空間點線面位置關系

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1、1問題(1)是否存在三條直線兩兩互相垂直？若存在，請舉出 實際例子。CADB兩直線沒有公共點，則它們平行；(2)請判斷下列命題是否正確：垂直于同一條直線的兩 條直線平行。21、平面圖形與立體圖形的聯系與區別：聯系：從集合論的角度看，兩者都是點的集合；區別：平面圖形由點、線構成，而立體圖形是由點、線、面構成。平面圖形的點都在一個平面內，而立體圖形 的點不全在一個平面內；32、立體圖形的研究方法考慮問題時，要著眼于整個空間，而不是局限于某 一個平面；立體圖形的問題常常轉化為平面圖形問題來解決。43、學習要點 搞清平面圖形和立體圖形的聯系與區別；發展空間想像能力；提高推理論證能力。54、立體幾何的主

2、要思想方法類比法：要善于與平面幾何做比較，認識其相同點，發現 其不同點，這種思想方法稱之為類比思想。轉化法：把空間圖形的問題轉化為平面圖形問題去解決，這是學習立體幾何的很重要的數學思想方法。展開法：將可展的空間圖形展開為平面圖形，來處理問題的思想方法稱為展開思想。6平面的基本性質7一、平面一個平面把空間分成兩部分。一條直線把平面分成兩部分。2、平面的特征：無厚度、無邊界、無長度、無寬度(不能度量)；無限延展的；1、平面的概念：不定義的原始概念83、平面的畫法：通常用平行四邊形來表示平面。4、平面的表示方法：垂直放置水平放置平面 M平面 ABCDM平面 傾斜放置95、相交平面的畫法：注意：必須畫

3、出其交線，被遮部分的線段畫成虛線 或者不畫。10lBABABAl11一、點與線、點與面的位置關系（集合語言表示法）點P在(不在)直線 l 上，點A在(不在)平面 上，二、空間兩條直線的位置關系二、空間兩條直線的位置關系(不重合）不重合）相交直線相交直線平行直線平行直線-有且僅有一個公共點有且僅有一個公共點-在同一平面內在同一平面內,沒有公共點沒有公共點P異面直線異面直線-不能置于同一個平面內不能置于同一個平面內不存在不存在任何任何一個平面；一個平面；沒有公共點沒有公共點異面直線的畫法異面直線的畫法abbaab說明說明:畫異面直線時畫異面直線時,為了體現它們不共面的特點。為了體現它們不共面的特點

4、。常借助一個或兩個平面來襯托常借助一個或兩個平面來襯托.15三、線與面的位置關系（集合語言表示法）三、線與面的位置關系（集合語言表示法）(1)直線直線 l 在平面在平面 內內(或平面或平面 經過直線經過直線 l)：直線直線 l 上的所有點都在平面上的所有點都在平面 內。內。16(2)直線直線 l 在平面在平面 外外直線直線 l 與在平面與在平面 相交相交:直線直線 l 與平面與平面 只有一個公共點。只有一個公共點。Pl17直線直線 l 與在平面與在平面 平行平行:直線直線 l 與平面與平面 沒有公共點。沒有公共點。18直線與平面的位置關系（集合語言表示法）直線與平面的位置關系（集合語言表示法）

5、(1)直線直線 l 在平面在平面 內內(或平面或平面 經過直線經過直線 l)：(2)直線直線 l 在平面在平面 外外直線直線 l 與在平面與在平面 相交相交P:直線直線 l 與在平面與在平面 平行平行:19四、面與面的位置關系（集合語言表示法）四、面與面的位置關系（集合語言表示法）(1)平面平面 與平面與平面 相交：相交：空間不同的兩個平面空間不同的兩個平面 有公共點有公共點P。20(2)平面平面 與平面與平面 平行：平行：兩個平面兩個平面 沒有公共點。沒有公共點。21平面與平面的位置關系（集合語言表示法）平面與平面的位置關系（集合語言表示法）(1)平面平面 與平面與平面 相交于直相交于直線線

6、 l：(2)平面平面 與平面與平面 平行：平行：公理公理1 如果直線如果直線 l 上有上有兩個點兩個點在一個平面在一個平面 內，那么內，那么 直線直線 l 在平面在平面 內。內。集合語言表述集合語言表述23例例1、判斷題、判斷題如果一條直線上所有的如果一條直線上所有的點都在某一個面內，那點都在某一個面內，那 么這個面一定是平面；么這個面一定是平面；一個平面一定可以把空間分成兩部分。一個平面一定可以把空間分成兩部分。直線直線 l 與平面與平面 的公共點的個數為的公共點的個數為 0、1、2；兩個平面可以把空間分成幾部分？三個平面呢？兩個平面可以把空間分成幾部分？三個平面呢？24公理公理2 如果不同

7、的兩個平面如果不同的兩個平面 有一個公有一個公共點共點P，那么，那么 的交的交集是集是過點過點P 的直線的直線 l。25例例2、試用集合符號表示下列各語句，并畫出圖形：、試用集合符號表示下列各語句，并畫出圖形：點點A在平面在平面 上上，但不在平面，但不在平面上；上；直線直線 l 經過不屬于平面經過不屬于平面 的點的點A；平面平面 與平面與平面 相交于直線相交于直線 l 且經過點且經過點P。26PQ27Q28ABCDEP例例5、已知、已知D、E分別是分別是ABC的邊的邊AC、BC上的點，上的點，平面平面 經過經過D、E兩點（如圖所示）兩點（如圖所示）求作：直線求作：直線AB與平面與平面 的交點的

8、交點P29例例1、判斷題、判斷題如果一條直線上所有的如果一條直線上所有的點都在某一個面內，那點都在某一個面內，那 么這個面一定是平面；么這個面一定是平面；如果一條直線在如果一條直線在一個面上無論怎樣放置，都與這一個面上無論怎樣放置，都與這 個面有無數個公共點，那么這個面一定是平面；個面有無數個公共點，那么這個面一定是平面；一個平面一定可以把空間分成兩部分。一個平面一定可以把空間分成兩部分。直線直線 l 與平面與平面 的公共點的個數為的公共點的個數為 0、1、2；公理公理3 不在同一直線上的三點確定一個平面。不在同一直線上的三點確定一個平面。“有且只有有且只有”、“存在且唯一存在且唯一”、“確定

9、一個確定一個”表示同一個意思表示同一個意思；說明：說明：平面平面 與平面與平面 有三個不共線的公共點，那么有三個不共線的公共點，那么 與與 重合。重合。推論推論1 1、一條直線和直線外的一點確定一個平面一條直線和直線外的一點確定一個平面。PBC推論推論2、兩條相交直線確定一個平面。兩條相交直線確定一個平面。PAB推論推論3、兩條平行直線確定一個平面。兩條平行直線確定一個平面。A例例1、回答下列問題、回答下列問題三條直線相交于一點，可以確定多少個平面？三條直線相交于一點，可以確定多少個平面？兩兩平行的三條直線，可以確定多少個平面？兩兩平行的三條直線，可以確定多少個平面？三點可以確定多少個平面？三

10、點可以確定多少個平面？四點可以確定多少個平面？四點可以確定多少個平面？1 或或 31 或或 31 或或 無數個無數個1 或或 4 或無數個或無數個三個平面將空間分成的部分可能有幾種？三個平面將空間分成的部分可能有幾種？4 或或 6 或或 7 或或 8例例2、判斷下列命題的真假，真的打、判斷下列命題的真假，真的打“”，假的打，假的打“”(1)空間三點可以確定一個平面空間三點可以確定一個平面(2)兩條直線可以確定一個平面兩條直線可以確定一個平面(3)兩條相交直線可以確定一個平面兩條相交直線可以確定一個平面(4)一條直線和一個點可以確定一個平面一條直線和一個點可以確定一個平面(5)三條平行直線可以確

11、定三個平面三條平行直線可以確定三個平面 (6)兩兩相交的三條直線確定一個平面兩兩相交的三條直線確定一個平面(7)兩個平面若有不同的三個公共點，則兩個平面重合兩個平面若有不同的三個公共點，則兩個平面重合(8)若四點不共面，那么每三個點一定不共線若四點不共面，那么每三個點一定不共線 例例3、已知不共點的三條直線兩兩相交，、已知不共點的三條直線兩兩相交，求證：這三條直線共面。求證：這三條直線共面。ABC例例4、已知：一條直線和兩條平行線都相交，、已知：一條直線和兩條平行線都相交，求證：這三條直線共面。求證：這三條直線共面。BAabl證明證明直線共面的常用方法直線共面的常用方法：1、先由這些先由這些直

12、線中的某些直線確定一個平面；直線中的某些直線確定一個平面；然后然后證明其他證明其他直線都在這個平面上。直線都在這個平面上。2、先證明這些先證明這些直線分別在兩個（或幾個）平面上；直線分別在兩個（或幾個）平面上；然后然后證明這證明這兩個（或幾個）平面重合。兩個（或幾個）平面重合。公理公理4 平行于同一條直線的兩條直線互相平行平行于同一條直線的兩條直線互相平行 平行線的傳遞性。平行線的傳遞性。abced觀察：將一張紙如圖進行折疊觀察：將一張紙如圖進行折疊，則各折痕及邊則各折痕及邊 a,b,c,d,e,之間有何關系？之間有何關系？ab c d e 平面基本性質的應用平面的基本性質是通過三個與平面的特

13、征有關的公理來規定的(1)公理1說明了平面與曲面的本質區別通過直線的“直”來刻畫平面的“平”，通過直線的“無限延伸”來描述平面的“無限延展性”，它既是判斷直線在平面內，又是檢驗平面的方法(2)公理2揭示了兩個平面相交的主要特征，提供了確定兩個平面交線的方法(3)公理3及其三個推論是空間里確定一個平面位置的方法與途徑，而確定平面是將空間問題轉化為平面問題的重要條件，這個轉化使得立體幾何的問題得以在確定的平面內充分使用平面幾何的知識來解決，是立體幾何中解決相當一部分問題的主要的思想方法例例1、已知在空間四邊形、已知在空間四邊形ABCD中，中，E、F、G、H分別是分別是 AB、BC、CD、DA的中點

14、。的中點。求證：四邊形求證：四邊形EFGH是平行四邊形。是平行四邊形。AB DEFGHC 如果再加上條件如果再加上條件AC=BD，那么四邊形那么四邊形EFGH是什么圖形是什么圖形?菱形菱形空間四邊形：順次連結不共面的四點空間四邊形：順次連結不共面的四點A、B、C、D所組所組成的四邊形叫空間四邊形，相對頂點的連線成的四邊形叫空間四邊形，相對頂點的連線AC、BD叫叫空間四邊形的對角線。空間四邊形的對角線。例例2、已知在空間四邊形、已知在空間四邊形ABCD中，中，E、F、G、H分別是分別是 AB、BC、CD、DA上的點，且上的點，且EFGH是是平面四邊形，平面四邊形，EH不平行不平行FG。求證：直線

15、求證：直線EH、FG、BD 共點。共點。ABCDEHFGP證明若干條證明若干條直線共點的常用方法直線共點的常用方法：先先確定兩條確定兩條直線的交點；直線的交點；然后然后證明其他證明其他直線也經過此點。直線也經過此點。在平面內在平面內,我們知道我們知道“如果一個角的兩邊與另一個角如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補”。空間中這?？臻g中這一結論是否仍然成立呢？一結論是否仍然成立呢？定理定理1(等角定理等角定理)：如果一個角的兩邊與另一個角的如果一個角的兩邊與另一個角的 兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補。兩邊分別平行，那么這兩個角

16、相等或互補。P1Q1PQOabO1a1b1特征：方向相同特征：方向相同OabO1a1b1等角定理從平面幾何推廣到立體幾何等角定理從平面幾何推廣到立體幾何CDBCDABA空間直線與直線的位置關系空間直線與直線的位置關系1 1、空間兩條直線的位置關系、空間兩條直線的位置關系(不重合）不重合）相交直線相交直線平行直線平行直線異面直線異面直線-有且僅有一個公共點有且僅有一個公共點-在同一平面內在同一平面內,沒有公共點沒有公共點不存在不存在任何任何一個平面；一個平面；沒有公共點沒有公共點-不能置于同一個平面內不能置于同一個平面內同在一個平面內同在一個平面內相交直相交直線平行直平行直線 不同在任何一個平面

17、內：不同在任何一個平面內：異面直異面直線 有一個公共點：有一個公共點：相交直相交直線無無 公公 共共 點點平行直平行直線異面直異面直線按平面基本性質分按平面基本性質分按公共點個數分按公共點個數分異面直線的畫法異面直線的畫法abbaab說明說明:畫異面直線時畫異面直線時,為了體現它們不共面的特點。為了體現它們不共面的特點。常借助一個或兩個平面來襯托常借助一個或兩個平面來襯托.例例1 1、已知：直線、已知：直線 l 與平面與平面 相交于點相交于點A，直線，直線 m 在平面在平面 上，且不經過點上，且不經過點A，求證：求證：直線直線 l 與直線與直線 m 是是異面直線異面直線3 3、證明異面直線的方

18、法、證明異面直線的方法-反證法反證法和定義法和定義法ab例例2、已知、已知A、B、C、D是不在同一平面內的空間四點，是不在同一平面內的空間四點，求證：求證：AB與與CD、BD與與AC、AD與與BC是是異面直線。異面直線。練習練習1 1、選擇題、選擇題兩條直線兩條直線a、b分別和異面直線分別和異面直線c、d都相交，則直線都相交，則直線 a、b的位置關系是的位置關系是()A、一定是異面直線一定是異面直線 B、一定是相交直線一定是相交直線C、可能是平行直線可能是平行直線 D、可能是異面直線，也可能是相交直線可能是異面直線，也可能是相交直線一條直線和兩條異面直線中的一條平行，則它和另一條直線和兩條異面

19、直線中的一條平行，則它和另 一條的位置關系是一條的位置關系是()A、平行平行B、相交相交 C、異面異面 D、相交或異面相交或異面練習練習2、已知長方體中、已知長方體中平行平行相交相交異面異面 BD和和FH是是 直線直線 EC和和BH是是 直線直線 BH和和DC是是 直線直線BACDEFHG(2)與棱與棱AB所在直線異面的棱共有所在直線異面的棱共有 條條?4分別是分別是：CG、HD、GF、HE思考思考題：這個長方體的棱中共有多少對異面直線這個長方體的棱中共有多少對異面直線?(1)說出以下各對線段的位置關系說出以下各對線段的位置關系?243、異面直線所成的角：、異面直線所成的角：對于異面直線對于異

20、面直線a和和b，在空間任取一點，在空間任取一點P，過，過P分別作分別作 a和和b的平行線的平行線 a和和b，我們把，我們把 a與與b所成的銳角所成的銳角（或（或直角）叫做異面直線直角）叫做異面直線a與與b所成的角。所成的角。abPabP Pa異面直線所成角異面直線所成角的取值范圍：的取值范圍：當兩條直線所成角為直角時，則當兩條直線所成角為直角時，則a與與b垂直。垂直。記作：記作：ab說明：說明：當兩條直線所成角為零角時，則當兩條直線所成角為零角時，則a與與b平行或重合。平行或重合。例例1(1)直線直線AA與哪些棱所在的直線是互相垂直的異面直線？與哪些棱所在的直線是互相垂直的異面直線？與與CD，

21、CD，BC，BC是互相垂直的異面直線。是互相垂直的異面直線。(2)如果兩條平行直線中的一條與某一條直線垂直，那么，如果兩條平行直線中的一條與某一條直線垂直，那么，另一條直線是否也與這條直線垂直呢？另一條直線是否也與這條直線垂直呢？(3)垂直于同一條直線的兩條直線是否平行？垂直于同一條直線的兩條直線是否平行？ABCDABCD垂直垂直平行、異面、相交平行、異面、相交（1）、求異面直線所成角的一般方法）、求異面直線所成角的一般方法找出異面直線所成的角找出異面直線所成的角簡單說明理由簡單說明理由解含解含的三角形的三角形作、證、算作、證、算平移法（常用方法）平移法（常用方法）補形法補形法（2）、定角一般

22、方法）、定角一般方法正弦定理正弦定理ABCbc余弦定理余弦定理ABCbca預備知識預備知識例例 2、在正方體、在正方體ABCDA1B1C1D1中，點中，點E、F分別是線分別是線段段A1B1，BB1的中點，的中點，出下列各對線段所成的角。出下列各對線段所成的角。(1)AB與與CC1(2)A1 B1與與AC(3)A1B與與D1B1B1CC1ABDA1D1=9 0=4 5=6 0(4)EF與與D1B1 EF=6 0(5)AD1與與B1C=9 0ABDCA1B1D1C1A1B和和B1C所成角為所成角為60在正方體在正方體AC1中，求異面直線中，求異面直線A1B和和B1C所成的角？所成的角？ABDCA1

23、B1D1C1MN在正方體在正方體AC1中，中，M,N分別是分別是A1A和和B1B的中點，的中點，求異面直線求異面直線CM和和D1N所成的角？所成的角？例例 3、在長方體、在長方體ABCDA1B1C1D1中，中，AB=BC=2a，AA1=a，E、F分別是線段分別是線段A1B1、BB1的中點，的中點，求求出下列各對線段所成角的余弦值大小。出下列各對線段所成角的余弦值大小。(1)EF與與AD1(2)EF與與B1C(3)EF與與A1CEF(4)EF與與AC1ABDCA1B1D1C1E在正方體在正方體AC1中，求異面直線中，求異面直線D1B和和B1C所成的角？所成的角？ABCDEF例例4、已知在空間四邊

24、形、已知在空間四邊形ABCD中，中，AD=BC=2，E、F分分 別是別是AB、CD上的中點，且上的中點，且EF=，求直線，求直線AD、BC所成角的大小所成角的大小。6 0M思考題：思考題：已知正四面體已知正四面體ABCD中，中，E、F分別是分別是BC、AD的中點，求的中點，求 (1)直線直線EF、AC所成角的大?。凰山堑拇笮。?2)直線直線AE、CF所成角的余弦值大小所成角的余弦值大小。CBDAEFMPABCMN空間四邊形空間四邊形P-ABC中，中，M，N分別是分別是PB，AC的中點，的中點，PA=BC=4，MN=3，求，求PA與與BC所成的角？所成的角？E異面直線所成的角1求異面直線所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三種類型：利用圖中已有的平行線平移；利用特殊點(線段的端點或中點)作平行線平移；補形平移2求異面直線所成角的步驟：作：通過作平行線，得到相交直線；證：證明相交直線所成的角為異面直線所成的角；求：通過解三角形，求出該角