線性系統的穩定性分析

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1、單擊此處編輯母版標題樣式,,,*,單擊此處編輯母版文本樣式,,第二級,,第三級,,第四級,,第五級,,目錄(1/1),目 錄,,,概述,,5.1,李雅普諾夫穩定性的定義,,5.2,李雅普諾夫穩定性的基本定理,,5.3,線性系統的穩定性分析,,5.4,非線性系統的穩定性分析,,5.5 Matlab,問題,,,本章小結,,5.3,線性系統的穩定性分析,,,本節主要研究李雅普諾夫方法在線性系統中的應用。,,討論的主要問題有:,,基本方法,: 線性定常連續系統的李雅普諾夫穩定性分析,,矩陣李雅普諾夫方程的求解,,線性時變連續系統的李雅普諾夫穩定性分析,,線性定常離散系統的李雅普諾夫穩定性定理及穩定性分

2、析,李雅普諾夫方法在,線性系統的應用,(1/2),,由上節知,,,李雅普諾夫第二法是分析動態系統的穩定性的有效方法,,,但具體運用時將涉及到如何選取適宜的李雅普諾夫函數來分析系統的穩定性。,,由于各類系統的復雜性,,,在應用李雅普諾夫第二法時,,,難于建立統一的定義李雅普諾夫函數的方法。,,目前的處理方法是,,,針對系統的不同分類和特性,,,分別尋找建立李雅普諾夫函數的方法。,李雅普諾夫方法在,線性系統的應用,(,2/2),,本節將討論對線性系統,,,包括,,線性定常連續系統,、,,線性時變連續系統,和,,線性定常離散系統,,,,如何利用李雅普諾夫第二法及如何選取李雅普諾夫函數來分析該線性系統

3、的穩定性。,李雅普諾夫方法在線性,系統的應用,(,3/2),,5.3.1,線性定常連續系統的穩定性分析,,,設線性定常連續系統的狀態方程為,,x,’,=,A,x,,這樣的線性系統具有如下特點:,,1),,當系統矩陣,A,為非奇異時,,,系統有且僅有一個平衡態,x,e,=0,,即為狀態空間原點;,,2),若該系統在平衡態,x,e,=0,的某個鄰域上是漸近穩定的,,,則一定是大范圍漸近穩定的;,,3),對于該線性系統,,,其李雅普諾夫函數一定可以選取為二次型函數的形式。,線性,定常連續系統的李雅普諾夫穩定性,分析,(1,/21),,上述第(3)點可由如下定理中得到說明。,,,定理,5-7,,線性定

4、常連續系統,,x,’,=,A,x,,的平衡態,x,e,=0,為漸近穩定的充要條件為:,,對任意給定的一個正定矩陣,Q,,,都存在一個正定矩陣,P,為矩陣方程,,PA,+,A,?,P,=-,Q,,的解,,,并且正定函數,V,(,x,)=,x,?,P,x,即為系統的一個李雅普諾夫函數。,□,線性定常連續,系統的李雅普諾夫穩定性,分析,(2,/21)—,定理,5-7,,證明,(1) 先證充分性。,,即證明,,,若對任意的正定矩陣,Q,,,存在正定矩陣,P,滿足方程,,PA,+,A,?,P,=-,Q,,,,則平衡態,x,e,=0,是漸近穩定的。,,證明思路：,線性定常連續,系統的李雅普諾夫穩定性,分析

5、,(3,/21),由于,P,正定,,,選,,擇正定函數,V,(,x,)=,x,?,P,x,為李,,雅普諾夫函數,計算李雅普諾夫函數,V,(,x,)對時間,t,的,全導數,V,’,(,x,),通過判定,V,’,(,x,)的定號性來判定平衡態,x,e,的穩定性,,線性定常連續系統的李雅普諾夫穩定性,分析,(4,/21),證明過程為：,,已知滿足矩陣方程,,PA,+,A,?,P,=-,Q,,的正定矩陣,P,存在,,,故令,,V,(,x,)=,x,?,P,x,.,,由于,V,(,x,),為正定函數,,,而且,V,(,x,),沿軌線對時間,t,的全導數為,,V,’,(,x,)=,(,x,?,P,x,),

6、’,,=,x,?,’,P,x,+,x,?,P,x,’,,=(,A,x,),?,P,x,+,x,?,P,a,x,,=,x,?,(,A,P,+,P,A,),x,,=-,x,?,Q,x,,而,Q,為正定矩陣,,,故,V,’,(,x,),為負定函數,,根據,漸近穩定性定理,(,定理,5-4,),,即證明了系統的平衡態,x,e,=0,是漸近穩定的,,,于是充分性得證。,,,(2) 再證必要性。,,即證明:若系統在,x,e,=0,處是漸近穩定的,,,則對任意給定的正定矩陣,Q,,,必存在正定矩陣,P,滿足矩陣方程,,PA,+,A,?,P,=-,Q,,證明思路：,,由正定矩陣,Q,構造滿足,矩陣方程,,PA

7、,+,A,?,P,=-,Q,,的正定矩陣,P,。,線性定常連續系統的李雅普諾夫穩定性,分析,(5,/21),,證明過程為,：,,對任意給定的正定矩陣,Q,,構造,矩陣,P,如下,線性定常連續系統的李雅普諾夫穩定性,分析,(6,/21),由矩陣指數函數,e,At,的定義和性質知,,,上述被積矩陣函數的各元素一定是具有,t,k,e,?,t,形式的諸項之和,,,其,?,是,A,的特征值。,,因為系統是漸近穩定的,,,則矩陣,A,的所有特征值,?,的實部一定小于零,,,因此上述積分一定存在,,,即,P,為有限對稱矩陣。,,線性定常連續系統的李雅普諾夫穩定性,分析,(7,/21),又由于,,Q,正定,,

8、,,矩陣指數函數,e,At,可逆,,,,則由方程(,5-15),可知,,,P,為有限的正定矩陣。,,因此,,,P,為正定矩陣。,,線性定常,連續系統的李雅普諾夫穩定性分析,(8,/21),將矩陣,P,的表達式(,5-15),代入矩陣方程,,PA,+,A,?,P,=-,Q,,可得:,因此,,,必要性得證。,,線性定常,連續系統的李雅普諾夫穩定性分析,(9,/21),上述定理給出了一個判別線性定常連續系統漸近穩定性的簡便方法,,,該方法,,不需尋找李雅普諾夫函數,,,,不需求解系統矩陣,A,的特征值,,,,只需解一個矩陣代數方程即可,,,計算簡便。,,該矩陣方程又稱為李雅普諾夫矩陣代數方程。,,

9、由上述定理,,,可得如下關于正定矩陣,P,是李雅普諾夫矩陣方程的唯一解的推論。,,推論,5-1,,如果線性定常系統,x,’,=,A,x,在平衡態,x,e,=0,是漸近穩定的,,,那么李雅普諾夫代數方程,,PA,+,A,?,P,=-,Q,,對給定的任意正定矩陣,Q,,,存在唯一的正定矩陣解,P。,,,□,,,證明,,用反證法證明,。,,即需證明: 李雅普諾夫代數方程由兩個正定矩陣解,,,但該系統是漸近穩定的。,,設李雅普諾夫代數方程由兩個正定矩陣解,P,1,和,P,2,,,則將,P,1,和,P,2,代入該方程后有,,P,1,A,+,A,?,P,1,=-,Q,,P,2,A,+,A,?,P,2,=-

10、,Q,線性定常連續系統的李雅普諾夫穩定性,分析,(10,/21)—,推論1,,兩式相減,,,可得,,(,P,1,-,P,2,),A,+,A,?,(,P,1,-,P,2,)=0,,因此,,,有,線性定常連續系統的李雅普諾夫穩定性,分析,(11,/21),所以,,,對任意的,t,,,下式均成立:,令,t,=0,和,t,=,T,(,?,0),,則有,,推論,5-1,,如果線性定常系統,x,’,=,A,x,在平衡態,x,e,=0,是漸近穩定的,,,那么李雅普諾夫代數方程,,PA,+,A,?,P,=-,Q,,對給定的任意正定矩陣,Q,,,存在唯一的正定矩陣解,P。,,由,定理,5-7,可知,,,當,P,

11、1,和,P,2,為滿足李雅普諾夫方程的正定矩陣時,,,則系統為漸近穩定的。,,故系統矩陣,A,為漸近穩定的矩陣,,,矩陣指數函數,e,AT,將隨著,T,→,?,而趨于零矩陣,,,即,,P,1,-,P,2,=0,或,P,1,=,P,2,,,?,線性定常連續系統的李雅普諾夫穩定性,分析,(12,/21),,在應用上述基本定理和推論時,,,還應注意下面幾點:,,如果,V,’,(,x,,,t,)=-,x,?,Q,x,沿任意一條狀態軌線不恒為零,,,那么,Q,可取為非負定矩陣,,,而系統在原點漸近穩定的充要條件為:,,存在正定矩陣,P,滿足李雅普諾夫代數方程。,,Q,矩陣只要選成正定的或根據上述情況選為

12、非負定的,,,那么最終的判定結果將與,Q,的不同選擇無關。,,由,定理,5-7,及其,推論,5-1,可知,,,運用此方法判定系統的漸近穩定性時,,,最方便的是選取,Q,為單位矩陣,,,即,Q,=,I,。,,于是,,,矩陣,P,的元素可按如下李雅普諾夫代數方程:,,PA,+,A,?,P,=-,I,,求解,,,然后根據,P,的正定性來判定系統的漸近穩定性。,線性定常連續系統的李雅普諾夫穩定性,分析,(13,/21),,下面通過一個例題來說明如何通過求解矩陣李雅普諾夫方程來判定線性定常系統的穩定性。,,,例,5-9,,試確定用如下狀態方程描述的系統的平衡態穩定性。,線性定常連續系統的李雅普諾夫穩定性

13、,分析,(14,/21)—,例,5-9,解,,設選取的李雅普諾夫函數為,,V,(,x,)=,x,?,P,x,,由,定理,5-7,可知,,,上式中的正定矩陣,P,滿足李雅普諾夫方程,,PA,+,A,?,P,=-,I,.,,線性定常連續系統的李雅普諾夫穩定性,分析,(15,/21)—,例,5-9,于是,,,令對稱矩陣,P,為,將,P,代入李雅普諾夫方程,,,可得,展開后得,,,有:,,線性定常連續系統的李雅普諾夫穩定性,分析,(16,/21),因此,,,得如下聯立方程組:,解出,p,11,,,p,12,和,p,22,,,得,,為了驗證對稱矩陣,P,的正定性,,,用合同變換法檢驗如下:,線性定常連續

14、系統的李雅普諾夫穩定性,分析,(17,/21),由于變換后的對角線矩陣的對角線上的元素都大于零,,,故矩陣,P,為正定的。因此,,,系統為大范圍漸近穩定的。,,此時,,,系統的李雅普諾夫函數和它沿狀態軌線對時間,t,的全導數分別為,,,線性定常連續系統的李雅普諾夫穩定性,分析,(1,8/21)—,例,5-10,例,5-10,,控制系統方塊圖如下圖所示。,,要求系統漸近穩定,,,試確定增益的取值范圍。,解,由圖可寫出系統的狀態方程為,,線性定常連續系統的李雅普諾夫穩定性,分析,(1,9/21)—,例,5-10,不難看出,,,原點為系統的平衡狀態。,,選取,Q,為非負定實對稱矩陣,,,則,由于為非

15、正定,,,且只在原點處才恒為零,,,其他非零狀態軌跡不恒為零。,,因此,,,對上述非負定的,Q,,,李雅普諾夫代數方程和相應結論依然成立。,,線性定常連續系統的李雅普諾夫穩定性,分析,(,20/21)—,例,5-10,設,P,為實對稱矩陣并代入李雅普諾夫方程,,,可得,求得,為使原點處的平衡狀態是大范圍漸近穩定的,,,矩陣,P,須為正定。,,線性定常連續系統的李雅普諾夫穩定性,分析,(,21/21)—,例,5-10,采用合同變換法,,,有,從而得到,P,為正定矩陣的條件,即,,0<,k,<6,,,由上例可知,,,選擇,Q,為某些非負定矩陣，也可以判斷系統穩定性,,,益處是可使數學運算得到簡化。,,