彎曲應力-正應力及強度條件

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1、第五章,彎曲應力,§5,-1 梁彎曲時的正應力,梁的,橫截面具有對稱軸,，,對稱軸與軸線組成,縱向對稱面,，,,如果所有的,外載荷都作用在縱向對稱平面內,，,,梁的軸線在,縱向對稱平面內彎曲成一條平面曲線,。,平面彎曲：,P,P,P,,彎曲內力,彎矩,剪力,由正應力構成,由剪應力構成,M,Pa,P,P,Q,橫力彎曲,純彎曲,a,,a,,,P,P,x,,y,,A,B,C,D,AB,段和,CD,段：,BC,段：,梁純彎曲時的正應力,一、變形觀察,1. 橫向線仍為直線,但相對轉動,;,2. 縱向線由直線變成曲線,有的伸長,有的縮短;,3. 縱向線與橫向線仍然互相垂直。,dx,n,1,m,1,m,2

2、,n,2,o,1,a,1,a,2,b,1,b,2,o,2,m,1,n,1,m,2,n,2,a,1,a,2,o,1,o,2,M,M,b,1,b,2,二、平截面假設：,原為平面的橫截面在彎曲變形后仍然保持平面，而且仍然與變形后的軸線垂直；,,z,y,4.彎曲變形坐標系的建立:,,,X,軸,沿著梁的軸線方向;,,,Y，Z,軸確定橫截面;,,中性軸用,Z,軸,表示;,,橫截面的對稱軸用,Y,軸,表示,三、中性層，中性軸：,dx,n,1,m,1,m,2,n,2,o,1,a,1,a,2,b,1,b,2,o,2,m,1,n,1,m,2,n,2,a,1,a,2,o,1,o,2,M,M,b,1,b,2,1.既不

3、伸長又不縮短的纖維層稱為,中性層,2.中性層與橫截面的交線稱為,中性軸;,見書,P143-,圖5.3,3.中性軸與橫截面的對稱軸,一定垂直;,5.中性層將梁分為兩部分,中性層一側纖維伸長,另一側纖維縮短,,梁在發生彎曲變形時,,橫截面都繞著各自的中性軸做輕微地轉動;,,,6.縱向纖維之間無擠壓;,z,y,y,b,b,1、幾何關系,m,1,m,2,n,1,n,2,M,M,a,1,a,2,b,1,b,2,o,1,o,2,四、正應力公式推導,y,dx,n,1,m,1,m,2,n,2,o,1,a,1,a,2,b,1,b,2,o,2,縱向纖維的線應變與它到中性層的距離成正比,2、物理關系：,任意縱向纖維

4、的正應力與它到中性層的距離成正比;,橫截面上的正應力沿截面高度成直線規律變化;,橫截面上任一點的正應力與該點到中性軸的距離成正比;,中性軸通過形心,2),Y,軸,如果不是對稱軸,,yz,為形心主慣性軸,3、平衡條件：,x,z,y,M,構成空間平行力系,σ,dA,梁的軸線位于中性層上,1),Y,軸是對稱軸，所以這個條件自動滿足；,3)梁,發生平面彎曲的條件:,,,外力位于形心主慣性平面內,?,的正負號，通常是根據變形來判斷;,x,z,y,M,σ,dA,梁的抗彎剛度,說明：,① 同一截面上，部分受拉，部分受壓；,,,M,為正：下拉上壓；,M,為負：上拉下壓;,②公式適用范圍：,a.,彈性范圍；,b

5、.,載荷作用在形心主慣性平面內,M:,是該點所在橫截面的彎矩,是該點所在橫截面對中性軸的慣性矩,y:,是該點到中性軸的距離,a,a,,P,P,y,解:,豎放時,求:(1)中點截面豎放時距離中性層20,mm,,,處的正應力和最大正應力,??,max,;,,(2),中點截面橫放時的最大正應力,???,max,,橫放時,例： 圖示簡支梁,,已知:,a=180mm,,,P=5kN,,,截面為,b,?h=30 ?60mm,2,的矩形,b,h,20,§5-3 梁彎曲的強度計算,1、純彎曲正應力可以推廣到橫向彎曲,,,以上有關純彎曲的正應力的公式，,對于橫力彎曲的情形，如果是細長桿，也可以近似適用,。理論與

6、實驗結果都表明，在橫力彎曲時，由于剪應力的存在，梁的橫截面在彎曲之后將不再保持平面，而是要發生翹曲，但對于細長梁，這種翹曲對正應力的是很小的。通常都可以忽略不計。,,2. 取定截面上的最大應力,（在距中性軸最遠的上下邊緣點）,中性軸為對稱軸：,— 抗彎截面模量,（,m,3,）,中性軸為非對稱軸:,矩形截面,：,實心圓截面,：,4. 強度條件：,— 彎曲容許正應力,應用：,①強度校核：,②設計截面：,③計算承載力：,3. 全梁最大正應力：,對等截面梁而言：,對,變截面梁而言：,在彎矩為最大的截面上距中性軸最遠的上下邊緣各點,在某一個截面上距中性軸最遠的上下邊緣各點,若,材料的抗拉壓性能相同，校

7、核絕對值大的應力；,,若材料的抗拉壓能力不同，則須分別校核；,例：,選擇工字鋼型號。,已知：,P,2,P,1,l/3,l/3,l/3,38,34,M,圖,(,kN,·m),（2）畫彎矩圖，確定,（3）根據強度條件計算,W,z,解：,19,kN,17,kN,（1）求約束反力；,（3）查表：,如果:,W,z,,小于計算值，驗算,?,max,，,不超過,[,?,],的,5%,，,工程上允許,。,例：,圖示結構的最大拉應力發生在梁的哪點上？,z,y,1,y,2,中性軸,已知：,D,P,1,=24kN,P,2,=9kN,20,cm,30,cm,30,cm,B,C,A,P369,選,20,a,,1.8,2

8、.7,D,B,C,A,M(,kN,·m),分析：,z,y,1,y,2,中性軸,P,1,=24kN,P,2,=9kN,20,cm,30,cm,30,cm,B,C,A,最大拉應力發生在,B,截面上邊緣,C,截面：,彎矩為正,最大拉應力：,最大壓應力：,B,截面：,彎矩為負,最大拉應力：,最大壓應力：,最大壓應力發生在,C,截面的上邊緣,畫彎矩圖,D,1.8,2.7,B,C,A,M(,kN,·m),注:,,對于在橫截面上，中性軸不是對稱軸的梁,，,,即便是等截面直梁，最大正彎矩和最大負彎矩截面都,,是危險截面；,z,y,1,y,2,中性軸,P,1,=24kN,P,2,=9kN,20,cm,30,cm,30,cm,B,C,A,最大拉應力發生在,B,截面上邊緣,最大壓應力發生在,C,截面的上邊緣,見書,P162-,例5-7,習題,《,材料力學》,5-4，5-5，5-8，5-11,