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1、第六章,彎曲變形,§6-1 工程中的彎曲問題 撓度和轉角,一、度量彎曲變形的物理量,A,B,C,C`,B`,y,P,y,x,1、,撓曲線,：,梁變形后的軸線,2、撓度：,軸線上各點在垂直于變形前軸線方向的線位移,撓曲線方程,θ,3、轉角：,各橫截面繞著各自的中性軸轉動的角度,轉角方程,4、撓度和轉角的關系：,因為是小變形,撓曲線在某處的一階導數就等于梁對應截面的轉角,5、撓度和轉角的符號：,以梁的左端點為原點；,X,軸水平向右為正；,Y,軸豎直向上為正；,坐標系的選?。?撓度：向上為正；向下為負,轉角：從變形前到變形后，,,逆時針轉動為正；順時針轉動為負,二、梁撓曲線的近似微分方程,（
2、純彎曲）,（,橫力彎曲,）,中性層的曲率半徑,若撓曲線作為一條平面曲線已確定，其曲率半徑為：,由于軸線就在中性層上，,,所以撓曲線的曲率半徑和撓曲線的曲率半徑相等,M,M,M > 0,,y’’ > 0,y,x,M < 0,,y’’ < 0,M,M,y,x,撓曲線的近似微分方程,可知,：,M,與 符號相同,積分一次得：,再次積分得：,其中：,C, D,為積分常數，由梁的邊界條件和連續條件確定；,§6-3 用積分法求彎曲變形,轉角方程,撓曲線方程,若梁的,EI,在整個長度范圍內為常量，可以將其提到積分號以外；,積分定解條件,1、邊界條件,邊界條件是指約束對于撓度和轉角的限制：,1）,在
3、固定鉸支座和輥軸支座處，,約束條件為撓度等于零：,y=0；,2）,在固定端處，,約束條件為撓度和轉角都等于零：,y=0，,θ,＝0；,3）若結構對稱,，載荷對稱，則變形對稱，,于是對稱截面的撓度=0；,4）若結構對稱,，載荷反對稱，則變形反對稱，,于是對稱截面的轉角=0；,例1：懸臂梁,z,y,,y,x,x,邊界條件,R,A,R,B,l,a,b,P,A,C,B,例2：簡支梁,邊界條件,例3：具有彈簧約束的簡支,,梁，設彈簧剛度為,k,邊界條件,R,A,R,B,l,a,b,P,A,C,B,2、連續條件：,撓曲線是一條光滑連續的曲線；,撓曲線上的任一點，具有唯一確定的撓度和轉角；,彎曲剛度條件：,
4、例：,計算圖示懸臂梁的最大轉角和撓度。梁的抗彎剛度為,EI,z,。,解：,1)梁的彎矩方程,z,y,,y,x,x,2)梁的近似撓曲線微分方程,3)積分計算位移,一次積分：,再次積分：,4)由邊界條件確定積分常數：,由：,由：,4）計算最大轉角和撓度,q,l,R,A,R,B,例：,計算圖示簡支梁的最大轉角和撓度。梁的抗彎剛度為,EI,z,。,解,：（1）支反力,2)梁的彎矩方程,3)梁的近似撓曲線微分方程,4)積分計算位移,一次積分：,再次積分：,5)由邊界條件確定積分常數：,邊界條件（,a）,邊界條件（,b）,6）計算最大轉角和撓度,由于變形對稱：,根據撓度和轉角的關系：,在轉角等于0處，撓度
5、取極值；,解：,R,A,R,B,l,a,P,b,例：,計算圖示簡支梁的最大轉角和撓度。梁的抗彎剛度為,EI,z,。,（1）支反力,2)列梁的彎矩方程,3)梁的近似撓曲線微分方程,AC段,CB段,4)由積分定解條件確定積分常數：,邊界條件:,連續條件:,P,a,b,A,B,C,a>b,時，極值點在,AC,段：,a=b,時，極值點在,C,點,注意：可以證明，當載荷,P,向某一支座靠近時，梁內最大撓度的位置趨近于,L/√3,=,0.577L,，,很接近,梁中點位置。,因此，工程中可近似用,梁中點位置的撓度代替最大撓度。,5）計算最大轉角和撓度,最大轉角,應發生在兩端截面；,最大撓度,應發生在轉角等于
6、0的截面；,例：具有中間鉸鏈約束的懸臂—簡支梁,邊界條件,q,a,b,A,C,B,連續條件,分析：需要分成兩部分，因此有4個待定的積分常數,l,計算圖示懸臂梁自由端截面的撓度和轉角。,解：1)梁的彎矩方程,AC,段：,CB,段：,2)梁的近似撓曲線微分方程,AC段,CB段,3)由積分定解條件確定積分常數：,邊界條件:,連續條件:,4)計算自由端的撓度轉角：,l,解：1)梁的彎矩方程,AC,段：,2)梁的近似撓曲線微分方程,3)由邊界條件確定積分常數：,5)計算,C,截面撓度轉角：,4）,AC,段：,6)計算自由端的撓度轉角：,用這種方法求變形時，先求大小，再判斷符號；,積分法求解變形的優點：,
7、對于整個梁，我們可以求解處完整的轉角方程和撓曲線方程，利用這兩個方程可以求解任一截面的轉角和撓度；,積分法求解變形的缺點：,如果梁上的載荷或支座比較復雜，列彎矩方程時就要分若干段，每一段積分出現2個積分常數，則積分常數的確定就是一件非常繁瑣的工作；,§7-4 用疊加法求彎曲變形,P,2,A,,B,,P,1,A,,B,,P,1,P,2,A,,B,,=,+,在,小變形,和,材料滿足胡克定律,的前提下,撓曲線的近似微分方程是,線性方程,微分方程的解可以,疊加,梁在幾種載荷共同作用下引起的總變形就等于,,梁在每種載荷分別單獨作用下引起的變形的代數和；,在計算每種載荷單獨作用引起的變形時，可以查書,P
8、200,頁的表格,解：,例1 求梁的撓度和轉角，,y,c,,,?,A,。,,a,a,P =,q a,A,B,q,C,,a,a,A,B,,q,C,,,a,a,A,B,,C,,P,=,+,在查書,P200,的表格時，一定要保證題中梁的種類與載荷的種類與表中的對應情況一致，,,而且還要注意必要的符號判斷；,作業,：,,6-2（,a）（c）（d）,,6-4,,6-6,在分段的交界處，由于連續性，兩段方程在,一截面的撓度和轉角相等,。,R,A,R,B,l,a,b,P,A,C,B,連續條件,例4：簡支梁,例,7-1 求下列各梁的撓曲線方程及最大撓度和轉角,解：,彎矩方程,邊界條件,：,,q,l,EI,z,x,小結：,y,x,P,A,B,y,撓曲線，,y= y(x),拉壓變形：,?,l,扭轉變形：,?,彎曲變形,截面形心的豎向位移,y,撓度,轉角,截面繞中性軸轉過的角度,?,y,,(,x,),,撓曲線方程,?,(,x,),,轉角方程,彎曲變形：,1、梁變形的特征,公式應用的條件:,1)材料服從虎克定律；,,2)小變形，忽略剪力對撓度的影響；,小結：,,2、撓曲線近似微分方程,
彎曲變形-積分法
