 當時， 因為數列是由正實數組成的無窮數列， 所以，即 所以或（舍）， 綜上，， 所以，，. 綜上，不存在正整數，滿足. （

30、3）解：由， 所以，①或②， 對于任意的，均可以使用①遞推，只有滿足時，才可以使用②遞推； 若，顯然，下次只能用①遞推，即 所以，②不能連續使用. 記且， 若，則； 若，則，所以， 所以且， 所以，中至少有共51項，即. 舉例如下： 所以，此時， 所以，的最小值為51. 42．【詳解】（Ⅰ）是“完美集合”，此時，，，， 滿足，. 不是“完美集合”， 若為“完美集合”，將分成3個集合，每個集合中有兩個元素，則，. 中所有元素之和為21 ， 不符合要求. （Ⅱ）由（Ⅰ）可得， 若，，根據 “完美集合”的定義， 則，. 若，，根據 “完美集合”的定義， 則，. 若，，根據 “完美集合”的定義， 則，. 綜上：正整數的值為，9，7，11中任一個. （Ⅲ）設集合中所有元素的和為， 而， 因為， 所以，， ， 等號右邊為正整數， 則等式左邊可以被4整除， 所以或 ， 即或 ．