MATLAB與科學計算

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1、MATLAB與科學計算一、前言一、前言MATLAB：matrix laboratory的縮寫，的縮寫，矩陣實驗室的意思。一開始它是一種矩陣實驗室的意思。一開始它是一種專門用于矩陣數值計算的軟件。自專門用于矩陣數值計算的軟件。自MATLAB4.0版本問世以來，該軟件成版本問世以來，該軟件成為最具有吸引力，應用最為廣泛的科為最具有吸引力，應用最為廣泛的科學計算語言。我們這個課就拿學計算語言。我們這個課就拿MATLAB6.1版本來講。（版本來講。（6.x版本大同版本大同小異）小異）學習該軟件的必要性：學習該軟件的必要性：目前，目前，MATLAB軟件不僅走入企業、公軟件不僅走入企業、公司和科研機構，而

2、且在高等院校司和科研機構，而且在高等院校也是從大學生到博士生都必須掌也是從大學生到博士生都必須掌握的一項基本技能，是必不可少握的一項基本技能，是必不可少的計算工具，。的計算工具，。MATLAB功能：功能：數值計算、符號數值計算、符號運算和圖形處理。運算和圖形處理。學習它的意義：學習它的意義：隨著計算機科學隨著計算機科學和計算軟件的發展，數學系學生和計算軟件的發展，數學系學生必須掌握一門好的計算軟件。這必須掌握一門好的計算軟件。這是我們就業、繼續身造或做科研是我們就業、繼續身造或做科研工作所要用到的。是當代大學生工作所要用到的。是當代大學生必備的一項技能。必備的一項技能。其它計算軟件：其它計算軟

3、件：MATHEMATIC（數學分析問題的計算）；（數學分析問題的計算）；IDL（航天、控制），（航天、控制），FOETRAN、BASIC（科學計算）?？梢哉f一（科學計算）。可以說一個人掌握了一門計算軟件，再學個人掌握了一門計算軟件，再學習其它計算軟件很容易。習其它計算軟件很容易。MATLAB桌面平臺：桌面平臺：(1)(1)主窗口：整個大的窗口（其它主窗口：整個大的窗口（其它幾個窗口都包括在其中）幾個窗口都包括在其中）（2 2）命令窗口（）命令窗口（command command windowwindow）：）：為運算提示符，表為運算提示符，表示示MATLABMATLAB在準備狀態。當在提示在準

4、備狀態。當在提示符后輸入一段運算式并按回車鍵符后輸入一段運算式并按回車鍵后，就給出計算結果后，就給出計算結果（3 3）歷史窗口）歷史窗口(command history)(command history)：保留命令歷史記錄，這方便于：保留命令歷史記錄，這方便于使用者查詢。雙擊歷史窗口中的使用者查詢。雙擊歷史窗口中的某一行命令，即可在命令窗口中某一行命令，即可在命令窗口中執行該命令。執行該命令。（4 4）當前目錄窗口（）當前目錄窗口（current current directorydirectory）：在當前目錄窗口中）：在當前目錄窗口中可顯示或改變當前目錄，也可以可顯示或改變當前目錄，也可以

5、顯示當前目錄下的文件，并提供顯示當前目錄下的文件，并提供搜索功能。搜索功能。(5)(5)發行說明書窗口（發行說明書窗口（launch launch padpad）:用來說明用戶所擁有的用來說明用戶所擁有的MathworksMathworks公司產品的工具包、演公司產品的工具包、演示以及幫助信息。示以及幫助信息。（6 6）工作間管理窗口）工作間管理窗口（workspaceworkspace）:顯示目前內存中所顯示目前內存中所有的有的MATLABMATLAB變量的變量名、數學結變量的變量名、數學結構、字節數及其類型。構、字節數及其類型。命令窗口查詢幫助：命令窗口查詢幫助：help+help+函數名

6、，函數名，當用戶知道函數名字，而不知道當用戶知道函數名字，而不知道其用法時，用其用法時，用helphelp命令可以去了命令可以去了解此函數的用法。解此函數的用法。如：如：help invhelp invMATLABMATLAB標點的含義：標點的含義：（1 1）分號；）分號；區分行以及取消區分行以及取消運行顯示等。例：運行顯示等。例：A=1,2;3,4A=1,2;3,4與與A=1,2;3,4A=1,2;3,4；的區別。的區別。(2)(2)逗號，逗號，區分列及函數參區分列及函數參數分隔符等。例：數分隔符等。例：=1,2;3,4=1,2;3,4，B=1,4,3;3,2,1;4,5,6B=1,4,3;

7、3,2,1;4,5,6(3)(3)小括號（）：指定運算過程的小括號（）：指定運算過程的先后次序等。例：先后次序等。例：x=0.5;x=0.5;y=sin(x)/(2+cos(x)y=sin(x)/(2+cos(x)z=sin(x)/2+cos(x)z=sin(x)/2+cos(x)(4)(4)方括號方括號 ：矩陣定義標志等。：矩陣定義標志等。見上。見上。（5 5）續行號）續行號：例：例：y=sin(x)/(2+cos(x)y=sin(x)/(2+cos(x)也可寫為也可寫為 y=y=sin(xsin(x)/(2+cos(x)/(2+cos(x)只能在編寫文件時使用，不能在命只能在編寫文件時使用

8、，不能在命令窗口使用。令窗口使用。(6)(6)百分號百分號%：注釋標記，該行：注釋標記，該行%以以后的語句不執行。后的語句不執行。a=0.5 a=0.5%這里這里a a為常數為常數%a=0.5;%a=0.5;（6 6）等號）等號=：賦值標記。見上。：賦值標記。見上。（7 7）單引號）單引號 ：字符串表示符，：字符串表示符，單引號里面的內容為字符串。例：單引號里面的內容為字符串。例：a=a=xingtaixingtai college college。（8 8）冒號）冒號：有多種應用功：有多種應用功能，學習過程中注意。能，學習過程中注意。二、數值計算二、數值計算變量：變量：MATLAB語言不需要

9、對所使用的語言不需要對所使用的變量進行事先聲明，也不需要指定其類變量進行事先聲明，也不需要指定其類型，它會自動根據所賦予變量的值或所型，它會自動根據所賦予變量的值或所進行的操作來確定變量的類型。如果變進行的操作來確定變量的類型。如果變量重新賦值將會用新值代替舊值。如：量重新賦值將會用新值代替舊值。如：a=1 b=0.5 c=a*b c=3變量命名的規則：變量命名的規則：（1 1）變量名區分大小寫；）變量名區分大小寫；（2 2）變量名長度不能超過）變量名長度不能超過3131位；位；（3 3）必須以字母開頭，變量名中）必須以字母開頭，變量名中可包含字母、數字、下劃線，但可包含字母、數字、下劃線，但

10、不能使用標點。不能使用標點。常量：常量：MATLAB中有些預定義的中有些預定義的變量，這些特殊的變量稱為常量。變量，這些特殊的變量稱為常量。常用到的有：常用到的有：i,j:虛數單位；虛數單位；pi:；NaN:表示不定值表示不定值,比如比如0/0；inf:無窮大（無窮大（infinit），比如），比如1/0。算術操作符：算術操作符：+：加，正號；：加，正號；-：減，負號；減，負號；*，,/：分別為矩陣乘，乘：分別為矩陣乘，乘方，左除，右除；方，左除，右除；.*,.,.,./：分別為數組：分別為數組乘，乘方，左除，右除；乘，乘方，左除，右除；如：如：a1=2;a2=1,2,3,4;b2=4,3,2

11、,1;a1+a2a1-a2a2-a1a1*a2a1./a2%a1/a2是錯誤的寫法是錯誤的寫法a1.a2 a2-b2a2+b2a2.*b2%a2*b2是錯誤的寫法是錯誤的寫法a2./b2b2./a2a2.b2例例 已知水的黏度隨溫度的變化公式已知水的黏度隨溫度的變化公式為為=0/（1+at+bt2）其中）其中0 0=1.78510=1.78510-3-3，a=0.03368,b=0.000221,a=0.03368,b=0.000221,求水在求水在0 0，2020，4040，8080時的黏度。時的黏度。程序如下：程序如下：miu0=1.785e-3;a=0.03368;b=0.000221;

12、t=0:20:80 miu=miu0./(1+a*t+b*t.2)運行后的結果為運行后的結果為：miu=0.0018 0.0010 0.0007 0.0005 0.0003字符串：字符串：字符串的約定（字符串的約定（1）字符串用單引）字符串用單引號括起來；（號括起來；（2）字符串的每個）字符串的每個每個字符（包括空格）都是字符每個字符（包括空格）都是字符數組的一個元素數組的一個元素.例 s=xingtai college 向量的生成：向量的生成：（1）直接輸入：如）直接輸入：如a=1,2,5,3 (2)利用冒號表達式生成：如：利用冒號表達式生成：如：b=2:2:10,此時此時 可省略，步長可省

13、略，步長為為1時，步長可省略。第一個數為時，步長可省略。第一個數為首元素的值，第首元素的值，第2個數為步長或差個數為步長或差值，第三個數為尾元素的限值，不值，第三個數為尾元素的限值，不能超過這個值。如能超過這個值。如b=2;2:11等價于等價于b=2:2:10（3）線性等份向量生成：）線性等份向量生成：y=linspace(x1,x2,n),生成生成n維向維向量，使得量，使得y(1)=x1,y(n)=x2。如：。如：y=linspace(1,100,6)。l向量的基本運算向量的基本運算（1）向量的加減：用）向量的加減：用+、-。同維。同維向量才可以加、減。相應元素加向量才可以加、減。相應元素加

14、減減（2 2）向量與數可以加、減。用）向量與數可以加、減。用+、-。數與向量的每個元素進行作用。數與向量的每個元素進行作用。（3 3）向量與數可以相乘。用）向量與數可以相乘。用*。(4)(4)向量與數可以相除。向量向量與數可以相除。向量/數，數，數數././向量。向量。（5 5）兩個向量點積。必須是同維）兩個向量點積。必須是同維向量。用向量。用dot(a,bdot(a,b)。（6 6）兩個向量叉積。）兩個向量叉積。Cross(a,b),a,bCross(a,b),a,b必須有是必須有是3 3維且次維且次序不能顛倒序不能顛倒,。（7 7）混合積。由以上兩個函數實現。）混合積。由以上兩個函數實現。

15、dot(a,cross(b,cdot(a,cross(b,c)矩陣的生成：矩陣的生成：(1)直接輸入直接輸入:如如:a=1,3,4;4,3,2.(2)(2)創建創建M M文件輸入大矩陣文件輸入大矩陣:當矩陣當矩陣很大時很大時,直接輸入顯得很笨直接輸入顯得很笨,出錯出錯不易修改不易修改.我們可以編寫一個我們可以編寫一個M M文文件件,M,M文件的擴展名必須是文件的擴展名必須是m.m.例例 編寫一個名為編寫一個名為matrix.mmatrix.m(名字名字自己隨便起自己隨便起)的的M M文件如下文件如下:%matrix.mmatrix.mmat=1,2,3,3;3,4,5,1;3,2,1,4;8,

16、mat=1,2,3,3;3,4,5,1;3,2,1,4;8,9,7,59,7,5 在命令窗口中輸入在命令窗口中輸入matrix,matrix,就就會運行該文件會運行該文件.查看矩陣的結構可查看矩陣的結構可用用size(matsize(mat).).矩陣運算矩陣運算:(1)+(1)+、-、*：加、減、乘運算。：加、減、乘運算。（2 2）矩陣的除法有兩種形式）矩陣的除法有兩種形式:左除左除“”和右除和右除/.右除是先計算右除是先計算逆再做乘法逆再做乘法;而左除不計算逆直接而左除不計算逆直接進行除法運算進行除法運算,這樣可避免奇異矩這樣可避免奇異矩陣無法求逆帶來的麻煩陣無法求逆帶來的麻煩.如如:A=

17、1,2,3,2;3,2,:A=1,2,3,2;3,2,4,1;3,1,5,6;2,5,3,2,4,1;3,1,5,6;2,5,3,2,b=1;3;2;1,b=1;3;2;1,求方程組求方程組Ax=bAx=b的解的解.由于由于rank(Arank(A)=)=rank(Brank(B)=4(B)=4(B為增廣為增廣矩陣矩陣),),所以有唯一解所以有唯一解,x=Ab,x=Ab,或或x=x=inv(Ainv(A)*b.)*b.又如又如:A=361,625,961,1444,1936;1,1,1,A=361,625,961,1444,1936;1,1,1,1,1,b=1;11,1,b=1;1,求方程組求

18、方程組Ax=bAx=b的的解解.由于由于rank(Arank(A)=)=rank(Brank(B)=2(B)=2(B為增為增廣矩陣廣矩陣),),所以有無窮多個解所以有無窮多個解,MATLAB,MATLAB中用除法解方程組時所得中用除法解方程組時所得到的解是所有解中范數最小的一個到的解是所有解中范數最小的一個x=Abx=Ab。（3 3）矩陣與常數間的運算）矩陣與常數間的運算:+:+、-、*運算是數與矩陣的每個元素進行運算是數與矩陣的每個元素進行運算，除法運算，只能常數做除運算，除法運算，只能常數做除數。數。（4 4）矩陣求逆：）矩陣求逆：inv(Ainv(A)為為A A的逆的逆(inverse)

19、.(inverse).（5 5）求轉置矩陣）求轉置矩陣:A.:A.（6 6）求矩陣的行列式）求矩陣的行列式:det(Adet(A),(determinant,(determinant是行列式是行列式)。（7 7）矩陣冪運算：用）矩陣冪運算：用.如如A3,A3,表示表示A*A*AA*A*A。（8 8）矩陣指數運算：）矩陣指數運算：expm(A),Aexpm(A),A為為方陣。方陣。（9 9）矩陣對數運算）矩陣對數運算:logm(A),Alogm(A),A為為方陣。方陣。如：如：a=rand(3)a=rand(3)；%成生一個成生一個3 3階階隨機矩陣隨機矩陣 b=b=expm(aexpm(a)c

20、=c=logm(blogm(b)（1010）矩陣開方：）矩陣開方：sqrtm(asqrtm(a).).(11)(11)求矩陣呢的秩：求矩陣呢的秩：rank(arank(a).).特殊矩陣的生成：特殊矩陣的生成：（1 1）zeros(nzeros(n):):生成生成 nnnn階階0 0矩陣。矩陣。（2 2）zeros(m,nzeros(m,n):):生成生成 mnmn階階0 0矩陣。矩陣。（3 3）zeros(size(azeros(size(a):):生成與生成與a a階數階數相同的相同的0 0矩陣。矩陣。（4 4）eye(neye(n):):生成生成 n n階單位矩陣。階單位矩陣。（5 5）

21、eye(m,neye(m,n):):生成生成 m mn n階單位矩階單位矩陣。陣。（6 6）eye(size(aeye(size(a):):生成與生成與a a階數相階數相同的單位矩陣。同的單位矩陣。（7 7）ones(nones(n):):生成生成 n n階全階全1 1矩陣。矩陣。（8 8）ones(m,nones(m,n):):生成生成 m mn n階全階全1 1矩矩陣。陣。（9 9）ones(size(aones(size(a):):生成與生成與a a階數階數相同的全相同的全1 1矩陣。矩陣。（1010）rand(nrand(n):):生成生成 nnnn階隨機矩階隨機矩陣，其元素值在陣，其

22、元素值在0 0和和1 1之間。之間。（1111）rand(m,nrand(m,n):):生成生成 mnmn階隨機階隨機矩陣。矩陣。（1212）randrand：生成一個隨機數。：生成一個隨機數。（1313）rand(size(arand(size(a):):生成與生成與a a階階數相同的隨機矩陣。數相同的隨機矩陣。l矩陣的特殊操作：矩陣的特殊操作：（1 1）變維操作）變維操作reshape(a,m,nreshape(a,m,n):):把把矩陣矩陣a a變成變成nnnn階矩陣。如階矩陣。如 a=1:12,reshape(a,2,6),a=1:12,reshape(a,2,6),reshape(a

23、,3,4)reshape(a,3,4)。注意變維操作。注意變維操作要保證元素個數一致。要保證元素個數一致。例例s=1:12;s=1:12;c=zeros(3,4);c=zeros(3,4);c(:)=s(:);%c(:)=s(:);%符號符號“:”表示表示變維操作，這兩個矩陣必須預先變維操作，這兩個矩陣必須預先定義維數，結果定義維數，結果c c取的是取的是s s的元素。的元素。（2 2）對角元素抽?。窃爻槿iag(a,kdiag(a,k)（注：（注：diagonaldiagonal為對角線的意思）：抽為對角線的意思）：抽取矩陣取矩陣a a的第的第k k條對角線的元素作條對角線的元素作為

24、向量，為向量，k=0 k=0 時為主對角線，時為主對角線，k k為為正值時為上方第正值時為上方第k k條對角線，條對角線，k k為為負值時為下方第負值時為下方第k k條對角線。條對角線。diag(adiag(a)相當于相當于diag(a,0).diag(a,0).例例 a=rand(3);v=a=rand(3);v=diag(adiag(a)說明：如果說明：如果b b是一個向量，則是一個向量，則diag(bdiag(b)為對角矩陣，其對角線元為對角矩陣，其對角線元素為素為b b的元素。如：的元素。如：b=1:3,diag(b).b=1:3,diag(b).（3 3）tril(atril(a)(

25、)(注：注：triangle triangle low):low):提取矩提取矩a a的主下三角。的主下三角。（4 4）tril(atril(a，k):k):提取矩提取矩a a的第的第k k條條對角線下面部分。對角線下面部分。k=0 k=0 時為主對時為主對角線，角線，k k為正值時為上方第為正值時為上方第k k條對條對角線，角線，k k為負值時為下方第為負值時為下方第k k條對條對角線。角線。（5 5）triu(atriu(a，k)(k)(注：注：triangle triangle up):up):提取矩提取矩a a的第的第k k條對角線上面條對角線上面部分。部分。邏輯運算符：邏輯運算符：（

26、1 1）=：等于。：等于。（2 2）=：不等于。：不等于。（3 3）：小于。：小于。（4 4）：大于。：大于。（5 5）=：小于等于。：小于等于。（6 6）=：大于等于。：大于等于。（7 7）&:&:邏輯與。邏輯與。（8 8）|：邏輯或。：邏輯或。（9 9）：邏輯非。：邏輯非。說明：說明：在關系比較中，若雙方為同在關系比較中，若雙方為同維數組（矩陣），則比較的結果維數組（矩陣），則比較的結果也是同維數組（矩陣）。它們的也是同維數組（矩陣）。它們的元素有元素有0 0和和1 1組成。對應位置上的組成。對應位置上的元素滿足比較關系時為元素滿足比較關系時為1 1，否則為，否則為0 0。當常數與數組（矩

27、陣）比較時，。當常數與數組（矩陣）比較時，結果與數組（矩陣）同維，其值結果與數組（矩陣）同維，其值依次為常數與數組元素依次比較依次為常數與數組元素依次比較的結果。例：的結果。例：a=1:3;4:6;7:9x=5y=x=a運行結果y=0 0 0 0 1 1 1 1 1邏輯運算的意義是：與：當運算雙方的對應元素值都為非0時，結果為1，否則為0；或：當運算雙方的對應元素值有一非0時，結果為1，否則為0；非：當運算數組（矩陣）的對應位置上的元素值為0時，結果為1，否則為0。例a=1,2;3,2;b=0,1;3,0;d=a&b e=a|b f=b算術運算、比較運算、邏輯與或算術運算、比較運算、邏輯與或非

28、運算的優先級：先比較運算、非運算的優先級：先比較運算、再算術運算、最后邏輯與或非運再算術運算、最后邏輯與或非運算。算。常用的一些函數常用的一些函數(直接調用直接調用):sin(x):正弦函數正弦函數(sine);例例:x=-pi:0.1:pi;y=sin(x);plot(x,y)asin(x):反正弦函數反正弦函數(anti-sine);cos(x):余弦函數余弦函數(cosine);acos(x):反反余弦函數余弦函數(anti-cosine);tan(x):正切函數正切函數(tangent);atan(x):反正切函數反正切函數(anti-tangent);cot(x):余切函數余切函數(

29、cotangent);acot(x):反反余切函數余切函數(anti-cotangent);sec(x):正割函數正割函數(secant);asec(x):反正割函數反正割函數(anti-secant);csc(x):余割函數余割函數(cosecant);acsc(x):反余割函數反余割函數(anti-cosecant);sinh(x):雙曲正弦雙曲正弦(hyperbolic sine);asinh(x):反雙曲正弦反雙曲正弦(anti-hyperbolic sine);cosh(x):雙曲余弦雙曲余弦(hyperbolic cosine);acosh(x):反雙曲余弦反雙曲余弦(anti-h

30、yperbolic cosine);tanh(x):雙曲正切函數雙曲正切函數(hyperbolic tangent);atanh(x):反雙曲正切函數反雙曲正切函數(anti-hyperbolic tangent);coth(x):雙曲余切函數雙曲余切函數(hyperbolic cotangent);acoth(x):反雙曲余切函數反雙曲余切函數(anti-hyperbolic cotangent);exp(x):e指數函數指數函數(exponent);log(x):自然對數函數自然對數函數(logarithm);log10(x):以以10為底的對數為底的對數;log2(x):以以2為底的對數

31、為底的對數;sqrt(x):平方根函數平方根函數(square root);abs(x):求模函數求模函數(absolute)等等多項式表示方法：多項式表示方法：在在MATLAB中多項式中多項式p(x)=anxn+an-1xn-1+a0是以向量是以向量p=an,an-1,a0的形式儲存的的形式儲存的.(1)系數向量直接輸入系數向量直接輸入:例輸入多項式例輸入多項式x3-5x2+6x-33.p=1,-5,6,-33;poly2sym(p)%polynomial多項多項式式,將系數向量表示成符號多項式將系數向量表示成符號多項式(2)(2)矩陣的特征多項式輸入矩陣的特征多項式輸入:例例 a=1,2,

32、3;2,3,4;3,4,5;a=1,2,3;2,3,4;3,4,5;p=p=poly(apoly(a);%);%求求a a的特征多項式系數的特征多項式系數向量向量 p1=poly2sym(p);%p1=poly2sym(p);%即為即為a a的特征多的特征多項式項式(3)由根創建多項式由根創建多項式:例例 root=-5,-3+4i,-3-4i;%是某個多是某個多項式的根項式的根 p=poly(root)%求相應的多項式的求相應的多項式的系數向量系數向量P1=poly2sym(p)%將多項式系數將多項式系數向量表示成符號多項式向量表示成符號多項式多項式運算多項式運算:(1)求多項式的值求多項式

33、的值:例例 p=1,11,55,125;a=1.2 b=1,2;2,3 polyval(p,a)%polynomial value 求多項式在求多項式在1.2的值的值polyvalm(p,b)%多項式在多項式在b的值的值(2)(2)求多項式的根求多項式的根:例求多項式例求多項式 2x4-5x3+6x2-x+9=02x4-5x3+6x2-x+9=0的所有的所有根根.p=2,-5,6,-1,9 p=2,-5,6,-1,9 roots(proots(p)%)%得到系數向量所相得到系數向量所相應的多項式的根應的多項式的根(3)多項式乘除運算分別用多項式乘除運算分別用conv和和deconv:(conv

34、olution,deconvolution)例例 p1=2,-5,6,-1,9;p2=3,-90,18;p=conv(p1,p2)%為為p1和和p2所所相應的多項式的乘積多項式的系相應的多項式的乘積多項式的系數向量數向量 p3=deconv(p,p1)%p3=deconv(p,p1)%為為p2p2 p4=deconv(p,p2)%p4=deconv(p,p2)%為為p1p1 poly2sym(p1)poly2sym(p1)；poly2sym(p2)poly2sym(p2)；poly2sym(p)poly2sym(p)poly2sym(p3)poly2sym(p3)poly2sym(p4)%po

35、ly2sym(p4)%觀看這幾個多項觀看這幾個多項式式polyfit(x,y,npolyfit(x,y,n)其中其中x,yx,y為擬合數為擬合數據，據，n n為擬合多項式的階數。例為擬合多項式的階數。例 用最小二乘法擬合數據用最小二乘法擬合數據 x:0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 x:0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 y:1.75 2.45 3.81 y:1.75 2.45 3.81 4.80 8.00 8.604.80 8.00 8.60 x=0.5,1,1.5,2,2.5,3 x=0.5,1,1.5,2,2.5,3 y=1.75,2.4

36、5,3.81,4.80,8.00,8.60y=1.75,2.45,3.81,4.80,8.00,8.60 a=polyfit(x,y,2)%用2次多項式擬合上組數據，a為擬合多項式的系數向量 x1=0.5:0.05:3x1=0.5:0.05:3 y1=a(1)*x1.2+a(2)*x1+a(3)y1=a(1)*x1.2+a(2)*x1+a(3)plot(x1,y1)%plot(x1,y1)%畫出擬合曲線的圖畫出擬合曲線的圖形形 hold on%hold on%保留上面的圖形和坐保留上面的圖形和坐標，可在該坐標系中繼續作圖標，可在該坐標系中繼續作圖 plot(x,yplot(x,y,*)%)%用

37、用*號的形式號的形式畫出被擬合的數據圖形畫出被擬合的數據圖形l求矩陣的特征值（求矩陣的特征值（eigenvalue:）和特征向量和特征向量(eigenvector)例例 a=7,3,-2;3,4,-1;-2,-1,3;x,y=eig(a)%所得結果所得結果x為為a的特的特征向量矩陣，征向量矩陣，y為特征值矩陣為特征值矩陣說明：可以驗證：說明：可以驗證：a*x=y*x?三、符號運算三、符號運算MATLABMATLAB進行符號運算的主要功能：進行符號運算的主要功能：符號表達式和符號矩陣的基本操作、符號表達式和符號矩陣的基本操作、符號矩陣的基本運算、符號微積分符號矩陣的基本運算、符號微積分運算、符號

38、線性方程求解、符號微運算、符號線性方程求解、符號微分方程求解、特殊數學符號函數、分方程求解、特殊數學符號函數、符號函數圖形等。符號函數圖形等。符號表達式的生成符號表達式的生成創建符號函數：如創建符號函數：如f=log(x)創建符號方程：如創建符號方程：如 g=a*x2+b*y2+c=0創建微分方程：如創建微分方程：如q=Dy-y=x或者：或者：f=sym(log(x)、g=sym(a*x2+b*y2+c=0)、q=sym(Dy-y=x)說明：符號函數也可以用另一方法說明：符號函數也可以用另一方法創建創建(該方法不能創建方程該方法不能創建方程)：syms x f=log(x)w=sin(x)+c

39、os(x)符號與數值之間的轉換符號與數值之間的轉換(1)(1)VpaVpa函數：如函數：如 digits(25)digits(25)設置有效數字設置有效數字的精度為的精度為2525位有效數字位有效數字 vpa(pi+1)vpa(pi+1)顯示在上述顯示在上述digitsdigits函數設置下的精度函數設置下的精度 的數的數值值 或者或者vpa(pi+1,25)vpa(pi+1,25)(2)numeric函數：如函數：如 numeric(pi+2)(3)double函數函數:如如 double(pi+2)%與上一個函數結與上一個函數結果一樣。果一樣。例例 求函數求函數f(x)=x-cos(x)在

40、在x=2的值。的值。解解 symssyms x x f=f=x-cos(xx-cos(x););f1=subs(f,f1=subs(f,2 2,x)%,x)%字符替代，字符替代，在在 符號函數符號函數f f中用中用2 2代替代替x x f1=subs(f,x,2)%f1=subs(f,x,2)%給出給出f f在在x=1x=1處處的值。的值。digits(20)digits(20)vpa(f1)vpa(f1)numeric(f1),double(f1)numeric(f1),double(f1)例求方程例求方程3x2-ex=0的精確解和各種的精確解和各種精度的近似解。精度的近似解。解解 s=so

41、lve(3*x2-exp(x)=0)vpa(s)%顯示顯示32位有效數字位有效數字 vpa(s,6)顯示顯示6位有效數字位有效數字 syms x ezplot(3*x2-exp(x)注：注：W=LAMBERTW(X)是是w*exp(w)=x的解的解符號函數運算符號函數運算復合函數運算：設復合函數運算：設z=g(y),y=f(x)compose(g,f)%即為即為g(f(x),自自變量的符號取為變量的符號取為f函數的自變量符函數的自變量符號。號。compose(g,f,t)%即為即為g(f(x),自自變量的符號取變量的符號取t。反函數運算：反函數運算：finverse例例syms x,y,tg=

42、sin(y)，f=1/xcompose(g,f)compose(g,f,t)finverese(g)finverese(f)符號矩陣創立符號矩陣創立 使用使用sym函數直接創建符號矩陣：例函數直接創建符號矩陣：例 a=sym(1/sin(x),cos(x)2;2*x,1+x2)用創建子矩陣的辦法創建符號矩陣：例用創建子矩陣的辦法創建符號矩陣：例 a=1/sin(x),cos(x)2;2*x ,1+x2 同列元素的位數必須一樣，同列元素的位數必須一樣，可用空可空格來補?？捎每湛煽崭駚硌a。例例b=a,;1 ,x2 將數值矩陣轉化為符號矩陣將數值矩陣轉化為符號矩陣a=2/3,sqrt(2);0.22

43、2,log(3)%a為為數值矩陣數值矩陣b=sym(a)把把a轉化為符號矩陣轉化為符號矩陣b。符號矩陣索引和修改符號矩陣索引和修改b(2,2)%矩陣的索引矩陣的索引,顯示矩陣顯示矩陣b的的第第2行第行第2列元素。列元素。符號矩陣的修改符號矩陣的修改b(2,2)=log(9)%矩陣的修改，把矩陣的修改，把b(2,2)修改為修改為log(9)。符號矩陣的運算符號矩陣的運算（1）、）、*、/運算運算（2）矩陣轉置（）矩陣轉置（）：）：a (3)行列式運算：行列式運算：det(a)%determinant的的簡寫計算符號矩陣的簡寫計算符號矩陣的行列式。行列式。（4）求逆）求逆inv(a):求矩陣求矩陣

44、a的逆。的逆。（5）求矩陣的秩）求矩陣的秩rank(a):求矩陣求矩陣a的秩。的秩。符號極限符號極限limit(f,x,a):求表達式求表達式f在在xa時的極限。時的極限。limit(f):求求f在在x0時的極限時的極限.imit(f,x,a,left):求表達式求表達式f在在xa時的左時的左極限。極限。limit(f,x,a,right):求表達式求表達式f在在xa時的時的右極限。例右極限。例 syms x limit(sin(x)/x,x,1)limit(sin(x)/x)limit(1+1/x)(1/x),x,inf)f=atan(1/(1-x)y=limit(f,x,1)%沒極限沒極限

45、 y1=limit(f,x,1,left)y2=limit(f,x,1,right)f=1/x,y1=limit(f,x,0,left)y2=limit(f,x,0,right)符號積分符號積分(積分：積分：integral)（1）int(f,x):計算符號表達式計算符號表達式f,自由變自由變量為量為x的不定積分的不定積分（2）int(f,x,a,b):計算符號表達式計算符號表達式f,自自由變量為由變量為x,從從a到到b的定積分的定積分說明：符號表達式可以是符號函數，說明：符號表達式可以是符號函數，也可是符號矩陣。也可是符號矩陣。例例 syms x int(sin(x),x)int(sin(x

46、),x,0,1)int(sin(x),x,0,1 a=sym(1/sin(x),cos(x)2;2*x,1+x2)int(a,x)符號函數求導符號函數求導(微分微分:differential)(1)diff(f,x)%求表達式求表達式f,自由變量為自由變量為x的導數。的導數。（2）diff(f,x,n)%求表達式求表達式f,自由變量自由變量為為x的的n階導數。階導數。syms x f=sin(x)2 diff(f,x)diff(f,x,2)線性方程組的符號解法（線性方程組的符號解法（linsolve）例例a=sym(10,-1,0;-1,10,-2;0,-2,10)b=sym(9;7;6)x=

47、linsolve(a,b)%x為線性方程為線性方程ax=b的解。的解。vpa(x)%轉化為浮點近似解轉化為浮點近似解,32位位有效數字。有效數字。非線性方程組的符號解法非線性方程組的符號解法（fsolvefsolve）例例 求解下面非線性方程組求解下面非線性方程組 x1-0.7sinx1-0.2cosx2=0 x2-0.7cosx10.2sinx2=0解首先編寫函數文件解首先編寫函數文件f.mf.m如下如下function y=fc(x)y(1)=x(1)-0.7*sin(x(1)-0.2*cos(x(2);y(2)=x(2)-0.7*cos(x(1)+0.2*sin(x(2);y=y(1);

48、y(2);在命令窗口中輸入在命令窗口中輸入x0=0.502,0.51;x0為初始向量為初始向量fsolve(fc,x0)常微分方程的符號解（常微分方程的符號解（dsolvedsolve）：）：字符字符D代表對獨立變量導數代表對獨立變量導數d/dt,Dn代代表對獨立變量的表對獨立變量的n階導數，階導數，例例 求求dy/dt=-ay的解的解解解 dsolve(Dy=-a*y)%得到通解。得到通解。dsolve(Dy=-a*y,y(0)=1)%給定給定了初始條件，求特解。方程和了初始條件，求特解。方程和 初始初始條件用逗號分開，都用單引號引起來。條件用逗號分開，都用單引號引起來。符號函數的二維圖形符

49、號函數的二維圖形（1 1）ezplot(fezplot(f):):繪制繪制f(xf(x)的圖形，的圖形，x x的范圍為的范圍為-2-2，22。如。如 ezplot(sin(xezplot(sin(x)。（2 2）ezplot(f,a,bezplot(f,a,b):):繪制繪制f(xf(x)的的圖形，圖形，x x的范圍為的范圍為aa，bb。如。如 ezplot(sin(x),0,9)ezplot(sin(x),0,9)。四、圖形處理四、圖形處理 圖形可視化是數學計算圖形可視化是數學計算人員所喜歡和追求的一項技人員所喜歡和追求的一項技術。把結果用圖形描述出來，術。把結果用圖形描述出來，便于理解、分

50、析。便于理解、分析。二維繪圖命令二維繪圖命令(1)plot(y):若若y是向量，就以向量的是向量，就以向量的索引為橫坐標，以向量的元素值為縱索引為橫坐標，以向量的元素值為縱坐標；坐標；(2)plot(x,y):一般來說是繪制向量一般來說是繪制向量y的的圖形，橫坐標為圖形，橫坐標為x的值，縱坐標為的值，縱坐標為y的的值。值。(3)plot(x,y,.):這里這里.表示用點線表示用點線顯示。顯示。二維繪圖命令二維繪圖命令(1)plot(y):若若y是向量，就以向量是向量，就以向量的索引為橫坐標，以向量的元素值的索引為橫坐標，以向量的元素值為縱坐標；為縱坐標；(2)plot(x,y):一般來說是繪制

51、向量一般來說是繪制向量y的圖形，橫坐標為的圖形，橫坐標為x的值，縱坐標為的值，縱坐標為y的值。的值。(3)plot(x,y,.):這里這里.表示用點線表示用點線顯示。顯示。例例x=-pi:0.1:pi y=sin(x)plot(y)hold on%保留上一個圖形保留上一個圖形 plot(x,y)plot(x,y+1,:r)說明：在說明：在plot(x,y,s)中圖形設置選項中圖形設置選項s的規定的規定.：點線；：點線；o:圓圈線；圓圈線；：實線；：實線；.：點劃線；：點劃線；：號線；：號線；：點線；：點線；：虛線；：虛線；x:x符號線；符號線；y:黃色；黃色；r:紅色；紅色；g：綠色：綠色如：

52、如：plot(x,y,:r)%繪出點線紅色繪出點線紅色圖形。圖形。例例x=0:0.1*pi:2*pi;y=sin(x);z=cos(x);plot(x,y,-k,x,z,-.r)%分別用虛分別用虛黑線和點劃紅線顯示兩條曲線。黑線和點劃紅線顯示兩條曲線。（4）polar(，r):畫出極坐標函畫出極坐標函數數r=r()的圖形的圖形例例cita=0:0.1*pi:4*pi;r=cita+sin(cita/2)polar(cita,r)三維圖形命令三維圖形命令（1）plot3(x,y,z):x,y,z為同維向量為同維向量時畫空間曲線，例畫出時畫空間曲線，例畫出x=sin(t),y=cos(t),x=t

53、，t0，10的圖形。的圖形。解解t=0:pi/50:10*pi;z=t,x=sin(t),y=cos(t),plot3(x,y,z)plot3(x,y,z+1,-r)（2）plot3(x,y,z):當當z=f(x,y),(x,y)為為xoy平面上的網格節點時，它平面上的網格節點時，它可以畫出空間曲面可以畫出空間曲面z=f(x,y)的圖的圖形。形。（3）mesh(x,y,z):畫出三維網格畫出三維網格圖。圖。（4）meshc(x,y,z):畫出三維網格畫出三維網格與等高線圖與等高線圖（5）meshz(x,y,z):增加邊界面屏增加邊界面屏蔽。蔽。(6)surf(x,y,z):與與mesh函數不函

54、數不同的是把圖形著色同的是把圖形著色,surfc與與meshc類似。例類似。例x,y=meshgrid(-2:0.1:2,-2:0.1:2);z=x.2+y.2;plot3(x,y,z)hold on meshc(x,y,z+8)，meshc(x,y,z+16)，mesh(z)與與mesh(x,y,z)的區別類的區別類似于似于plot(x)與與plot(x,y)的區別。的區別。（3）坐標軸標注）坐標軸標注xlable(標注標注)，ylable(標注標注)(4)標題標注標題標注title(標題標題)x=-pi:0.1*pi:pi，y=sin(x)plot(x,y)，v=-16,6,-1,2，ax

55、is(v)grid onxlabel(x-axis)，ylabel(y=sinx)title(正弦函數圖像正弦函數圖像)（5）圖形保持）圖形保持hold on/off:hold on是啟動圖形保持功能，在已存是啟動圖形保持功能，在已存在的一張圖中添加曲線，在的一張圖中添加曲線，hold off 是關閉圖形保持功能。是關閉圖形保持功能。（6）圖例標注）圖例標注legend(標注標注1，標注標注2，)例例x=0:0.1*pi:2*pi;y=sin(x);z=cos(x);plot(x,y,-*)hold on plot(x,z,-o)plot(x,y+z,-h)legend(y=sinx,z=co

56、sx,y+z=sinx+cosxhold off%關閉圖形保持關閉圖形保持(7)子圖子圖subplot(m,n,p):其功能其功能是把一個圖形分成是把一個圖形分成mn個小圖個小圖形窗口，通過參數形窗口，通過參數p調用各子調用各子窗口進行操作。例窗口進行操作。例x=0:0.1*pi:2*pi;y=sin(x);z=cos(x);subplot(2,2,1),plot(x,y,-*)subplot(2,2,2),plot(x,z,-o)subplot(2,2,3),plot(x,y+z,-h)subplot(2,2,4),plot(x,y-z,-x)圖形處理技術圖形處理技術（1）坐標軸控制函數）坐

57、標軸控制函數axis（v）:對對二維圖形二維圖形v=a,b,c,d,其中其中a,b和和c,d分別為分別為x軸和軸和y軸的范圍；對軸的范圍；對于三維圖形于三維圖形v=a,b,c,d,e,f分別給出分別給出x,y和和z軸的范圍。例軸的范圍。例 (2)平面坐標網格函數平面坐標網格函數grid on/off:作用是平面圖形帶有網格和取消網作用是平面圖形帶有網格和取消網格。格。五、程序設計五、程序設計MATLAB作為一種高級計算語言，作為一種高級計算語言，不僅可以做如上所講的那些工作，不僅可以做如上所講的那些工作，還可以像還可以像basic,fortran,c等其它等其它高級計算機語言一樣進行程序設高級

58、計算機語言一樣進行程序設計，即編制以計，即編制以m為擴展名的文本為擴展名的文本文件（簡稱文件（簡稱M文件）。文件）。M文件的形式文件的形式(1）命令式（）命令式（script）：命令式文）：命令式文件就是命令行的簡單疊加，件就是命令行的簡單疊加，MATLAB就會自動按順序執行文就會自動按順序執行文件中的命令，這樣就可以避免在件中的命令，這樣就可以避免在命令窗口運行許多命令的麻煩和命令窗口運行許多命令的麻煩和重復行工作，也便于修改。重復行工作，也便于修改。例例%sinfig.m x=-pi:0.1*pi:pi；y=sin(x)；plot(x,y)；hold on;plot(y,x)(2)函數式（

59、函數式（function）：他主要）：他主要解決參數傳遞和函數調用問題，解決參數傳遞和函數調用問題，它的第一句以它的第一句以function語句為語句為引導。引導。例例 f.m 文件名與函數名必須文件名與函數名必須一致一致 function f(x)f=2*x2+4*x+6 在命令窗口中輸入：在命令窗口中輸入：f(0),f(10)可可以看出結果。以看出結果?？刂普Z句控制語句（1）循環語句）循環語句 （a）for循環：例循環：例 s=0;for k=1:1:10%初始值、步長和最大初始值、步長和最大限值限值 s=s+k;end 循環結束標志循環結束標志（b）while循環：例循環：例 s=0;k

60、=0;while k=9 k=k+1;s=s+k;end s（c）ifelse選擇語句：例選擇語句：例 編寫分段函數編寫分段函數f(x)=x,(-1=x0);f(x)=x2,(0=x=-1&x=-1&x=0&x=1，y=x2;else,f=0 end在命令窗口中輸入在命令窗口中輸入f(1),(3)可以得到結可以得到結果。果。例例 已知已知n=n=自己的真實學號，在自己的真實學號，在xoyxoy平面平面有點有點 A Ai i=(i,0)=(i,0)B Bi i=(=(i,ni,n)(i=0,1,2,(i=0,1,2,n),n)現要畫連接現要畫連接A Ai iB Bj j的線段的線段(i,ji,j

61、=0,1,=0,1,n)n)，試給出其，試給出其MAT LABMAT LAB程序。程序。解解 現就學號為現就學號為6 6，給出其程序如下：，給出其程序如下：n=6;x=0:n;y=0:n;for i=1:7for j=1:7 if i=j plot(x(i)*ones(size(y),y);xlabel(x);ylabel(y);title(AiBj的連線的連線)v=0,n,0,n;axis(v)hold on;else a=min(x(i),x(j);b=max(x(i),x(j);X1=a:0.1*(b-a):b;Y1=-n/(x(i)-x(j)*(X1-x(i);%連接連接AiBj的直線

62、的直線 plot(X1,Y1);end endend作業：在上題的基礎上，再加上點作業：在上題的基礎上，再加上點 Ci=(0,i),Di=(n,i)(i=0,1,2,(i=0,1,2,n),n)現要畫連接現要畫連接AiBjAiBj和和CiBjCiBj的線段的線段(i,ji,j=0,1,=0,1,n),n)，試給出其，試給出其MAT MAT LABLAB程序。把運行結果得到的圖像，程序。把運行結果得到的圖像，存放到存放到WORDWORD文件，文件名字取為：文件，文件名字取為：真實姓名真實姓名_ _真實學號，然后發送到真實學號，然后發送到信箱信箱::六、主要命令匯總六、主要命令匯總1、常用信息、常

63、用信息help:在線幫助（顯示在命令窗）。在線幫助（顯示在命令窗）。helpwin:在線幫助（獨立窗口顯示）。在線幫助（獨立窗口顯示）。ver:MATLAB及工具箱的版本信息。及工具箱的版本信息。2、管理工作區命令、管理工作區命令who:顯示當前變量。顯示當前變量。whos:顯示當前變量具體信息。顯示當前變量具體信息。clear:從內存中清楚變量和函數。從內存中清楚變量和函數。quit:退出退出MATLAB。3、管理命令和函數、管理命令和函數what:顯示當前目錄下的顯示當前目錄下的MATLAB 文件。文件。edit:編輯編輯M文件。文件。edit(建立編輯新建立編輯新 文文 件件);edit

64、文件名文件名(編輯已有編輯已有 的文件的文件)。which:找出函數和文件的位置。找出函數和文件的位置。type:顯示顯示M文件內容。文件內容。Type+文件文件 名。名。Inmem:顯示內存中的函數。顯示內存中的函數。4、操作系統命令、操作系統命令dir:顯示目錄。顯示目錄。pwd:顯示當前工作目錄。顯示當前工作目錄。delete:刪除文件。刪除文件。Delete+文件名。文件名。web:打開頁面瀏覽器加載文件。打開頁面瀏覽器加載文件。5、數據類型、數據類型double:雙精度類型。雙精度類型。char:字符數組或字符串。字符數組或字符串。uint8:無符號無符號8位整數（位整數（unsig

65、ned integer）6、數據基本操作、數據基本操作max:最大元素。向量為數，矩陣為最大元素。向量為數，矩陣為向量向量min:最小元素。類似最小元素。類似max.mean:求平均值。求平均值。mean(a),a為向量為向量 時得到向量平均值，結果為一時得到向量平均值，結果為一 個數；個數；a為矩陣時，進行每列為矩陣時，進行每列 平均，得到一個向量。平均，得到一個向量。sum:元素和。元素和。sum(a),a為向量時得為向量時得 到該向量各元素之和，結果為一到該向量各元素之和，結果為一 個數；個數；a為矩陣時，進行每列為矩陣時，進行每列 求和，得到一個向量。求和，得到一個向量。prod:元素

66、積。元素積。prod(a)當當a為向量和為向量和 矩陣時的情況，類似于矩陣時的情況，類似于max(a)。cumsum:元素累和。元素累和。cumsum(a),a 可為向量，也可為矩陣?？蔀橄蛄?，也可為矩陣。cumprod:元素累積。元素累積。a可為向量，可為向量，也可為矩陣。也可為矩陣。7、基本矩陣函數、基本矩陣函數zeros:零矩陣函數。零矩陣函數。ones:全全1矩陣。矩陣。eye:單位矩陣。單位矩陣。rand:隨機數、向量、矩陣隨機數、向量、矩陣.linspace:線性等分向量。線性等分向量。8、基本數組操作、基本數組操作size:矩陣大小。矩陣大小。length:數組長度。數組長度。isempty:判斷是不是空矩陣。判斷是不是空矩陣。isequal:判斷數組是否相等。判斷數組是否相等。isequal(a,b)。isnumeric:判斷是否為數值矩陣。判斷是否為數值矩陣。reshape:矩陣重置。矩陣重置。tril:抽取下三角部分。抽取下三角部分。triu:抽取上三角部分。抽取上三角部分。fliplr:左右方向翻轉矩陣。左右方向翻轉矩陣。flipud:上下方向翻轉矩陣。上下方向翻