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1、概概概概率率率率論論論論與與與與數數數數理理理理統統統統計計計計1 1/13/13第一章第一章 概率論的基本概念概率論的基本概念在一定條件下必然發生的現象在一定條件下必然發生的現象在一定條件下必然發生的現象在一定條件下必然發生的現象向空中拋一物體必然落向地面；向空中拋一物體必然落向地面；向空中拋一物體必然落向地面；向空中拋一物體必然落向地面；水加熱到水加熱到水加熱到水加熱到100100100100必然沸騰；必然沸騰；必然沸騰；必然沸騰；異性電荷相吸引；異性電荷相吸引；異性電荷相吸引；異性電荷相吸引；放射性元素發生蛻變；放射性元素發生蛻變；放射性元素發生蛻變；放射性元素發生蛻變；在試驗或觀察前無
2、法預知出現什么結果在試驗或觀察前無法預知出現什么結果在試驗或觀察前無法預知出現什么結果在試驗或觀察前無法預知出現什么結果拋一枚硬幣拋一枚硬幣拋一枚硬幣拋一枚硬幣,結果可能正面結果可能正面結果可能正面結果可能正面(或反面或反面或反面或反面)朝上；朝上；朝上；朝上；向同一目標射擊向同一目標射擊向同一目標射擊向同一目標射擊,各次彈著點都不相同；各次彈著點都不相同；各次彈著點都不相同；各次彈著點都不相同；某地區的日平均氣溫某地區的日平均氣溫某地區的日平均氣溫某地區的日平均氣溫；擲一顆骰子，可能出現的點數；擲一顆骰子，可能出現的點數；擲一顆骰子，可能出現的點數；擲一顆骰子，可能出現的點數；研研研研究究究
3、究和和和和揭揭揭揭示示示示隨隨隨隨機機機機現現現現象象象象的的的的統計規律性的數學學科統計規律性的數學學科統計規律性的數學學科統計規律性的數學學科2 2/13/13第一章第一章 概率論的基本概念概率論的基本概念3 3/15/153 3/13/13結果有可能為結果有可能為:“1”,“2”,“3”,“4”,“5”或或“6”.實例實例 “拋擲一枚骰子拋擲一枚骰子,觀觀 察出現的點數察出現的點數”.實例實例 “用同一門炮向同用同一門炮向同 一目標發射同一種炮彈多一目標發射同一種炮彈多 發發,觀察彈落點的情況觀察彈落點的情況”.結果結果:“彈落點會各不相同彈落點會各不相同”.隨機現象的特征隨機現象的特征
4、條件不能完全決定結果條件不能完全決定結果概率論最早是從賭博概率論最早是從賭博概率論最早是從賭博概率論最早是從賭博(博弈博弈博弈博弈)游戲開始的游戲開始的游戲開始的游戲開始的.博博博博弈弈弈弈游游游游戲戲戲戲產產產產生生生生于于于于人人人人類類類類已已已已有有有有數數數數千千千千年年年年歷歷歷歷史史史史了了了了.考考考考古古古古工工工工作作作作者者者者在在在在公公公公元元元元前前前前3500350035003500年年年年的的的的一一一一座座座座埃埃埃埃及及及及古古古古墓墓墓墓中中中中發發發發現現現現古古古古埃埃埃埃及及及及人人人人在在在在一一一一種種種種 “獵獵獵獵犬犬犬犬與與與與豺豺豺豺狼狼
5、狼狼”的的的的板板板板盤盤盤盤游游游游戲戲戲戲中中中中,用用用用投投投投擲擲擲擲距距距距骨骨骨骨的的的的結結結結果果果果決決決決定定定定獵獵獵獵犬與豺狼移動的步數犬與豺狼移動的步數犬與豺狼移動的步數犬與豺狼移動的步數.骰骰骰骰子子子子是是是是在在在在距距距距骨骨骨骨之之之之后后后后發發發發現現現現的的的的,伊伊伊伊拉拉拉拉克克克克北北北北部部部部曾曾曾曾發發發發現現現現一一一一顆顆顆顆陶陶陶陶制制制制的的的的骰骰骰骰子子子子,據據據據推推推推斷斷斷斷距距距距今今今今已已已已有有有有3000300030003000年年年年歷歷歷歷史史史史.它它它它對對對對面面面面的的的的點點點點數數數數是是是是
6、2 2 2 2和和和和3,43,43,43,4和和和和5,15,15,15,1和和和和6.6.6.6.現現現現在在在在人人人人們們們們使使使使用用用用的的的的對對對對面面面面點點點點數數數數之之之之和和和和為為為為7 7 7 7的的的的骰骰骰骰子子子子大大大大約約約約出出出出現現現現在在在在公公公公元元元元前前前前1400140014001400年年年年左左左左右右右右.紙紙紙紙牌牌牌牌的的的的出出出出現現現現更更更更晚晚晚晚一一一一些些些些.這這這這些些些些器具不僅用于賭博器具不僅用于賭博器具不僅用于賭博器具不僅用于賭博,還用于占卜和算命還用于占卜和算命還用于占卜和算命還用于占卜和算命.公公
7、公公元元元元960960960960年年年年意意意意大大大大利利利利主主主主教教教教韋韋韋韋伯伯伯伯爾爾爾爾德德德德(WiboldWibold)把把把把人人人人的的的的品品品品德德德德歸歸歸歸納納納納為為為為56565656種種種種,算算算算命命命命者者者者擲擲擲擲3 3 3 3顆顆顆顆骰骰骰骰子子子子,主主主主教教教教就就就就告告告告訴訴訴訴他他他他的的的的品品品品德德德德是是是是什什什什么么么么.這說明當時人們已經會計算排列組合問題了這說明當時人們已經會計算排列組合問題了這說明當時人們已經會計算排列組合問題了這說明當時人們已經會計算排列組合問題了.4 4/13/13 有有有有關關關關賭賭賭
8、賭博博博博的的的的最最最最早早早早一一一一個個個個數數數數學學學學問問問問題題題題出出出出現現現現在在在在1494149414941494年年年年意意意意大大大大利利利利修修修修士士士士、數數數數學學學學家家家家巴巴巴巴喬喬喬喬羅羅羅羅(Luca Luca PaccioloPacciolo)的的的的著著著著作作作作算算算算術術術術,幾幾幾幾何何何何,比比比比例和比值要義例和比值要義例和比值要義例和比值要義中中中中.應該按應該按應該按應該按賭博中止時甲乙已贏的局數分配賭本賭博中止時甲乙已贏的局數分配賭本賭博中止時甲乙已贏的局數分配賭本賭博中止時甲乙已贏的局數分配賭本.比如比如比如比如:就按就按就
9、按就按2:12:12:12:1分配分配分配分配.熱熱熱熱衷衷衷衷于于于于占占占占星星星星術術術術和和和和擲擲擲擲骰骰骰骰子子子子的的的的代代代代數數數數學學學學家家家家卡卡卡卡丹丹丹丹(J.CardanJ.Cardan)和和和和塔塔塔塔塔塔塔塔利利利利亞亞亞亞(N.TartanliaN.Tartanlia)指指指指出出出出巴巴巴巴喬喬喬喬羅羅羅羅的的的的分分分分法法法法是是是是錯錯錯錯誤誤誤誤的的的的,認認認認為為為為巴巴巴巴的的的的分分分分法法法法沒沒沒沒有有有有考考考考慮慮慮慮甲甲甲甲乙乙乙乙雙雙雙雙方方方方取取取取得得得得最最最最終終終終勝勝勝勝利利利利還還還還需需需需要要要要贏贏贏贏的
10、的的的局局局局數數數數.但是他們兩人也沒有給出正確的解法但是他們兩人也沒有給出正確的解法但是他們兩人也沒有給出正確的解法但是他們兩人也沒有給出正確的解法.5 5/13/13 17171717世世世世紀紀紀紀中中中中葉葉葉葉,法法法法國國國國貴貴貴貴族族族族德德德德 梅梅梅梅理理理理 (De De MM r r)向向向向法法法法國國國國著著著著名數學家、物理學家帕斯卡名數學家、物理學家帕斯卡名數學家、物理學家帕斯卡名數學家、物理學家帕斯卡(B.PascalB.Pascal)再次提出同一問題再次提出同一問題再次提出同一問題再次提出同一問題.這這這這一一一一貌貌貌貌似似似似簡簡簡簡單單單單的的的的問
11、問問問題題題題難難難難住住住住了了了了天天天天才才才才數數數數學學學學家家家家帕帕帕帕斯斯斯斯卡卡卡卡,他他他他思思思思索索索索了了了了很很很很久久久久仍仍仍仍沒沒沒沒有有有有解解解解決決決決.于于于于是是是是,他他他他開開開開始始始始了了了了與與與與費費費費馬馬馬馬(P.FermatP.Fermat)關關關關于于于于這這這這一一一一問問問問題題題題的的的的通通通通信信信信討討討討論論論論.帕帕帕帕斯斯斯斯卡卡卡卡在在在在1654165416541654年年年年7 7 7 7月月月月29292929日日日日給給給給費費費費馬馬馬馬的的的的信信信信中中中中給給給給出出出出了了了了這這這這一一一一
12、問問問問題題題題的的的的解解解解.這這這這一一一一問問問問題題題題討討討討論論論論中中中中,產產產產生生生生了了了了“概概概概率率率率”和和和和“數數數數學學學學期期期期望望望望”等等等等基基基基本本本本概概概概念念念念.帕帕帕帕斯斯斯斯卡卡卡卡的的的的這這這這封封封封信信信信被被被被公公公公認認認認為為為為是概率論的第一篇文獻是概率論的第一篇文獻是概率論的第一篇文獻是概率論的第一篇文獻,是數學史上的一個里程碑是數學史上的一個里程碑是數學史上的一個里程碑是數學史上的一個里程碑.6 6/13/13 在在在在隨隨隨隨后后后后的的的的200200200200多多多多年年年年里里里里,概概概概率率率率
13、論論論論不不不不僅僅僅僅在在在在理理理理論論論論上上上上獲獲獲獲得得得得了了了了一一一一定定定定發發發發展展展展,而而而而且且且且在在在在人人人人口口口口統統統統計計計計、保保保保險險險險業業業業、誤誤誤誤差差差差理理理理論論論論、天天天天文文文文學學學學等等等等自自自自然然然然科科科科學學學學中中中中得得得得到到到到了了了了應應應應用用用用.在在在在這這這這一一一一時時時時期期期期,對對對對概概概概率率率率論論論論在在在在理理理理論論論論和和和和應應應應用用用用方方方方面面面面作作作作出出出出重重重重要要要要貢貢貢貢獻獻獻獻的的的的數數數數學學學學家家家家有有有有雅雅雅雅格格格格布布布布伯伯
14、伯伯努努努努利利利利(JakobJakob BernoulliiBernoullii),),),),丹丹丹丹尼尼尼尼爾爾爾爾伯伯伯伯努努努努利利利利(Daniel Daniel BernoulliiBernoullii),),),),棣棣棣棣莫莫莫莫弗弗弗弗(De De MoivreMoivre),),),),拉拉拉拉普普普普拉拉拉拉斯斯斯斯(P.LapaceP.Lapace),),),),歐歐拉拉(L.EulerL.Euler),),),),貝貝貝貝葉葉葉葉斯斯斯斯(T.BayesT.Bayes),蒲蒲 豐豐(G.BuffonG.Buffon),高高 斯斯(F.GaussF.Gauss),泊
15、泊 松松(S.PoissonS.Poisson),布布尼尼亞亞可可夫夫斯斯基基(V.BunjakovskiiV.Bunjakovskii),切切比比雪雪夫夫(ChebyshevChebyshev),馬馬 爾爾 可可 夫夫(A.MarkovA.Markov),李李 雅雅 普普 諾諾 夫夫(A.LyapunovA.Lyapunov)等等.盡盡盡盡管管管管18,1918,1918,1918,19世世世世紀紀紀紀,概概概概率率率率論論論論在在在在理理理理論論論論和和和和應應應應用用用用方方方方面面面面得得得得到到到到了了了了很很很很多多多多成成成成果果果果,但但但但與與與與其其其其它它它它數數數數學學
16、學學分分分分支支支支比比比比較較較較,概概概概率率率率論論論論的的的的發發發發展展展展是是是是緩緩緩緩慢慢慢慢的的的的.甚甚甚甚至至至至直直直直到到到到20202020世世世世紀紀紀紀以以以以前前前前概概概概率率率率論論論論還還還還未未未未進進進進入入入入主主主主流流流流數數數數學學學學.其其其其基基基基本本本本原原原原因因因因是概率論缺乏嚴密的邏輯基礎是概率論缺乏嚴密的邏輯基礎是概率論缺乏嚴密的邏輯基礎是概率論缺乏嚴密的邏輯基礎.7 7/13/13“概率概率概率概率”是什么意思是什么意思是什么意思是什么意思 如何定義如何定義如何定義如何定義 如何理如何理如何理如何理解解解解在半徑為在半徑為在
17、半徑為在半徑為 的圓的圓的圓的圓 內內內內“任意任意任意任意”作一弦作一弦作一弦作一弦,作半徑為作半徑為作半徑為作半徑為 的同心圓的同心圓的同心圓的同心圓設設設設弦弦弦弦 的的的的中中中中點點點點 “任任任任意意意意”落落落落于于于于圓圓圓圓 內內內內試求此弦長度試求此弦長度試求此弦長度試求此弦長度 大于圓內接等邊三角形邊長大于圓內接等邊三角形邊長大于圓內接等邊三角形邊長大于圓內接等邊三角形邊長 的的的的概率概率概率概率若若若若 落于圓落于圓落于圓落于圓 內內內內,則則則則,于是于是于是于是設設設設弦弦弦弦 的一端的一端的一端的一端 固定于圓周上固定于圓周上固定于圓周上固定于圓周上,另一端任意
18、另一端任意另一端任意另一端任意.考慮等邊考慮等邊考慮等邊考慮等邊 如如如如 落于角落于角落于角落于角 對應的對應的對應的對應的弧弧弧弧 上上上上,則則則則,于是于是于是于是的弧長的弧長的弧長的弧長圓周長圓周長圓周長圓周長8 8/13/13 我我我我們們們們知知知知道道道道,平平平平面面面面幾幾幾幾何何何何學學學學及及及及微微微微積積積積分分分分等等等等數數數數學學學學概概概概念念念念與與與與理理理理論論論論都都都都是是是是建建建建立立立立在在在在各各各各自自自自的的的的幾幾幾幾個個個個基基基基本本本本公公公公理理理理上上上上的的的的.公公公公理理理理化化化化體體體體系系系系是是是是數數數數學學
19、學學的的的的堅堅堅堅實實實實基基基基礎礎礎礎.概概概概率率率率論論論論之之之之所所所所以以以以還還還還不不不不成成成成為為為為“數數數數學學學學”,其基本原因是概率論缺乏嚴密的邏輯基礎其基本原因是概率論缺乏嚴密的邏輯基礎其基本原因是概率論缺乏嚴密的邏輯基礎其基本原因是概率論缺乏嚴密的邏輯基礎.1900190019001900年年年年,在在在在巴巴巴巴黎黎黎黎國國國國際際際際數數數數學學學學家家家家大大大大會會會會上上上上,著著著著名名名名數數數數學學學學家家家家希希希希爾爾爾爾伯伯伯伯特特特特(D.HilbertD.Hilbert)作作作作了了了了題題題題為為為為數數數數學學學學問問問問題題題
20、題的的的的重重重重要要要要報報報報告告告告,提提提提出出出出了了了了20202020世世世世紀紀紀紀數數數數學學學學學學學學科科科科的的的的主主主主攻攻攻攻方方方方向向向向,在在在在第第第第六六六六個個個個問問問問題題題題“物物物物理理理理公公公公理理理理的的的的數數數數學學學學處處處處理理理理”中中中中就就就就特特特特別別別別提提提提到到到到了了了了概概概概率率率率的的的的公理化問題公理化問題公理化問題公理化問題.1902190219021902年年年年,勒勒勒勒貝貝貝貝格格格格(H.LebesgueH.Lebesgue)的的的的論論論論文文文文積積積積分分分分、長長長長度度度度和和和和面面
21、面面積積積積建建建建立立立立了了了了測測測測度度度度論論論論的的的的基基基基礎礎礎礎,經經經經過過過過玻玻玻玻雷雷雷雷爾爾爾爾(E.BorelE.Borel)、拉拉拉拉東東東東(J.RadonJ.Radon)、弗弗弗弗 雷雷雷雷 歇歇歇歇(M.FrchetM.Frchet)、斯斯斯斯 泰泰泰泰 因因因因 豪豪豪豪 斯斯斯斯(H.SteinhausH.Steinhaus)等等等等人人人人的的的的努努努努力力力力,到到到到1930193019301930年年年年勒勒勒勒貝貝貝貝格格格格的的的的理理理理論論論論發發發發展展展展到到到到了了了了嚴嚴嚴嚴格格格格表表表表述述述述概概概概率率率率論論論論公
22、公公公理理理理化化化化所所所所必必必必須須須須的的的的程程程程度度度度.1933.1933.1933.1933年年年年柯柯柯柯爾爾爾爾莫莫莫莫哥哥哥哥洛洛洛洛夫夫夫夫(A.KolmogorvoA.Kolmogorvo)的的的的著著著著作作作作概概概概率率率率論論論論基基基基礎礎礎礎正正正正式式式式出出出出版版版版,給給給給出出出出了了了了概概概概率率率率論論論論公公公公理理理理化化化化的的的的完完完完整整整整結結結結構構構構.從從從從此此此此,概概概概率率率率論論論論才才才才正正正正式成為真正的數學分支式成為真正的數學分支式成為真正的數學分支式成為真正的數學分支.9 9/13/13 凱凱凱凱恩
23、恩恩恩斯斯斯斯主主主主張張張張把把把把任任任任何何何何命命命命題題題題都都都都看看看看作作作作事事事事件件件件,例例例例如如如如“明明明明天天天天將將將將下下下下雨雨雨雨”,“,“,“,“土土土土星星星星上上上上有有有有生生生生命命命命”等等等等等等等等都都都都是是是是事事事事件件件件,人人人人們們們們對對對對這這這這些些些些事事事事件件件件的的的的可可可可信信信信程程程程度度度度就就就就是是是是概概概概率率率率,而而而而與與與與隨隨隨隨機機機機試試試試驗驗驗驗無無無無關關關關,通通通通常常常常稱稱稱稱為為為為主主主主觀觀觀觀概概概概率率率率.米米米米澤澤澤澤斯斯斯斯定定定定義義義義事事事事件
24、件件件的的的的概概概概率率率率為為為為該該該該事事事事件件件件出出出出現現現現的的的的頻頻頻頻率率率率的的的的極極極極限限限限,而而而而作作作作為為為為公公公公理理理理就就就就必必必必須須須須把把把把這這這這一一一一極極極極限限限限的的的的存存存存在在在在作作作作為為為為第第第第一一一一條條條條公公公公理理理理,通通通通常稱為常稱為常稱為常稱為客觀概率客觀概率客觀概率客觀概率.目目目目前前前前,絕絕絕絕大大大大多多多多數數數數教教教教科科科科書書書書都都都都是是是是采采采采用用用用柯柯柯柯爾爾爾爾莫莫莫莫哥哥哥哥洛洛洛洛夫夫夫夫的的的的概概概概率率率率公理化體系公理化體系公理化體系公理化體系.
25、1010/13/131111/13/13第一章第一章 概率論的基本概念概率論的基本概念1212/13/13第一章第一章 概率論的基本概念概率論的基本概念1313/15/15科學實驗科學實驗科學實驗科學實驗擲一顆骰子，觀察出現的點數擲一顆骰子，觀察出現的點數擲一顆骰子，觀察出現的點數擲一顆骰子，觀察出現的點數對某廠生產的電子產品進行壽命測試對某廠生產的電子產品進行壽命測試對某廠生產的電子產品進行壽命測試對某廠生產的電子產品進行壽命測試觀察某地區的日平均氣溫和日平均降水量觀察某地區的日平均氣溫和日平均降水量觀察某地區的日平均氣溫和日平均降水量觀察某地區的日平均氣溫和日平均降水量或者對某一事物的某一
26、特征進行觀察或者對某一事物的某一特征進行觀察或者對某一事物的某一特征進行觀察或者對某一事物的某一特征進行觀察拋一枚硬幣，觀察正面拋一枚硬幣，觀察正面拋一枚硬幣，觀察正面拋一枚硬幣，觀察正面 、反面、反面、反面、反面 出現的情況出現的情況出現的情況出現的情況將一枚硬幣連拋三次，觀察正面將一枚硬幣連拋三次，觀察正面 出現的次數出現的次數從一批產品中抽取從一批產品中抽取從一批產品中抽取從一批產品中抽取 件，觀察次品出現的數量件，觀察次品出現的數量件，觀察次品出現的數量件，觀察次品出現的數量這些試驗有什么特點這些試驗有什么特點這些試驗有什么特點這些試驗有什么特點試驗前無法預知結果試驗前無法預知結果試驗
27、前無法預知結果試驗前無法預知結果第一章第一章 概率論的基本概念概率論的基本概念1414/15/15試驗可以在相同的條件下重復進行試驗可以在相同的條件下重復進行試驗可以在相同的條件下重復進行試驗可以在相同的條件下重復進行 試驗的結果可能不止一個，但試驗前知道所試驗的結果可能不止一個，但試驗前知道所試驗的結果可能不止一個，但試驗前知道所試驗的結果可能不止一個，但試驗前知道所有可能的全部結果有可能的全部結果有可能的全部結果有可能的全部結果在每次試驗前無法確定會出現那個結果在每次試驗前無法確定會出現那個結果在每次試驗前無法確定會出現那個結果在每次試驗前無法確定會出現那個結果 具有上述特征的試驗稱為具有上述特征的試驗稱為具有上述特征的試驗稱為具有上述特征的試驗稱為隨機試驗隨機試驗隨機試驗隨機試驗,簡稱簡稱簡稱簡稱試驗試驗試驗試驗第一章第一章 概率論的基本概念概率論的基本概念1515/15/15記錄某公共汽車站某日上記錄某公共汽車站某日上午某時刻的等車人午某時刻的等車人 數數.考察某地區考察某地區 10 月份的平月份的平均氣溫均氣溫.從一批燈泡中任取一只從一批燈泡中任取一只,測試其壽命測試其壽命.
概率論與數理統計：第1章 1隨機試驗
