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1、,單擊此處編輯母版標題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,生命表函數與生命表構造,第三章,本章重點,生命表函數,生存函數,剩余壽命,死亡效力,生命表的構造,有關壽命分布的參數模型,生命表的起源,生命表的構造,選擇與終極生命表,有關分數年齡的三種假定,第一節,生命表函數,分布函數,一個人的壽命從出生到死亡的時間長度，是無法事先確定的，在概率上稱之為隨機變量，記為X。是連續型隨機變量。,生存函數,定義,意義：新生兒能活到 歲的概率。,與分布函數的關系：,與密度函數的關系：,新生兒將在,x,歲至,z,歲之間死亡的概率：,剩余壽命,定義：已經活到x歲的人（簡記(x)），
2、還能繼續存活的時間，稱為剩余壽命，記作T(x)。,T分布函數記為,剩余壽命,剩余壽命的生存函數 ：,特別：,剩余壽命,：x歲的人至少能活到x+1歲的概率,：x歲的人將在1年內去世的概率,：X歲的人活過t年后在往后u年內去世的概率即在xt歲到xtu歲之間死亡的概率。,整值剩余壽命,定義：未來存活的完整年數，簡記,概率函數,剩余壽命的期望與方差,期望剩余壽命：剩余壽命的期望值(均值),簡記,剩余壽命的期望與方差,剩余壽命的方差,整值剩余壽命的期望與方差,期望整值剩余壽命：整值剩余壽命的期望值(均值),簡記,整值剩余壽命的期望與方差,整值剩余壽命的方差,死亡效力,定義：的瞬時死亡率，簡記,死亡效力與
3、生存函數的關系,死亡效力與生存函數的關系,死亡效力,死亡效力與密度函數的關系,第二節,生命表的構造,有關壽命分布的參數模型,De Moivre,模型(1729),Gompertze,模型(1825),有關壽命分布的參數模型,Makeham,模型(1860),Weibull,模型(1939),參數模型的問題,至今為止找不到非常合適的壽命分布擬合模型。這四個常用模型的擬合效果不令人滿意。,使用這些參數模型推測未來的壽命狀況會產生很大的誤差,壽險中通常不使用參數模型擬合壽命分布，而是使用非參數方法確定的生命表擬合人類壽命的分布。,在非壽險領域，常用參數模型擬合物體壽命的分布。,生命表起源,生命表的定
4、義,根據已往一定時期內各種年齡的死亡統計資料編制成的由每個年齡死亡率所組成的匯總表.,生命表的發展歷史,1662年,Jone Graunt,根據倫敦瘟疫時期的洗禮和死亡名單,寫過生命表的自然和政治觀察。這是生命表的最早起源。,1693年，,Edmund Halley,根據,Breslau,城出生與下葬統計表對人類死亡程度的估計，在文中第一次使用了生命表的形式給出了人類死亡年齡的分布。人們因而把,Halley,稱為生命表的創始人。,生命表的特點,構造原理簡單、數據準確（大樣本場合）、不依賴總體分布假定（非參數方法）,生命表的構造,原理,在大數定理的基礎上，用觀察數據計算各年齡人群的生存概率。（用
5、頻數估計頻率）,常用符號,新生生命組個體數：,年齡：,極限年齡：,生命表的構造,個新生生命能生存到年齡,X,的期望個數：,個新生生命中在年齡,x,與,x+n,之間死亡的期望個數：,特別：,n=1,時，記作,生命表的構造,個新生生命在年齡,x,至,x+t,區間共存活年數：,個新生生命中能活到年齡,x,的個體的剩余壽命總數：,生命表實例（美國全體人口生命表）,年齡區間,死亡比例,期初生存數,期間死亡數,在年齡區間共存活年數,剩余壽命總數,期初存活者平均剩余壽命,天,0-1,.00463,100000,463,273,7387758,73.88,1-7,.00246,99537,245,1635,7
6、387485,74.22,7-28,.00139,99292,138,5708,7385850,74.38,年,0-1,.01260,10000,1260,98973,7387758,73.88,1-2,.00093,98740,92,98694,7288785,73.82,2-3,.00065,98648,64,98617,7190091,72.89,例3.1：,已知,計算下面各值：,（1）,（2）20歲的人在5055歲死亡的概率。,（3）該人群平均壽命。,例3.1答案,生命表的類型,國民生命表,經驗生命表,國民生命表：是根據全國范圍內的人口統計資料構造出來的，反映的是一個特定時期內全國人口
7、的壽命分布情況。,經驗生命表：是人壽保險公司經營壽險業務死亡率的經驗結果，它是以人壽保險公司的被保險人群體為對象。它分為終極表、選擇表和綜合表。,選擇-終極生命表,選擇-終極生命表構造的原因,需要構造選擇生命表的原因：剛剛接受體檢的新成員的健康狀況會優于很早以前接受體檢的老成員。,需要構造終極生命表的原因：選擇效力會隨時間而逐漸消失,選擇-終極生命表的使用,選擇-終極表實例,x,選擇表,終極表,70,.0175,.0249,.0313,.0388,.0474,.0545,75,71,.0191,.0272,.0342,.0424,.0518,.0596,76,72,.0209,.0297,.0
8、374,.0463,.0566,.0652,77,73,.0228,.0324,.0409,.0507,.0620,.0714,78,74,.0249,.0354,.0447,.0554,.0678,.0781,79,75,.0273,.0387,.0489,.0607,.0742,.0855,80,76,.0298,.0424,.0535,.0664,.0812,.0936,81,77,.0326,.0464,.0586,.0727,.0889,.1024,82,7,8,.03,57,.0,508,.0,641,.07,96,.0,973,.1,121,8,3,2.已知40歲的死亡率為0.04，41歲的死亡率為0.06，而42歲的人生存至43歲的概率為0.92.如果40歲生存人數為100人，求43歲時的生存人數。,
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