線性代數課件：相似矩陣與矩陣的對角化

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1、4.2 4.2 相似矩相似矩陣陣與矩與矩陣陣的的對對角化角化 一、相似矩陣及其性質一、相似矩陣及其性質 二、二、n階矩陣與對角矩陣相似的條件階矩陣與對角矩陣相似的條件 1 1 相似矩陣及其性質相似矩陣及其性質 定義定義2 2 設設A，B為為n階矩陣階矩陣，如果存在可逆矩陣如果存在可逆矩陣P，使得使得 P-1AP B成立成立，則稱矩陣則稱矩陣A與與B相似相似，記為記為AB.相似關系是矩陣間的一種等價關系，滿足相似關系是矩陣間的一種等價關系，滿足 自反性：自反性：A A 對稱性：對稱性：若若AB，則則BA 傳遞性：傳遞性：若若AB，BC，則則 AC 定理定理1 如果矩陣如果矩陣A與與B相似相似，則

2、它們有相同的特征值則它們有相同的特征值.證明：證明：因為因為P-1AP B，A與與B有相同的特征多項式有相同的特征多項式，|l lE-B|P-1(l lE)P-P-1AP|l lE-P-1AP|P-1(l lE-A)P|P-1|l lE-A|P|l lE-A|，所以它們有相同的特征值所以它們有相同的特征值.定義定義2 2 設設A，B為為n階矩陣階矩陣，如果存在可逆矩陣如果存在可逆矩陣P，使得使得 P-1AP B成立成立，則稱矩陣則稱矩陣A與與B相似相似，記為記為AB.假如假如A與對角矩陣相似，與對角矩陣相似，對角矩陣對角線上的元素對角矩陣對角線上的元素即即A的特征值的特征值 注：注：有相同的特

3、征多項式的方陣不一定相似有相同的特征多項式的方陣不一定相似.例：例：特征多項式均為特征多項式均為(l l-1)2,但不存在但不存在P-1EP=A.相似矩陣還具有下述性質：相似矩陣還具有下述性質：(1)相似矩陣有相同的秩；相似矩陣有相同的秩；(2)相似矩陣的行列式相等；相似矩陣的行列式相等；(3)相似矩陣的跡相等；相似矩陣的跡相等；定理定理1 1 如果矩陣如果矩陣A與與B相似相似，則它們有相同的特征值則它們有相同的特征值.(4)AmBm,m為正整數為正整數.解解：由于由于A和和B相似，所以相似，所以Tr(A)=Tr(B),|A|=|B|,即即 解解：由于矩陣由于矩陣A和和D相似相似，所以所以|A

4、|=|D|,即即|A|=|D|12.例例1.若矩陣若矩陣相似，求相似，求x,y.解得解得例例2.設設3階方陣階方陣A相似于相似于,求求|A|.定理定理2 2 n階矩陣階矩陣A與與n階對角矩陣階對角矩陣 LLdiag(l l1 1,l l2 2,l ln)相似的充分必要條件為矩陣相似的充分必要條件為矩陣A有有n個線性無關的特征向量個線性無關的特征向量.2 2 n階矩陣與對角矩陣相似的條件階矩陣與對角矩陣相似的條件 例如，矩陣例如，矩陣A 有兩個不同的特征值有兩個不同的特征值l l1 4,l l2-2,1-5 1 1 其對應特征向量分別為其對應特征向量分別為x x1 ，x x2 .1 1-5 1

5、取取P(x x1,x x2)，則則 1-5-5 1 1所以所以A與與對角矩陣相似對角矩陣相似.P-1AP-1 1-5-116-5-1 3 1 1-5 1 1 0-2 4 0，問題問題：若取若取P(x x2,x x1)，問問LL？稱為A可對角化 推推論論 若若n階階矩矩陣陣A有有n個個相相異異的的特特征征值值l l1，l l2，l ln，則則A與與對角矩陣對角矩陣 LLdiag(l l1 1,l l2 2,l ln)相似相似.注意注意 A有有n個相異特征值只是個相異特征值只是A可化為對角矩陣的可化為對角矩陣的充分條件充分條件,而不是而不是必要條件必要條件.且有且有Ax x1-2x x1，Ax x

6、2 x x2，Ax x3 x x3，向量組是向量組是A的線性無關的的線性無關的特征向量特征向量.所以當所以當P(x x1,x x2,x x3)時，有時，有 例如例如，A ，x x1 ，x x2 ，x x3 ，4-3-3 6-6-5 0 1 0-1 1 1-2 0 1 0 1 0 P-1AP diag(-2-2,1,1).A 1 6 3 -3 -6 -5 3 4 3(1)解：解：(1)矩陣矩陣A的特征方程為的特征方程為l l-1-6-3 3 6l l+5+5 -3l l-4-3|l lE-A|矩陣矩陣A的特征值為的特征值為 l l1 l l2-2,l l3 4，對于特征值對于特征值l l3 4，

7、解線性方解線性方程組程組(4 4E-A)X o，得其基礎解系得其基礎解系x x3=.112 對于特征值對于特征值l l1 l l2-2,解線性解線性方程組方程組(-2E-A)X o，1 110-101得其基礎解系得其基礎解系x x1=,x x2=.(l l+2+2)2(l l-4)-4)0，(2)-1 1-4B 1 0 3 0 2 0 例例3.3.判斷下列矩陣是否相似判斷下列矩陣是否相似于對角陣于對角陣,若相似求可逆矩陣若相似求可逆矩陣P，使使P-1 A P L L.由于由于A有有3個線性無關的特征個線性無關的特征 向量向量x x1，x x2，x x3，所以所以A相似于相似于對角陣對角陣L L

8、.所求的相似變換矩陣為所求的相似變換矩陣為 P=(x x1，x x2，x x3),1 0 1 -1-1 1 1 0 0 1 2 1對角陣為對角陣為L L ,-2 0 0 0 0 0 0 -2 0 4 0滿足滿足 P-1 A P L L.A 1 6 3 -3 -6 -5 3 4 3(1)(2)-1 1-4B 1 0 3 0 2 0 例例3.3.判斷下列矩陣是否相似判斷下列矩陣是否相似于對角陣于對角陣,若相似求可逆矩陣若相似求可逆矩陣P，使使P-1 A P L L.l l+1-1 4 4-1 0l l-3-3 0 0l l-2 0 0|l lE-B|(l l-2)(l l-1)2 0，矩陣矩陣B的

9、特征值為的特征值為 l l1 l l211,l l3 2.對于特征值對于特征值l l1 l l211,解線性方解線性方程組程組(E-B)X o，得其基礎解系得其基礎解系x x1=，12-1 對于特征值對于特征值l l3 2，解線性方解線性方程組程組(2 2E-B)X o，得其基礎解系得其基礎解系x x2=.001顯然顯然，B不能相似于對角陣不能相似于對角陣.A 1 6 3 -3 -6 -5 3 4 3(1)(2)-1 1-4B 1 0 3 0 2 0 例例3.3.判斷下列矩陣是否相似判斷下列矩陣是否相似于對角陣于對角陣,若相似求可逆矩陣若相似求可逆矩陣P，使使P-1 A P L L.解：解：(

10、2)矩陣矩陣B的特征方程為的特征方程為 作業：作業：137137頁頁 5(1)5(1)思考題：思考題：設設問問x取何值時，矩陣取何值時，矩陣A可對角化可對角化.解：解：矩陣的特征方程為矩陣的特征方程為|l lE-A|l l+1-1 4-1 0l-l-3 0l-l-2 0 (l l-2)(l l-1)2 0，矩陣矩陣A的特征值為的特征值為 l l1 l l2 1，l l3 2.對于特征值對于特征值l l1 l l2 1，解線性方程組解線性方程組(E-A)X o，例例2.求矩陣求矩陣A-1 1-4 1 0 3 0 2 0的特征值與特征向量的特征值與特征向量.于是，于是，A的對應于的對應于l l1

11、l l2 1的全部特征向量為的全部特征向量為得其基礎解系得其基礎解系 ，12-1(c1不為不為0).-1 1-4 1 0 3 0 2 0(3)對于矩陣 A 及特征值l1，解齊次線性方程組(lE-A)XO 因為特征矩陣E-A所以齊次線性方程組(E-A)XO的一般解為1+1-1 4-1 01-3 01-2 02-1 4-1 0-2 0-1 010 00 01 10 2，基礎解系為 12-1x1-x3x2-2x3 解：解：矩陣的特征方程為矩陣的特征方程為l l+1-1 0(l l-2)(l l-1)2 0，矩陣矩陣A的特征值為的特征值為 l l1 l l2 1，l l3 2.對于特征值對于特征值l

12、l3 2，解線解線性方程組性方程組(2E-A)X o，例例2.求矩陣求矩陣A-1 1-4 1 0 3 0 2 0的特征值與特征向量的特征值與特征向量.于是，于是，A的對應于的對應于l l3 2的全的全部特征向量為部特征向量為得其基礎解系得其基礎解系 ，001|l lE-A|l l+1-1 4-1 0l-l-3 0l-l-2 0(c2不為不為0).-1 1-4 1 0 3 0 2 0(4)對于矩陣 A 及特征值l2，解齊次線性方程組(lE-A)XO 因為特征矩陣2E-A所以齊次線性方程組(2E-A)XO的一般解為2+1-1 4-1 02-3 02-2 03-1 4-1 0-1 0 0 010 0

13、0 01 00 0，基礎解系為 001x10 x20為什么為什么?有關特征值和特征向量 特征值和特征向量的知識在物理學和統計學中用特征值和特征向量的知識在物理學和統計學中用特征值和特征向量的知識在物理學和統計學中用特征值和特征向量的知識在物理學和統計學中用處很大，有時在求處很大，有時在求處很大，有時在求處很大，有時在求n n階方陣的階方陣的階方陣的階方陣的p p次冪時也有用。次冪時也有用。次冪時也有用。次冪時也有用。比如比如比如比如 5-1 3 1 5-1 3 1 5-1 3 1特征值特征值特征值特征值特征向量特征向量特征向量特征向量特征向量特征向量特征向量特征向量特征值特征值特征值特征值有關

14、特征值和特征向量 5-1 3 1 1-5 1 1 4 10101010 4 -2=1-5 1 1 0-2 4 0=特征值特征值特征值特征值 5-1 3 1 1-5 1 1 1-5 1 1-1=0-2 4 0 1-5 1 1 1-5 1 1-1 0-2 4 0 5-1 3 1=5-1 3 1p=?=?例例8 8設設A為為三三階階方方陣陣，其其特特征征值值互互不不相相同同，若若|A|0|A|0，則則A A的的秩秩為為_.(2008 2008 數三數三)例例7 7設設A為為二二階階方方陣陣，a a1 1,a,a2 2為為線線性性無無關關的的二二維維列列向向量量，Aa a1 1=0，Aa a2 2=2a a1 1+a a2 2,則則A的非零特征值為的非零特征值為_.(2008 2008 數一數一)分析：分析：第二個式子第二個式子左乘左乘AA A2 2a a2 222AaAa1 1+AaAa2 2 AaAa2 2l l2 22 2a a2 2 l l2 2a a2 2，可推知，可推知l l2 211