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1、對于,線性系統,，各變量是關于系統的線性函數。,,則其,解可以線性疊加,。,P,2,A,,B,,P,1,A,,B,,P,1,P,2,A,,B,,=,+,1,、疊加法（,superposition method,）,的基本概念,如果方程,和,均為,線性,則：,§,6-4,用,疊加法求彎曲變形,基于桿件變形后其軸線為一光滑連續曲線和位移是桿件變形累加的結果這兩個重要概念，以及在小變形條件下的力的獨立作用原理，采用疊加法（,superposition method,）,由現有的撓度表可以得到在很多復雜情形下梁的位移。,2,、疊加法求彎曲變形,當梁上受有幾種不同的載荷作用時，都可以將其分解為各種載荷單
2、獨作用的情形，由撓度表查得這些情形下的撓度和轉角，再將所得結果疊加后，便得到幾種載荷同時作用的結果。,解：,例,1,求梁的撓度和轉角，,y,c,,,?,A,。,,a,a,P =,q a,A,B,q,C,,a,a,A,B,,q,C,,,a,a,A,B,,C,,P,=,+,例,2,求圖示懸臂梁的,y,c,組合方法一：,增減載荷法,C,A,B,C,B,A,C,（,1,）,C,B,（,2,）,將桿件系統分解為,n,段，分,n,次變形。假設每次只有一段變形，其它段均作為剛性處理（可以使用剛性體的力學原理），然后進行疊加，求得變形量。,組合方法二：,逐段剛化法,方法：,先假設,BC,段,剛性,，,只有,A
3、B,段變形,再考慮,BC,段的變形,( AB,段剛性,),A,B,C,B,A,C,C,A,B,=,+,牽帶,位移,例,3,求圖示懸臂梁的,y,c,組合方法三：,等價積分法,積分,A,B,C,C,x,,dx,例,4,求圖示懸臂梁的,y,c,先取微分長度，形成微集中力,dP,=,qdx,，,代換后知：,B,A,P,例,5,求圖示簡支梁的,y,C,P,A,B,C,EI,2EI,解：,P,A,B,C,組合方法四：,等價懸臂梁法,(,僅適合簡支梁受到對稱荷載,),由于對稱：梁在,C,點的轉角為,0,，可以視為一懸臂梁在,C,點固定，在,A,點受集中力作用。,A,點所產生的位移恰好與,C,點,的位移數值相
4、同。,A,注意：一般已經給出懸臂梁法受集中力,(,力偶,),作用所產生的位移和轉角，即：,B,A,P,=,+,B,A,M,A,a,a,A,a,a,M=a*P/2,A,a,a,A,,B,,A,,B,,P,=,+,組合方法五：,利用對稱性,(,僅適合求簡支梁中點位移,),從數學知識，任何實矩陣都可以分解為對稱矩陣和反對稱矩陣之和的形式,: [ F ]= [ F ],symm,,+ [ F ],antisymm,,,對于軸對稱的結構,,,力也可以同樣分解,.,例如,P/2,P/2,P/2,P/2,例,6,：已知,懸臂梁受集中力作用所產生的端部位移和轉角。,求圖示梁在中點的撓度，,f,c,=,
5、+,A,,B,,P/2,P/2,P/2,P/2,a,A,,B,,P,a,a/2,C,,在對稱力,P/2,和支座反力,P/2,作用下，中截面的的撓度,f,c,可以用端部的撓度,f,B,表示,B,C,D,B,A,P,§,6-5,簡單的靜不定梁,與桿件,靜不定問題的解題方法類似，,除了平衡方程外，還需要建立變形協調方程（,compatibility equation,）,,,并建立力與位移或變形之間的物理關系，即物理方程或稱本構方程（,constitutive equations,）。,解靜不定梁,基本步驟：,2,、建立,平衡方程,3,、針對原,冗余約束條件，,建立變形協調方程,4,、按照彎曲變形的
6、公式建立,物理方程,1,、選定并解除冗余約束，代之以多余約束反力，形成,基本靜定基,。（注意：,基本靜定基的形式并不唯一。,）,5,、聯立求解,平衡方程、,物理方程和,變形協調方程。解得,多余約束反力,例8,求,:,梁的約束力,已知：,A,端固定、,B,端鉸支梁的彎曲剛度為,EI,、,長度為,l,。,B,A,l,q,解：,1,、平衡方程,:,Y,A,+Y,B,-,ql,=,0,X,A,=,0,B,M,A,Y,A,X,A,Y,B,A,l,q,3,、物理方程：,2,、變形協調方程：,,,y,B,=,y,B,(,q,)+,y,B,(,F,By,)=0,y,B,(,q,)=,ql,4,/,（,8,EI
7、,）,,y,B,(,F,By,)= -,Y,b,l,,3,/,（,3,EI,）,l,y,B,(,Y,B,),B,Y,B,A,B,M,A,Y,A,X,A,Y,B,,A,l,q,y,B,(,q,),B,l,q,=,+,解：,4,、綜合求解,Y,A,+Y,B,-,ql,=,0,X,A,=,0,y,B,=,y,B,(,q,)+,y,B,(,Y,B,)=0,由平衡方程、變形協調方程、物性關系聯立解出,:,y,B,(,q,)=,ql,4,/,（,8,EI,）,,y,B,(Y,B,)= -,Y,b,l,,3,/,（,3,EI,）,Y,B,=,3,ql /,8 ,,X,A,=,0 ,,M,A,=,ql,2
8、,/,8,Y,A,=,5,ql /,8 ,,B,M,A,Y,A,X,A,Y,B,,A,l,q,強度：正應力：,剪應力：,剛度：,穩定性：,都與內力和截面性質有關。,§,6-6,提高彎曲剛度的一些措施,一、選擇梁的合理截面,矩形木梁的合理高寬比,北宋李誡于,1100,年著,?,營造法式,,?,一書中指出,:,,矩形木梁的合理高寬比,(,h,/,b,= ),1.5,英,(,T.Young,),于,1807,年著,?,自然哲學與機械技術講義,,?,一書中指出,:,,矩形木梁的合理高寬比 為,R,b,h,請記?。寒斄荷舷聦ΨQ時，,,強度與抗彎截面模量,W,z,相關；剛度與慣性矩,I,z,相關,。,合
9、理截面,1,、在面積相等的情況下，選擇抗彎模量大的截面,z,D,z,a,a,例如：以圓形截面為基準，在面積相等的情況下，比較其它截面,對于正方形,z,D,0.8,D,圓環形,截面,a,1,2,a,1,z,矩形,截面,工字形截面與框形截面類似。,0.8,a,2,a,2,1.6,a,2,2,a,2,z,框形截面,顯然：,工字形、槽形截面比矩形截面合理，,,矩形截面比圓形截面合理。,對于抗拉和抗壓不相同的脆性材料最好選用關于中性軸不對稱的截面,2,、根據材料特性選擇截面,二、采用變截面梁,最好是等強度梁，即,若為等強度矩形截面，則高為：,同時,P,x,在工程應用中則廣泛采用變截面梁，如：在機械工廠中
10、，行車多采用魚腹梁形狀。,三、合理布置外力（包括支座），使,M,,max,,盡可能小,,P,,L/,2,L/,2,M,x,+,PL/,4,,P,,L/,4,3,L/,4,M,x,3,PL/,16,,P=qL,,L/,5,4,L/,5,,對稱,M,x,qL,2,/,10,M,x,q,,L,L,/5,q,,L,/5,40,2,qL,50,2,qL,-,M,x,q,,L,/2,L,/2,x,32,2,qL,-,M,四、防止薄壁梁的側向屈曲,1.,矩形純彎梁的臨界載荷,L,M,M,x,y,z,2.,工字鋼形截面純彎梁的臨界載荷,L,M,M,x,y,z,h,,由上可見，,I,y,過小時，,雖然強度和剛度
11、較高，但側向失穩的可能性卻增大了，,這點應引起注意。,五、選用高強度材料，提高許用應力值,同類,材料,，,如,鋼材,“,E,”,值相差不多,，,“,?,s,”,相差較大,，,故換用同類材料只能提高強度，不能提高剛度和穩定性,。,,,,不同類材料，,E,和,G,都相差很多（鋼,E,=,200GPa,,,銅,E,=,100GPa,），,故可選用不同的材料以達到提高剛度和穩定性的目的,。,但是，改換材料，其,原料費用,也會隨之發生很大的改變！,?,剛度設計舉例,,對于主要承受彎曲的零件和構件，剛度設計就是根據對零件和構件的不同工藝要求，將最大撓度和轉角,(,或者指定截面處的撓度和轉角,),限制在一定
12、范圍內，即滿足彎曲剛度設計準則,(criterion for stiffness design),：,上述二式中,?,w,?,和,?,?,?,分別稱為許用撓度和許用轉角，均根據對于不同零件或構件的工藝要求而確定。,已知：鋼制圓軸，左端受力為,F,P,，,F,P,＝,20,kN,，,a,＝,l m,，,l,＝,2 m,，,E,=206,GPa,，,其他尺寸如圖所示。規定軸承,B,處的許用轉角,?,θ,?,=0.5°,。,試：根據剛度要求確定該軸的直徑,d,。,解：根據要求，所設計的軸直徑必須使軸具有足夠的剛度，以保證軸承,B,處的轉角不超過許用數值。為此，需按下列步驟計算。,B,解：根據要求，所設計的軸直徑必須使軸具有足夠的剛度，以保證軸承,B,處的轉角不超過許用數值。為此，需按下列步驟計算。,1,．查表確定,B,處的轉角,,由撓度表中查得承受集中載荷的外伸梁,B,處的轉角為,B,1,．查表確定,B,處的轉角,,由撓度表中查得承受集中載荷的外伸梁,B,處的轉角為,B,2,．根據剛度設計準則確定軸的直徑根據設計要求,B,2,．根據剛度設計準則確定軸的直徑根據設計要求，,其中，,?,的單位為,rad,（,弧度），而,?,θ,?,的單位為（,°,）（度），考慮到單位的一致性，將有關數據代入后，得到軸的直徑,作業,,,6-18(a), 6-21,，,6-24,本章結束,
用疊加法求彎曲變形
