空氣動力學邊界層理論及其近似

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1、第第5 5章章 邊界層理論及其近似邊界層理論及其近似5.15.1、邊界層近似及其特征、邊界層近似及其特征5.25.2、平面不可壓縮流體層流邊界層方程、平面不可壓縮流體層流邊界層方程5.35.3、平板層流邊界層的相似解、平板層流邊界層的相似解5.45.4、邊界層動量積分方程、邊界層動量積分方程5 5.5 5、邊界層的分離現象、邊界層的分離現象5.15.15.15.1、邊界層近似及其特征、邊界層近似及其特征、邊界層近似及其特征、邊界層近似及其特征1 1、邊界層概念的提出、邊界層概念的提出 業已知道，流動業已知道，流動ReRe數（數（O.ReynoldsO.Reynolds，18831883年，英國

2、流體力學家）年，英國流體力學家）是用以表征流體質點的慣性力與粘性力對比關系的。根據量級分是用以表征流體質點的慣性力與粘性力對比關系的。根據量級分析，作用于流體上的慣性力和粘性力可表示為析，作用于流體上的慣性力和粘性力可表示為:慣性力：慣性力：粘性力：粘性力：慣性力慣性力/粘性力：粘性力：因因此此，在在高高ReRe數數下下，流流體體運運動動的的慣慣性性力力遠遠遠遠大大于于粘粘性性力力。這這樣樣研研究忽略粘性力的流動問題是有實際意義的。究忽略粘性力的流動問題是有實際意義的。5.15.15.15.1、邊界層近似及其特征、邊界層近似及其特征、邊界層近似及其特征、邊界層近似及其特征 這也是早期發展理想流

3、體力學的重要依據，而且確實較成功地解決這也是早期發展理想流體力學的重要依據，而且確實較成功地解決了與粘性關系不大的一系列流動問題，諸如繞流物體的升力、波動等問了與粘性關系不大的一系列流動問題，諸如繞流物體的升力、波動等問題，但對繞流物體阻力、渦的擴散等問題，理想流體力學的解與實際相題，但對繞流物體阻力、渦的擴散等問題，理想流體力學的解與實際相差甚遠，且甚至得出完全相反的結論，圓柱繞流無阻力的差甚遠，且甚至得出完全相反的結論，圓柱繞流無阻力的DAlembert疑疑題就是一個典型的例子。（題就是一個典型的例子。（DAlembert，法國力學家，法國力學家，1717-1783）那么）那么，如何考慮流

4、體的粘性，怎樣解決繞流物體的阻力問題，這在當時確實，如何考慮流體的粘性，怎樣解決繞流物體的阻力問題，這在當時確實是一個阻礙流體力學發展的難題，直到是一個阻礙流體力學發展的難題，直到1904年國際流體力學大師德國學年國際流體力學大師德國學者者L.Prandtl通過大量實驗發現，雖然整體流動的通過大量實驗發現，雖然整體流動的Re數很大，但在靠近物數很大，但在靠近物面的薄層流體內，流場的特征與理想流動相差甚遠，沿著法向存在很大面的薄層流體內，流場的特征與理想流動相差甚遠，沿著法向存在很大的速度梯度，粘性力無法忽略。的速度梯度，粘性力無法忽略。Prandtl把這一物面近區粘性力起重要作把這一物面近區粘

5、性力起重要作用的薄層稱為邊界層（用的薄層稱為邊界層（Boundary layer）。）。5.15.15.15.1、邊界層近似及其特征、邊界層近似及其特征、邊界層近似及其特征、邊界層近似及其特征 PrandtlPrandtl的的邊邊界界層層概概念念，為為人人們們如如何何計計入入粘粘性性的的作作用用開開辟辟了了劃劃時時代代的的途途徑，因此稱其為粘性流體力學之父。對整個流場提出的基本分區是：徑，因此稱其為粘性流體力學之父。對整個流場提出的基本分區是：（1 1）整個流動區域可分成理想流體的流動區域（勢流區）和粘性流體的）整個流動區域可分成理想流體的流動區域（勢流區）和粘性流體的 流動區域（粘流區）。流

6、動區域（粘流區）。（2 2）在遠離物體的理想流體流動區域，可忽略粘性的影響，按勢流理論）在遠離物體的理想流體流動區域，可忽略粘性的影響，按勢流理論 處理。處理。（3 3）粘性流動區域僅限于物面近區的薄層內，稱為邊界層。既然是粘流）粘性流動區域僅限于物面近區的薄層內，稱為邊界層。既然是粘流 區，粘性力的作用不能忽略，與慣性力同量級，流體質點作有旋運區，粘性力的作用不能忽略，與慣性力同量級，流體質點作有旋運 動。動。2 2、邊界層的特征、邊界層的特征（1 1）邊界層定義）邊界層定義 嚴格而言，邊界層區與主流區之間無明顯界線，通常以速度達到主嚴格而言，邊界層區與主流區之間無明顯界線，通常以速度達到主

7、流區速度的流區速度的0.990.99U U作為邊界層的外緣。由邊界層外緣到物面的垂直距離稱作為邊界層的外緣。由邊界層外緣到物面的垂直距離稱為邊界層名義厚度，用表示為邊界層名義厚度，用表示。5.15.15.15.1、邊界層近似及其特征、邊界層近似及其特征、邊界層近似及其特征、邊界層近似及其特征（2 2）邊界層的有渦性）邊界層的有渦性 粘性流體運動總伴隨渦量的產生、擴散、衰減。邊界層就是渦層，當粘性流體運動總伴隨渦量的產生、擴散、衰減。邊界層就是渦層，當流體繞過物面時，無滑移邊界條件相當于使物面成為具有一定強度的流體繞過物面時，無滑移邊界條件相當于使物面成為具有一定強度的連續分布的渦源。以二維流動

8、為例說明之。此時，物面上的渦源強度連續分布的渦源。以二維流動為例說明之。此時，物面上的渦源強度為為 對于不可壓縮流體，二維流動的渦量輸運方程為對于不可壓縮流體，二維流動的渦量輸運方程為 上式表明，由于粘性的影響，物面上的渦量一方面沿垂直流線方向擴上式表明，由于粘性的影響，物面上的渦量一方面沿垂直流線方向擴散，另一方面，渦量沿主流方向遷移，并隨之而逐漸衰減。渦量的擴散，另一方面，渦量沿主流方向遷移，并隨之而逐漸衰減。渦量的擴散速度與粘性有關，渦量的遷移速度取決于流動速度。散速度與粘性有關，渦量的遷移速度取決于流動速度。5.15.15.15.1、邊界層近似及其特征、邊界層近似及其特征、邊界層近似及

9、其特征、邊界層近似及其特征（3）邊界層厚度的量級估計邊界層厚度的量級估計 根根據據邊邊界界層層內內粘粘性性力力與與慣慣性性力力同同量量級級的的條條件件，可可估估算算邊邊界界層層的的厚厚度度。以以平平板板繞繞流流為為例例說說明明。設設來來流流的的速速度度為為U，在在x x方方向向的的長長度度為為L L，邊邊界界層厚度為層厚度為 。慣性力：慣性力：粘性力：粘性力：由慣性力與粘性力同量級得到由慣性力與粘性力同量級得到 5.15.15.15.1、邊界層近似及其特征、邊界層近似及其特征、邊界層近似及其特征、邊界層近似及其特征由此可見，在高由此可見，在高Re數下，邊界層的厚度遠小于被繞流物體的特征長度。數

10、下，邊界層的厚度遠小于被繞流物體的特征長度。（4）邊界層各種厚度定義）邊界層各種厚度定義（a）邊界層排移厚度邊界層排移厚度 在邊界層內，理想流體的質量流量為在邊界層內，理想流體的質量流量為 其其中中，ue為為邊邊界界層層外外緣緣速速度度。由由于于粘粘性性的的存存在在，實實際際流流體體通通過過的的質質量量流量為流量為 上上述述兩兩項項之之差差表表示示粘粘性性存存在在而而損損失失的的流流量量，這這部部分分流流量量被被排排擠擠到到主主流流場中，相當于主流區增加了一層流體。場中，相當于主流區增加了一層流體。5.15.15.15.1、邊界層近似及其特征、邊界層近似及其特征、邊界層近似及其特征、邊界層近似

11、及其特征 主流區所增加的厚度為主流區所增加的厚度為 這部分主流區增加的流體厚度是由邊界層流體排擠入主流區造成的。因這部分主流區增加的流體厚度是由邊界層流體排擠入主流區造成的。因此，稱其為排移厚度。此，稱其為排移厚度。（b b）邊界層動量損失厚度邊界層動量損失厚度 在邊界層內，在質量流量不變的條件下，理想流體通過的動量為在邊界層內，在質量流量不變的條件下，理想流體通過的動量為 由于粘性的存在，實際流體通過的動量為由于粘性的存在，實際流體通過的動量為5.15.15.15.1、邊界層近似及其特征、邊界層近似及其特征、邊界層近似及其特征、邊界層近似及其特征 上上述述兩兩項項之之差差表表示示粘粘性性存存

12、在在而而損損失失的的動動量量，這這部部分分動動量量損損失失用用外外流流流流速速u ue e（理想流體）折算的動量損失厚度為理想流體）折算的動量損失厚度為（c c）邊界層能量損失厚度邊界層能量損失厚度 在在邊邊界界層層內內，在在質質量量流流量量不不變變的的條條件件下下，以以外外流流速速度度（理理想想流流體體）通通過的動能為過的動能為 由于粘性的存在，實際流體通過的動能為由于粘性的存在，實際流體通過的動能為5.15.15.15.1、邊界層近似及其特征、邊界層近似及其特征、邊界層近似及其特征、邊界層近似及其特征 上述兩項之差表示粘性存在而損失的動能，這部分動能損失用主流流上述兩項之差表示粘性存在而損

13、失的動能，這部分動能損失用主流流速速ue（理想流體）折算的動能損失厚度為理想流體）折算的動能損失厚度為:上述各種厚度的計算公式，對于不可壓縮流體而言，變為上述各種厚度的計算公式，對于不可壓縮流體而言，變為:5.15.15.15.1、邊界層近似及其特征、邊界層近似及其特征、邊界層近似及其特征、邊界層近似及其特征（5 5）幾點說明）幾點說明（a a）實際流動中，邊界層流動與理想流動是漸近過渡的，邊界層的外實際流動中，邊界層流動與理想流動是漸近過渡的，邊界層的外邊界線實際上是不存在的，因此邊界層的外邊界線不是流線，而是被邊界線實際上是不存在的，因此邊界層的外邊界線不是流線，而是被流體所通過的，允許邊

14、界層內流體穿過邊界線流動。也就是說，在邊流體所通過的，允許邊界層內流體穿過邊界線流動。也就是說，在邊界層內流線是向外偏的。界層內流線是向外偏的。（b b）邊界層各種厚度的定義式，即適用于層流，也適用于湍流。邊界層各種厚度的定義式，即適用于層流，也適用于湍流。（c c）邊界層各種厚度的大小與邊界層內流速分布有關。但各厚度的大邊界層各種厚度的大小與邊界層內流速分布有關。但各厚度的大小依次是小依次是:邊界層厚度邊界層厚度 邊界層排移厚度邊界層排移厚度 邊界層動量損失厚度邊界層動量損失厚度 邊界層能量損失厚度邊界層能量損失厚度LudwigLudwigLudwigLudwig Prandtl Prand

15、tl Prandtl Prandtl介紹介紹介紹介紹 普普朗朗特特重重視視觀觀察察和和分分析析力力學學現現象象，養養成成了了非非凡凡的的直直觀觀洞洞察察能能力力，善善于于抓住物理本質，概括出數學方程。他曾說：抓住物理本質，概括出數學方程。他曾說：“我只是在相信自己對我只是在相信自己對 物物理理本本質質已已經經有有深深入入了了解解以以后后，才才想想到到數數學學方方程程。方方程程的的用用處處是是說說出量的大小，這是直觀得不到的，同時它也證明結論是否正確。出量的大小，這是直觀得不到的，同時它也證明結論是否正確?！逼掌绽世侍靥刂钢笇н^過8181名名博博士士生生，著著名名學學者者BlasiusBlas

16、ius、Von Von KarmanKarman是是其其學學生生之之一一。我我國國著著名名的的空空氣氣動動力力學學專專家家、北北航航流流體體力力學學教教授授陸陸士士嘉嘉先先生生（女女，1911191119861986）是是普普朗朗特特正正式式接接受受的的唯唯一一中中國國學學生生，唯唯一一的的女女學生。學生。5.25.25.25.2、平面不可壓縮流體層流邊界層方程、平面不可壓縮流體層流邊界層方程、平面不可壓縮流體層流邊界層方程、平面不可壓縮流體層流邊界層方程1 1、平壁面上邊界層方程、平壁面上邊界層方程 根據根據PrandtlPrandtl邊界層概念，通過量級比較，可對邊界層概念，通過量級比較，

17、可對N-SN-S方程組進行簡化，方程組進行簡化，得到邊界層近似方程。對于二維不可壓縮流動，得到邊界層近似方程。對于二維不可壓縮流動，N-SN-S方程為方程為 選取長度特征選取長度特征L L，速度尺度速度尺度ueue，時間尺度時間尺度t=L/t=L/ueue，邊界層近似假定：邊界層近似假定：5.25.25.25.2、平面不可壓縮流體層流邊界層方程、平面不可壓縮流體層流邊界層方程、平面不可壓縮流體層流邊界層方程、平面不可壓縮流體層流邊界層方程（1 1）根據邊界層定義，縱向偏導數遠遠小于橫向偏導數。）根據邊界層定義，縱向偏導數遠遠小于橫向偏導數。（2 2）法向速度遠遠小于縱向速度。）法向速度遠遠小于

18、縱向速度。（3 3）邊界層內的壓強與外流速度的平方成正比。）邊界層內的壓強與外流速度的平方成正比。將這些量級關系式代入到將這些量級關系式代入到N-SN-S方程中，得到方程中，得到5.25.25.25.2、平面不可壓縮流體層流邊界層方程、平面不可壓縮流體層流邊界層方程、平面不可壓縮流體層流邊界層方程、平面不可壓縮流體層流邊界層方程N-SN-S方程組與各項量級比較方程組與各項量級比較:5.25.25.25.2、平面不可壓縮流體層流邊界層方程、平面不可壓縮流體層流邊界層方程、平面不可壓縮流體層流邊界層方程、平面不可壓縮流體層流邊界層方程在高在高ReRe數情況下，忽略小量得到數情況下，忽略小量得到忽略

19、質量力，由第三個方程得到忽略質量力，由第三個方程得到這說明，在高這說明，在高ReRe數情況下，在邊界層內壓力沿法向是不變的。數情況下，在邊界層內壓力沿法向是不變的。5.25.25.25.2、平面不可壓縮流體層流邊界層方程、平面不可壓縮流體層流邊界層方程、平面不可壓縮流體層流邊界層方程、平面不可壓縮流體層流邊界層方程 邊界層內的壓力分布與邊界層外邊界線上的壓力分布相等。也就是，邊界層內的壓力分布與邊界層外邊界線上的壓力分布相等。也就是，p p與與y y無關，僅是無關，僅是x x和和t t的函數。即的函數。即 忽略質量力，忽略質量力，PrandtlPrandtl邊界層方程變為邊界層方程變為 邊界條

20、件：邊界條件：5.25.25.25.2、平面不可壓縮流體層流邊界層方程、平面不可壓縮流體層流邊界層方程、平面不可壓縮流體層流邊界層方程、平面不可壓縮流體層流邊界層方程 在邊界層外邊界線上，可按照理想流體勢流方程確定壓強。即在邊界層外邊界線上，可按照理想流體勢流方程確定壓強。即 在定常流動情況下，有在定常流動情況下，有5.25.25.25.2、平面不可壓縮流體層流邊界層方程、平面不可壓縮流體層流邊界層方程、平面不可壓縮流體層流邊界層方程、平面不可壓縮流體層流邊界層方程 綜上所述，邊界層基本特性可歸納為綜上所述，邊界層基本特性可歸納為2 2、曲壁面上的邊界層方程、曲壁面上的邊界層方程 在實際流動中

21、所遇到的物面常是彎曲的，因此推導曲壁面上的邊界層在實際流動中所遇到的物面常是彎曲的，因此推導曲壁面上的邊界層方程具有重要意義。在推導中，使用曲壁面上的邊界層坐標系。其中，方程具有重要意義。在推導中，使用曲壁面上的邊界層坐標系。其中，x x軸貼著壁面，軸貼著壁面，y y軸垂直于壁面。在邊界層內任取一點軸垂直于壁面。在邊界層內任取一點M M，其坐標其坐標 x=ON y=NMx=ON y=NM M M為為M M的鄰點，的鄰點，MMMM的弧長為的弧長為dsds5.25.25.25.2、平面不可壓縮流體層流邊界層方程、平面不可壓縮流體層流邊界層方程、平面不可壓縮流體層流邊界層方程、平面不可壓縮流體層流邊

22、界層方程 在在x x處，設曲壁的曲率半徑為處，設曲壁的曲率半徑為R(x)R(x)，有有 則則 仍以仍以u u和和v v分別表示邊界層坐標系中的分別表示邊界層坐標系中的x x和和y y方向的速度分量，則由正交方向的速度分量，則由正交曲線坐標系方程，得到曲線坐標系方程，得到 連續方程連續方程5.25.25.25.2、平面不可壓縮流體層流邊界層方程、平面不可壓縮流體層流邊界層方程、平面不可壓縮流體層流邊界層方程、平面不可壓縮流體層流邊界層方程運動方程為運動方程為:5.25.2、平面不可壓縮流體層流邊界層方程、平面不可壓縮流體層流邊界層方程、平面不可壓縮流體層流邊界層方程、平面不可壓縮流體層流邊界層方

23、程 假定物面的曲率半徑假定物面的曲率半徑R(x)R(x)與與x x向的向的特征長度特征長度L L同量級，同量級，y y的量級與邊界的量級與邊界層厚度同量級，故有層厚度同量級，故有 量級比較，簡化的邊界層方程為量級比較，簡化的邊界層方程為5.25.25.25.2、平面不可壓縮流體層流邊界層方程、平面不可壓縮流體層流邊界層方程、平面不可壓縮流體層流邊界層方程、平面不可壓縮流體層流邊界層方程 這就是曲壁面上的邊界層方程，與平壁面的方程相比，只是這就是曲壁面上的邊界層方程，與平壁面的方程相比，只是y y方向的方方向的方程有所不同。為了和流動彎曲所產生的離心力相平衡，必須有程有所不同。為了和流動彎曲所產

24、生的離心力相平衡，必須有y y方向的壓方向的壓力梯度。以下估計這個壓力梯度的量級大小。初步假定邊界層內速度分力梯度。以下估計這個壓力梯度的量級大小。初步假定邊界層內速度分布為線性分布。布為線性分布。從從y=0y=0到到y=sy=s積分，有積分，有 在在RsRs的情況下，此壓差是個小量，可忽略不計。由此仍得出在曲壁面的情況下，此壓差是個小量，可忽略不計。由此仍得出在曲壁面的邊界層內，法向壓力不變是個常數。這說明，在曲率半徑不太小且變的邊界層內，法向壓力不變是個常數。這說明，在曲率半徑不太小且變化不太大的情況下，曲壁面上的邊界層方程與平壁面上的邊界層方程完化不太大的情況下，曲壁面上的邊界層方程與平

25、壁面上的邊界層方程完全相同。全相同。5.35.35.35.3、平板層流邊界層的相似解、平板層流邊界層的相似解、平板層流邊界層的相似解、平板層流邊界層的相似解 1908年，年，Prandtl學生學生Blasius利用邊界層速度分布的相似性求解了平利用邊界層速度分布的相似性求解了平板層流邊界層方程。對于零壓梯度、定常、不可壓縮流體平板層流板層流邊界層方程。對于零壓梯度、定常、不可壓縮流體平板層流繞流，邊界層方程為繞流，邊界層方程為 相應的邊界條件為相應的邊界條件為 Blasius假設，在平板上邊界層內的速度分布具有相似性特征。即假設，在平板上邊界層內的速度分布具有相似性特征。即 5.35.35.3

26、5.3、平板層流邊界層的相似解、平板層流邊界層的相似解、平板層流邊界層的相似解、平板層流邊界層的相似解根據量級比較，邊界層厚度的量級為根據量級比較，邊界層厚度的量級為:引入流函數，可消掉一個連續方程。引入流函數，可消掉一個連續方程。5.35.35.35.3、平板層流邊界層的相似解、平板層流邊界層的相似解、平板層流邊界層的相似解、平板層流邊界層的相似解由此得到由此得到代入方程中，得到代入方程中，得到5.35.35.35.3、平板層流邊界層的相似解、平板層流邊界層的相似解、平板層流邊界層的相似解、平板層流邊界層的相似解化簡后變為化簡后變為邊界條件為邊界條件為Blasius用無窮級數進行了求解。假設

27、：用無窮級數進行了求解。假設：其中，其中，為待定系數。為待定系數。5.35.35.35.3、平板層流邊界層的相似解、平板層流邊界層的相似解、平板層流邊界層的相似解、平板層流邊界層的相似解 由邊界條件，可得由邊界條件，可得（1）邊界層厚度）邊界層厚度（2）邊界層位移厚度邊界層位移厚度（3）邊界層動量損失厚度邊界層動量損失厚度 5.35.35.35.3、平板層流邊界層的相似解、平板層流邊界層的相似解、平板層流邊界層的相似解、平板層流邊界層的相似解（4）壁面切應力）壁面切應力（5）壁面摩擦阻力系數壁面摩擦阻力系數（6）平均壁面摩擦總阻力系數平均壁面摩擦總阻力系數 郭永懷（郭永懷（1953年）對平板前

28、緣點的修正，得到年）對平板前緣點的修正，得到適用范圍：適用范圍：5.45.45.45.4、邊界層動量積分方程、邊界層動量積分方程、邊界層動量積分方程、邊界層動量積分方程 邊界層動量積分關系式是由邊界層動量積分關系式是由Karman1921導出的，對近似求解邊導出的，對近似求解邊界層特性具有重要作用。適應于層流邊界層和湍流邊界層。今在界層特性具有重要作用。適應于層流邊界層和湍流邊界層。今在邊界層內任取一控制體，控制體長度為邊界層內任取一控制體，控制體長度為dx，控制面為控制面為Aab、Abc、Acd、Ada?，F對控制體應用動量定律，可得現對控制體應用動量定律，可得 由由A Aabab面流入控制體

29、的質量為面流入控制體的質量為 由由Acd面流出控制體的質量為面流出控制體的質量為5.45.45.45.4、邊界層動量積分方程、邊界層動量積分方程、邊界層動量積分方程、邊界層動量積分方程根據質量守恒定律，通過根據質量守恒定律，通過Abc流入控制體的質量為流入控制體的質量為由由Aab面流入控制體的動量為面流入控制體的動量為由由Acd面流出控制體的動量為面流出控制體的動量為通過通過Abc流入控制體的動量在流入控制體的動量在x方向的分量為方向的分量為 5.45.45.45.4、邊界層動量積分方程、邊界層動量積分方程、邊界層動量積分方程、邊界層動量積分方程在在Aab面上的作用力為面上的作用力為在在A A

30、cdcd面上的作用力為面上的作用力為在在A Abcbc面上的力為面上的力為在在A Aadad面上的切應力為面上的切應力為 5.45.45.45.4、邊界層動量積分方程、邊界層動量積分方程、邊界層動量積分方程、邊界層動量積分方程現對控制體建立現對控制體建立x方向的動量方程為方向的動量方程為整理后，得整理后，得由于由于5.45.45.45.4、邊界層動量積分方程、邊界層動量積分方程、邊界層動量積分方程、邊界層動量積分方程由由Bernoulli方程，可得方程，可得 這就是邊界層動量積分方程。是一個一階常微分方程，適應于層流和湍這就是邊界層動量積分方程。是一個一階常微分方程，適應于層流和湍流邊界層。流

31、邊界層。5.45.45.45.4、邊界層動量積分方程、邊界層動量積分方程、邊界層動量積分方程、邊界層動量積分方程如果寫成無量綱形式，有如果寫成無量綱形式，有對于零壓梯度的平板邊界層流動，有對于零壓梯度的平板邊界層流動，有動量積分方程也可通過直接積分邊界層微分方程獲得。動量積分方程也可通過直接積分邊界層微分方程獲得。對于二維不可壓縮流體邊界層方程為對于二維不可壓縮流體邊界層方程為5.45.45.45.4、邊界層動量積分方程、邊界層動量積分方程、邊界層動量積分方程、邊界層動量積分方程用用ueue乘以連續方程，并把動量方程改寫。乘以連續方程，并把動量方程改寫。兩式相減，得到兩式相減，得到積分上式，有

32、積分上式，有5.45.45.45.4、邊界層動量積分方程、邊界層動量積分方程、邊界層動量積分方程、邊界層動量積分方程 整理后，得到整理后，得到 這與這與KarmanKarman方程完全一樣。動量積分方程含有三個未知數，排移厚度、方程完全一樣。動量積分方程含有三個未知數，排移厚度、動量損失厚度、壁面切應力。因此，必須尋求補充關系，積分求解。動量損失厚度、壁面切應力。因此，必須尋求補充關系，積分求解。由于三個未知量都取決與邊界層的速度分布，因此只要給定速度分布，由于三個未知量都取決與邊界層的速度分布，因此只要給定速度分布，就可以求解。顯然，該方法的精度取決于邊界層內速度分布的合理性。就可以求解。顯

33、然，該方法的精度取決于邊界層內速度分布的合理性。通常假定，邊界層內速度分布為通常假定，邊界層內速度分布為 確定系數的條件為確定系數的條件為例題：例題：一次型：一次型：3.464二次型：二次型：5.477 三次型：三次型：4.641四次型：四次型：5.835正弦函數：正弦函數：4.795平板邊界層，有平板邊界層，有5.45.45.45.4、邊界層動量積分方程、邊界層動量積分方程、邊界層動量積分方程、邊界層動量積分方程對于壁面切應力，有對于壁面切應力，有代入動量積分方程中，得到代入動量積分方程中，得到5.45.45.45.4、邊界層動量積分方程、邊界層動量積分方程、邊界層動量積分方程、邊界層動量積

34、分方程5.55.55.55.5、邊界層的分離現象、邊界層的分離現象、邊界層的分離現象、邊界層的分離現象1 1、邊界層分離現象、邊界層分離現象 邊界層中的流體質點受慣性力、粘性力和壓力的作用。其中，粘性力邊界層中的流體質點受慣性力、粘性力和壓力的作用。其中，粘性力的作用始終是阻滯流體質點運動，使流體質點減速，失去動能；壓力的作用始終是阻滯流體質點運動，使流體質點減速，失去動能；壓力的作用取決于繞流物體的形狀和流道形狀，順壓梯度有助于流體加速的作用取決于繞流物體的形狀和流道形狀，順壓梯度有助于流體加速前進，而逆壓梯度阻礙流體運動。以圓柱繞流為例說明邊界層的分離前進，而逆壓梯度阻礙流體運動。以圓柱繞

35、流為例說明邊界層的分離現象?，F象。對于理想流體，流體微團繞過圓柱時，對于理想流體，流體微團繞過圓柱時，在在OMOM段為加速減壓區，壓能轉化為動段為加速減壓區，壓能轉化為動能。在能。在MFMF段為減速增壓區，動能減小段為減速增壓區，動能減小壓能增加壓能增加5.55.55.55.5、邊界層的分離現象、邊界層的分離現象、邊界層的分離現象、邊界層的分離現象 對于粘性流體，在上述能量的轉化過程中，由于粘性的作用，邊界層內對于粘性流體，在上述能量的轉化過程中，由于粘性的作用，邊界層內的流體質點將要克服粘性力作功而消耗機械能。因此微團在逆壓區，不的流體質點將要克服粘性力作功而消耗機械能。因此微團在逆壓區，不

36、可能到達可能到達F F點，而是在點，而是在MFMF段中的某點處微團速度降為零，以后來的質點段中的某點處微團速度降為零，以后來的質點將改道進入主流將改道進入主流中，使來流邊界層與壁面分離。中，使來流邊界層與壁面分離。在分離點下游的區域，在分離點下游的區域，受逆壓梯度的作用而發生倒流。分離點定義為緊鄰壁面順流區與倒流區受逆壓梯度的作用而發生倒流。分離點定義為緊鄰壁面順流區與倒流區的分界點。的分界點。在分離點附近和分離區，由于邊界層厚度大在分離點附近和分離區，由于邊界層厚度大 大增加，邊界層假設不在成立。邊界層分離大增加，邊界層假設不在成立。邊界層分離 的必要條件是：逆壓梯度和物面粘性的阻滯的必要條

37、件是：逆壓梯度和物面粘性的阻滯 作用結果。作用結果。僅有粘性的阻滯作用而無逆壓梯度，不會發生邊界層的分離，因為無反僅有粘性的阻滯作用而無逆壓梯度，不會發生邊界層的分離，因為無反推力使邊界層流體進入到外流區。這說明，順壓梯度的流動不可能發生推力使邊界層流體進入到外流區。這說明，順壓梯度的流動不可能發生邊界層分離。只有逆壓梯度而無粘性的阻滯作用，同樣也不會發生分離邊界層分離。只有逆壓梯度而無粘性的阻滯作用，同樣也不會發生分離現象，因為無阻滯作用，運動流體不可能消耗動能而滯止下來。現象，因為無阻滯作用，運動流體不可能消耗動能而滯止下來。5.55.55.55.5、邊界層的分離現象、邊界層的分離現象、邊

38、界層的分離現象、邊界層的分離現象氣流繞翼型的流動與邊界層分離現象。氣流繞翼型的流動與邊界層分離現象。需要指出的是：逆壓梯度和壁面粘性阻滯作用是邊界層分離的必需要指出的是：逆壓梯度和壁面粘性阻滯作用是邊界層分離的必要條件，但不是充分的，也就是說只有在一定的逆壓梯度下，才要條件，但不是充分的，也就是說只有在一定的逆壓梯度下，才有可能發生分離。有可能發生分離。5.55.55.55.5、邊界層的分離現象、邊界層的分離現象、邊界層的分離現象、邊界層的分離現象2 2、在不同壓力梯度區邊界層的速度分布特征、在不同壓力梯度區邊界層的速度分布特征根據邊界層動量方程，在壁面上根據邊界層動量方程，在壁面上壓力梯度對

39、邊界層內流動速度分布產生一定的影響。壓力梯度對邊界層內流動速度分布產生一定的影響。對于順壓梯度的情況，有對于順壓梯度的情況，有對于逆壓梯度的情況，有對于逆壓梯度的情況，有5.55.55.55.5、邊界層的分離現象、邊界層的分離現象、邊界層的分離現象、邊界層的分離現象對于零壓梯度的情況，有對于零壓梯度的情況，有由此可見，隨著壓力梯度的變號，邊界層速度分布的曲率將改變符號。由此可見，隨著壓力梯度的變號，邊界層速度分布的曲率將改變符號。5.55.55.55.5、邊界層的分離現象、邊界層的分離現象、邊界層的分離現象、邊界層的分離現象 對于順壓梯度區，壓力沿程減小，速度沿程增加。在壁面處，對于順壓梯度區

40、，壓力沿程減小，速度沿程增加。在壁面處，另一方面，在邊界層的外邊界上，有另一方面，在邊界層的外邊界上，有 由此說明，在順壓梯度區，邊界層內的速度沿由此說明，在順壓梯度區，邊界層內的速度沿y y方向是單調增加的，方向是單調增加的，分布曲線無拐點，是一條向外凸的光滑曲線，流動是穩定的。分布曲線無拐點，是一條向外凸的光滑曲線，流動是穩定的。5.55.5、邊界層的分離現象、邊界層的分離現象、邊界層的分離現象、邊界層的分離現象 對于逆壓梯度區（分離點前），壓力沿程增加，速度沿程減小。在對于逆壓梯度區（分離點前），壓力沿程增加，速度沿程減小。在壁面處，有壁面處，有 另一方面，在邊界層的外邊界上另一方面，在

41、邊界層的外邊界上 于是在邊界層內于是在邊界層內 ，速度分布曲率從正變為負，在某點處必然有，速度分布曲率從正變為負，在某點處必然有 這一點是速度分布的拐點。拐點的出現改變了速度分布的形狀，在這一點是速度分布的拐點。拐點的出現改變了速度分布的形狀，在拐點以上為外凸型，在拐點以下為外凹型，存在拐點的速度分布型拐點以上為外凸型，在拐點以下為外凹型，存在拐點的速度分布型是不穩定的。是不穩定的。5.55.55.55.5、邊界層的分離現象、邊界層的分離現象、邊界層的分離現象、邊界層的分離現象 在最小壓力點處，有在最小壓力點處，有 說明拐點在物面上，隨著流體質點向下游流動，拐點向外邊界移動，說明拐點在物面上，

42、隨著流體質點向下游流動，拐點向外邊界移動，物面近區的速度分布愈來愈瘦小，但當拐點移動到某點時，物面處物面近區的速度分布愈來愈瘦小，但當拐點移動到某點時，物面處出現出現 該點稱為分離點。該點稱為分離點。5.55.55.55.5、邊界層的分離現象、邊界層的分離現象、邊界層的分離現象、邊界層的分離現象 在分離點下游區，有在分離點下游區，有 發生了回流，回流把主流推離壁面，邊界層假設失效。由上分析可見，發生了回流，回流把主流推離壁面，邊界層假設失效。由上分析可見，逆壓梯度愈大，邊界層分離愈靠前。邊界層分離后，流動特征發生了逆壓梯度愈大，邊界層分離愈靠前。邊界層分離后，流動特征發生了變化。如：變化。如：（1 1）從分離點不斷脫離出旋渦，在分離點下游形成不穩定的旋渦區，）從分離點不斷脫離出旋渦，在分離點下游形成不穩定的旋渦區，從而使得主流區由原來的無渦區變成有渦。從而使得主流區由原來的無渦區變成有渦。（2 2）物面上壓力分布由原來的幾乎對稱分布變成不對稱分布，在分離）物面上壓力分布由原來的幾乎對稱分布變成不對稱分布，在分離點后出現低壓區（或負壓區），從而大大增加了繞流物體的阻力。點后出現低壓區（或負壓區），從而大大增加了繞流物體的阻力。