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1、2.5 矩陣的初等變換與初等矩陣1.初等變換初等變換2.初等矩陣初等矩陣 初等矩陣的作用、初等矩陣的可逆性3.求逆矩陣的初等行變換法求逆矩陣的初等行變換法5.1 初等變換 交換第交換第i行與第行與第j行記為行記為rirj.1 5-1-1 1-2 1 3 1-9 3 7 3 8-1 1 1-2 1 3 1-9 3 7r2r4 1 5-1-1 3 8-1 1 定義定義1 對矩陣施以下列三種變換之一，稱為對矩陣施以下列三種變換之一，稱為初等變換初等變換.(1)交換矩陣的某兩行交換矩陣的某兩行(列列)；(2)以數以數k 0乘矩陣的某一行乘矩陣的某一行(列列)；(3)把矩陣的某一行把矩陣的某一行(列列)
2、的的k倍加到另一行倍加到另一行(列列)上上.例如例如-1 1 3-1 交換第交換第i列與第列與第j列記為列記為cicj.1 5-1-1 1-2 1 3 1-9 3 7 3 8-1 1c1c3 5-2-9 8-1 3 7 1 1 1 1 3例如例如 定義定義1 對矩陣施以下列三種變換之一，稱為對矩陣施以下列三種變換之一，稱為初等變換初等變換.(1)交換矩陣的某兩行交換矩陣的某兩行(列列)；(2)以數以數k 0乘矩陣的某一行乘矩陣的某一行(列列)；(3)把矩陣的某一行把矩陣的某一行(列列)的的k倍加到另一行倍加到另一行(列列)上上.5.1 初等變換 用數用數k乘以第乘以第i行記為行記為kri.1
3、5-1-1 1-2 1 3 1-9 3 7 3 8-1 14r2 4 4-812 1-1 5-1 1 3-9 7 3-1 8 1例如例如 定義定義1 對矩陣施以下列三種變換之一，稱為對矩陣施以下列三種變換之一，稱為初等變換初等變換.(1)交換矩陣的某兩行交換矩陣的某兩行(列列)；(2)以數以數k 0乘矩陣的某一行乘矩陣的某一行(列列)；(3)把矩陣的某一行把矩陣的某一行(列列)的的k倍加到另一行倍加到另一行(列列)上上.5.1 初等變換 用數用數k乘以第乘以第i列記為列記為kci.1 5-1-1 1-2 1 3 1-9 3 7 3 8-1 14c3-4 412-4 1 5-1 1-2 3 1-
4、9 7 3 8 1例如例如 定義定義1 對矩陣施以下列三種變換之一，稱為對矩陣施以下列三種變換之一，稱為初等變換初等變換.(1)交換矩陣的某兩行交換矩陣的某兩行(列列)；(2)以數以數k 0乘矩陣的某一行乘矩陣的某一行(列列)；(3)把矩陣的某一行把矩陣的某一行(列列)的的k倍加到另一行倍加到另一行(列列)上上.5.1 初等變換 第第i行的行的k倍加到第倍加到第j行記為行記為rj+kri.1 5-1-1 1-2 1 3 1-9 3 7 3 8-1 1r3-3r1 1 5-1-1 1-2 1 3 1-9 3 7 0-7 2 4例如例如 定義定義1 對矩陣施以下列三種變換之一，稱為對矩陣施以下列三
5、種變換之一，稱為初等變換初等變換.(1)交換矩陣的某兩行交換矩陣的某兩行(列列)；(2)以數以數k 0乘矩陣的某一行乘矩陣的某一行(列列)；(3)把矩陣的某一行把矩陣的某一行(列列)的的k倍加到另一行倍加到另一行(列列)上上.5.1 初等變換 第第i列的列的k倍加到第倍加到第j列記為列記為cj+kci.1 5-1-1 1-2 1 3 1-9 3 7 3 8-1 1c3+c1 0 2 4 2 1 5-1 1-2 3 1-9 7 3 8 1例如例如 定義定義1 對矩陣施以下列三種變換之一，稱為對矩陣施以下列三種變換之一，稱為初等變換初等變換.(1)交換矩陣的某兩行交換矩陣的某兩行(列列)；(2)以
6、數以數k 0乘矩陣的某一行乘矩陣的某一行(列列)；(3)把矩陣的某一行把矩陣的某一行(列列)的的k倍加到另一行倍加到另一行(列列)上上.5.1 初等變換 定義定義2 對單位矩陣對單位矩陣E施以一次初等變換得到的矩陣稱為施以一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣初等矩陣（或初等方陣）（或初等方陣）.初等矩陣有下列三種：初等矩陣有下列三種：E(i,j)、E(i(k)、E(j,i(k).=E(2,4)例如，下面是幾個例如，下面是幾個4階初等矩陣：階初等矩陣：1000010000100001E=0001100000100100r2r4=E(2,4)1000010000100001E=00011000001
7、00100c2c45.2 初等矩陣=E(3(4)1000010000100001E=00401000010000014 r3=E(3(4)1000010000100001E=00401000100000014 c3 定義定義2 對單位矩陣對單位矩陣E施以一次初等變換得到的矩陣稱為施以一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣初等矩陣（或初等方陣）（或初等方陣）.初等矩陣有下列三種：初等矩陣有下列三種：E(i,j)、E(i(k)、E(j,i(k).例如，下面是幾個例如，下面是幾個4階初等矩陣：階初等矩陣：5.2 初等矩陣=Er(2,4(k)1000010000100001E=010k1000001000
8、01r2+kr4=Ec(2,4(k)1000010000100001E=10 000 001 000 1010kc2+kc4 定義定義2 對單位矩陣對單位矩陣E施以一次初等變換得到的矩陣稱為施以一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣初等矩陣（或初等方陣）（或初等方陣）.初等矩陣有下列三種：初等矩陣有下列三種：E(i,j)、E(i(k)、E(j,i(k).例如，下面是幾個例如，下面是幾個4階初等矩陣：階初等矩陣：5.2 初等矩陣 定理定理1 設設A是一個是一個m n矩陣矩陣，對對A施行一次初等行變換相當于在施行一次初等行變換相當于在A的左邊乘以相應的的左邊乘以相應的m階初等矩陣階初等矩陣；對對A施行
9、一次初等列變換相當于在施行一次初等列變換相當于在A的右邊乘以相應的的右邊乘以相應的n 階初等矩陣階初等矩陣.E(1,2)A=與交換與交換A的第一行的第一行(列列)與第二行與第二行(列列)所得結果相同所得結果相同.AE(1,2)=例如例如，設設=與第三行與第三行(列列)的的2倍加到第一行倍加到第一行(列列)所得結果相同所得結果相同.=例如例如，設設E(1,3(2)A=AE(1,3(2)=定理定理1 設設A是一個是一個m n矩陣矩陣，對對A施行一次初等行變換相當于在施行一次初等行變換相當于在A的左邊乘以相應的的左邊乘以相應的m階初等矩陣階初等矩陣；對對A施行一次初等列變換相當于在施行一次初等列變換
10、相當于在A的右邊乘以相應的的右邊乘以相應的n 階初等矩陣階初等矩陣.初等矩陣都是可逆的，且它們的逆矩陣仍是初等矩陣初等矩陣都是可逆的，且它們的逆矩陣仍是初等矩陣.初等矩陣的可逆性初等矩陣的可逆性E(j,i(k)-1=E(j,i(-k).E(i(k)-1=E(i(k-1)；E(i,j)-1=E(i,j)；這是因為，初等矩陣的行列式要么為這是因為，初等矩陣的行列式要么為1,要么為要么為-1,要么為要么為k(k0).其其逆陣逆陣分別為分別為:例1例例2 2 設設A可逆，可逆，A經過交換第經過交換第 i行與第行與第j行后得到行后得到B，證明證明B可逆可逆.證明：證明：由條件知，一定存在初等矩陣由條件知
11、，一定存在初等矩陣E(i,j),使得使得B=E(i,j)A.又又A可逆，可逆，|A|0，|E(i,j)|=-1.|B|=|A|E(i,j)|0,即即B可逆可逆.6.3 求逆矩陣的初等變換方法定理定理2 若若n階矩陣階矩陣A可逆，則可以通過可逆，則可以通過初等行變換初等行變換將將A化為單位矩陣化為單位矩陣.證：證：因為因為A可逆可逆,即即|A|0，所以，所以A的第一列不全為的第一列不全為0,不妨設不妨設a11 0.將將A的第一行元素乘以的第一行元素乘以1/a11,再將變換后的第一行的再將變換后的第一行的(-ai1)倍加到第倍加到第i行，行，i=2,3,n,使第一列其他元素全化為零，得如下形式矩陣
12、使第一列其他元素全化為零，得如下形式矩陣B1:由定理由定理1 1知，知，其中其中Fi是對應初等矩陣是對應初等矩陣.一直進行下去，最終把一直進行下去，最終把A化成了化成了單位矩陣單位矩陣E.同理可得同理可得B2:即即B2的第二行第二列元素化為的第二行第二列元素化為1,第二列的其它元素全化為零第二列的其它元素全化為零.利用初等行變換求逆矩陣的方法利用初等行變換求逆矩陣的方法(要求：熟練掌握要求：熟練掌握)構造一個構造一個 n2n 矩陣矩陣(A|E)，對矩陣對矩陣(A|E)作初等行變換，當作初等行變換，當左部左部A變成單位矩陣變成單位矩陣E時，右部單位矩陣時，右部單位矩陣E則變成則變成A-1-1.即
13、即 推論推論 方陣方陣A可逆的充分必要條件是可逆的充分必要條件是A可以表示為有限個初等矩陣可以表示為有限個初等矩陣的乘積的乘積.即若即若,則則而而就是說，當通過初等行變換將矩陣就是說，當通過初等行變換將矩陣A變成變成E時，經過同樣的變換把時，經過同樣的變換把E變成變成了了A-1.于是有于是有,即即解：解：例例3.3.若矩陣若矩陣A可逆，則矩陣可逆，則矩陣(A|E)可經初等行變換化為可經初等行變換化為(E|A-1).-0.5r2-r3例例4 4求矩陣求矩陣A=的逆矩陣的逆矩陣.12-30 1210-512-30 1210-510 00 1000 1解：解：1 0 1 1 0 0 0 1-2-2 1 0 0 2-2 3 0 1r2-2r1r3+3r1 1 0 1 1 0 0 0 1-2-2 1 0 0 0 2 7-2 1r3-2r2 1 0 0-2.5 1-0.5 0 1 0 5-1 1 0 0 2 7-2 1r2+r3r1-0.5r3 1 0 0-2.5 1-0.5 0 1 0 5-1 1 0 0 1 3.5-1 0.5，-2.5 5 3.5 1-1-1-0.5 1 0.5A-1=.(A E)=r30.5 若矩陣若矩陣A可逆，則矩陣可逆，則矩陣(A|E)可經初等行變換化為可經初等行變換化為(E|A-1).作業作業作業作業：8484頁頁頁頁 15(1)15(1)；1717
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