5 線、面相對位置

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1、單擊以編輯,母版標題樣式,,單擊以編輯母版文本樣式,,第二級,,第三級,,第四級,,第五級,,*,*,*,第五章 點、直線與平面的相對位置,§5-1,平行問題,§5-2,相交問題,§5-3,垂直問題,§5-4,點、直線、平面的綜合問題,,,一．直線與平面平行,,幾何條件：若平面外的一條直線與平面內的一條直線平行，則該直線與該平面平行。這是解決直線與平面平行作圖問題的依據。,,有關線、面平行的作圖問題有：判別已知線面是否平行；作直線與已知平面平行；作平面與已知直線平行。,,,二．平面與平面平行,,幾何條件：若一個平面內的相交二直線與另一個平面內的,相交,二直線對應平行，則此兩平面平行。這是兩平

2、面平行的作圖依據。,,兩面平行的作圖問題有：判別兩已知平面是否相互平行；過一點或直線作一平面與已知平面平行；已知兩平面平行，完成其中一平面的投影。,§5-1,平行問題,,一、,直線與平面平行,,若一直線平行于屬于定平面的一直線，則該直線與平面平行,P,C,D,B,A,,試判斷直線,AB,是否平行于定平面,,f,g,?,f,?,g,b,?,a,?,a,b,c,?,e,?,d,?,e,d,c,結論：直線,AB,不平行于定平面,m,n,m′,n′,p′,p,TL,,試過點,K,作水平線,AB,平行于,Δ,CDE,平面,b,?,a,?,a,f,?,f,b,c,?,e,?,d,?,e,d,k,?,k,c

3、,,二、兩平面平行,,若屬于一平面的相交兩直線對應平行于屬于另一平面的相交兩直線，則此兩平面平行,P,S,E,F,D,A,C,B,,試判斷兩平面是否平行,f,?,e,?,d,?,e,d,f,c,?,a,?,a,c,b,?,b,m,?,n,?,m,n,r,?,r,s,s,?,結論：兩平面平行,,,已知定平面由平行兩直線,AB,和,CD,給定。試過點,K,作一平面平行于已知平面 。,e,m,?,n,?,m,n,f,?,e,?,f,s,r,?,s,?,r,d,?,d,c,?,a,?,a,c,b,?,b,k,?,k,,試判斷兩平面是否平行,。,結論：兩平面平行,e,f,?,e,?,f,s,r,?,s,

4、?,d,?,d,c,?,a,?,a,c,b,?,b,r,P,H,S,H,TL,,兩平面的同名跡線相互平行，兩平面相互平行,V,H,Q,V,Q,H,Q,X,P,V,P,H,P,X,P,P,V,,P,X,P,H,,Q,V,Q,H,Q,X,Q,,,平行問題小結,1,直線與特殊位置平面平行,平面的積聚投影與直線的同面投影平行。,,2,兩特殊位置平面平行,平面的同面積聚投影平行。,,3,同面跡線相互平行 ，兩平面平行,,4,一般位置直線與平面平行,一般位置直線與平面內一條直線平行 。,,5,兩一般位置平面平行,兩平面內有兩條相交直線對應平行。,,,§5-2,相交問題,,直線與平面相交，有一個交點。二平面

5、相交有一條交線。下面討論如何求交點和交線的作圖問題。,交點或交線是參與,相交的幾何元素所共有的點或直線，所以相交的實質就是共有,。,,一、,直線與平面相交,的,特殊情況,,二、平面與平面相交的特殊情況,,三、,直線與平面相交的一般,情況,,四、平面與平面相交的一般情況,,直線與平面相交,P,B,A,K,,直線與平面相交只有一個交點，它是直線與平面的共有點。,,,交點的特性：,交點總是可見，而且是可見與不可見的分界點。,,M,B,C,A,,平面與平面相交,F,K,N,L,,兩平面的交線是相交二平面的共有線。欲求二平面的交線，只要求得屬于交線的任意兩點，然后將兩點相連即可。。,,,交線的特性,：,

6、交線總是可見的，是可見與不可見的分界線。,,一、直線與平面相交的特殊情況,,直,線與平面相交的特殊情況，系指參與相交的直線或平面，其中之一對投影面處于垂直的位置，它在該面上的投影有,積聚性，利用積聚投影確定,交點在該面上的投影。再根據屬于,直線的點的投影，屬于平面的點或直線的作圖規律，即可確定,交點的其余二,投影。,,1,特殊位置平面與一般位置直線相交,,,2,投影面垂直線與一般位置平面相交,,,b,?,b,a,?,a,c,c,?,m,?,m,n,n,?,1,直線與,特殊位置,平面相交,,利用,特殊位置,平面投影的,積聚性,，,在直線上定點，直接求出交點,。,V,H,A,B,C,N,M,a,c

7、,b,K,k,k,?,k,,,,交點是唯一的點，其他投影重疊處都是,重影點。,可見性判別的基本方法依然是交叉二直線重影點的可見性判別。對于特殊情況可以直接判斷。,b,?,b,a,?,a,c,c,?,m,?,m,n,n,?,判別直線的可見性,V,H,A,B,C,N,M,a,c,b,K,k,k,k,?,,2,投影面垂直線與,一般位置,平面相交,,a,?,b,?,c,?,a,b,c,d,?,e,?,k′,(,k,),d,,(,,e,),,,,此時的特殊位置直線是指投影面垂直線，直線在某投影面上有積聚性。,二、平面與平面相交的特殊情況,,求兩平面交線的問題可以看作是求屬于交線的任意,兩個共有點,的問題

8、。,,對于特殊位置平面來說，總有一個投影為積聚投影，其交線的投影就在這個積聚投影上。,,,,V,H,一般位置平面與,特殊位置,平面相交,e,f,d,d,?,f,?,e,?,b,a,c,c,?,a,?,b,?,D,A,B,C,a,c,b,E,F,K,L,k,l,k,l,k,?,l,?,e,f,d,d,?,f,?,e,?,b,a,c,c,?,a,?,b,?,V,H,一般位置平面與,特殊位置,平面相交,D,A,B,C,a,c,b,E,F,K,L,k,l,k,l,k,?,,交線是唯一的，其他投影重疊處都是,重影點。,可見性判別的基本方法依然是交叉二直線重影點的可見性判別。對于特殊情況可以直接判斷。,,

9、l,?,三、一般位置直線與一般,位置,平面相交,,一般位置線面相交由于直線和平面的投影都,沒有積聚性,，求交點時無積聚性投影可以利用，因此通常要采用,輔助平面法,求一般位置線面的交點。,,,一般位置線、面相交求交點的步驟：,,（,l,）,含已知直線作特殊位置的輔助平面；,,（,2,）求輔助平面與已知平面的交線；,,（,3,）求交線與已知直線的交點，交點即為所求。,,（,4,）判別可見性。,,,A,B,C,S,F,E,輔助平面求線面交點,示意圖,,M,N,K,用投影面垂直面作為輔助面求線面的交點,H,b,e,f,a,c,A,B,C,P,H,E,F,m,n,P,作垂直面的目的是把一般問題轉化為特殊

10、問題,M,N,K,k,,m,n,以鉛垂面為輔助平面求線面交點,。,P,H,m,?,f,?,e,?,e,f,b,c,?,a,?,a,c,b,?,步驟：,,1,、 過,EF,作鉛垂平面,P,。,,2,、求,P,平面與,Δ,ABC,的交線,MN,。,3,、求交線,MN,與,EF,的交點,K,。,k,?,k,n′,,,H,V,a,?,b,?,c,?,c,e,a,A,B,b,C,F,E,f,′,f,k,?,K,k,e,?,直線,FE,與平面,Δ,ABC,相交，判別可見性,示意圖,Ⅲ,Ⅳ,3,,( ),(,,),4,,注意兩點：,,1,、判別某個投影面上的可見性，就在該投影上取重影點。,,2,、對于

11、一般情況，必須在每個投影面上分別取重影點判別，不能根據一個投影面上的可見性而推論另一個投影面上的可見性。,Ⅰ,Ⅱ,1,?,,2,?,,2,1,直線,EF,與平面,ABC,相交，判別可見性。,利用重影點判別可見性,(,,),f,?,e,?,e,f,a,c,?,c,b,a,?,b,?,1,2,4,?,3,?,( ),k,k,?,3,4,2,?,1,?,,m,?,n,?,n,m,b,a,?,a,c,b,?,c,?,1,?,2,?,以正垂面為輔助平面求線面交點,S,V,2,1,k,k,?,,步驟,：,,1,、 過,MN,作正垂平面,S,。,,2,、求,S,平面與,ΔABC,的交線,ⅠⅡ,。,3,、求交

12、線,ⅠⅡ,與,MN,的交點,K,。,,四、兩一般位置平面相交,,求兩一般位置平面交線的問題可以看作是求兩個共有點的問題,,,因而可利用求一般位置線面交點的方法找出交線上的兩個點，將其連線即為兩平面的交線。,,,1,、線面交點法,,,2,、三面共點法,,,E,L,N,利用求一般位置線面交點的方法找出交線上的兩個點，將其連線即為兩平面的交線。,M,B,C,A,E,K,N,L,B,C,A,互交,全交,K,M,,,求兩一般位置平面交線的作圖步驟：,,1,、用直線與平面求交點的方法求出兩平面的,兩個共有點,K,、,E,。,b,c,a,a,?,b,?,c,?,l,l,?,n,m,m,?,n,?,P,V,Q

13、,V,g,?,f,?,f,g,k,?,k,e′,e,2,、連接兩個共有點，畫出交線,KE,。,一般不選,AB,、,BC,、,NL,,1,、線面相交法求交點,,,b,c,a,a,?,b,?,c,?,若選,AC,、,BC,l,l,?,,m,m,?,n,?,k,e,e′,k,?,n,,若選了交點在圖形之外的邊,P,H,Q,V,利用重影點判別可見性,兩平面相交，判別可見性,b,c,a,a,?,b,?,c,?,l,l,?,n,m,m,?,n,?,k,e,e,?,k,?,( ),( ),,3,?,,4,?,,3 4,,2,1,1,?,,2,?,利用重影點判別可見性,兩平面相交，判

14、別可見性,b,c,a,a,?,b,?,c,?,l,l,?,n,m,m,?,n,?,k,e,e,?,k,?,3,?,,4,?,,3 4,,2,1,( ),1,?,,2,?,( ),,R,1,R,2,P,S,2,、三面共點法求交線,(,適用于,兩平面圖形投影不重疊,),,,,K,L,,R,1V,R,2V,1′,2′,3′,4′,1,2,3,4,5′,6′,8′,7′,5,6,7,8,k,l,l′,k′,求兩平面的交線,b,c,a,a,?,b,?,c,?,l,l,?,n,m,m,?,n,?,g′,g,1,2,P,V,1′,2′,k,k′,Q,V,e,e′,,b,c,a,a,

15、?,b,?,c,?,l,l,?,n,m,m,?,n,?,g′,g,k,k′,e,e′,利用重影點判別可見性,,a,c,?,b,a,?,c,b,?,f,?,e,?,e,f,k,?,k,,試過,K,點作一直線平行于已知平面,Δ,ABC,，,并與直線,EF,相交,。,,分析,:,過已知點,K,作平面,P,平行,于,?,,ABC,；,直線,EF,與平 面,P,交于,H,；,連接,KH,，,KH,即為所求。,,,F,P,C,A,B,E,K,H,,作圖步驟,m,?,n,?,h,?,h,n,m,f,f,?,a,c,?,b,a,?,c,b,?,e,?,e,k,?,k,P,V,1,?,1,2,?,2,1

16、,、過點,K,作平面,KMN,//,?,,ABC,平面。,2,、過直線,EF,作正垂平面,P,。,3,、,求平面,P,與平面,KMN,的交線,ⅠⅡ,。,4,、求交線,ⅠⅡ,與,EF,的交點,H,。,5,、,連接,KH,，,KH,即為所求。,,求兩平面的交線,a,′,b,′,c,′,a,e,′,f,′,g,′,b,c,f,e,g,,a,′,b,′,c,′,a,e,′,f,′,g,′,b,c,f,e,g,求兩平面的交線,,綜合練習,設自點,S,發射槍彈同時命中繩索,AB,、,CD,，,求彈道軌跡和命中點的投影。,a′,b′,s′,a,b,c,d,s,d′,c′,P,H,分析,,過,S,與,AB,相

17、交的直線的軌跡是平面,SAB,。,同理，過,S,與,CD,相交的直線的軌跡是平面,SCD,。,故過,S,與交叉二線,AB,、,CD,均相交的直線是兩平面,SAB,、,SCD,的交線,。,投影作圖步驟,,連接,SA,、,SB,成△,SBC,。,,求,CD,與△,SBC,的,交點,L,。,,連接,SL,并延長與,AB,交于點,K,。,l′,k′,k,l,相交問題小結,相交問題的實質就是共有，線與面共有點，面與面共有線。,,相交問題的特殊情況是交點或交線可以在具有積聚性的線或面的投影上直接求出。,,相交問題的一般情況是將一般問題轉化為特殊情況。求法是：,,包含直線作一投影面垂直面,,求該面與一般平面

18、的交線,,求該交線與一般直線的交點,,求兩個一般平面的交線就是把該作法重復一遍。,,相交問題練習評講,p′,p,q′,s′,s,q,,相交問題練習評講,p′,p,a,b,b,′,a,′,k′,k,,相交問題練習評講,a,b,b,′,a,′,c′,c,3(4),2(1),4′,3′,1′,2′,k′,k,s,s′,,相交問題練習評講,a,b,b,′,a,′,c′,c,3(4),2(1),4′,3′,1′,2′,k,s,k′,s′,,a,b,′,a,′,c′,d′,b,d,c,1,2,4,3,4′,1′,2′,3′,相交問題練習評講,s′,k′,k,s,,§5-3,垂直問題,,一、,直線與平面垂直

19、,,,幾何條件,：,若直線垂直于屬于平面的任意兩條相交直線，,,則直線垂直于平面。反之若直線垂直于平面，則直線必垂直于,,屬于平面的任意相交二直線。,,因屬于平面的正平線、水平線是相交二直線，由直角投影,,定理得出。,,,平面垂線的投影特性：,若直線垂直于平面，則直線的水,,平投影必垂直于該平面的水平線的水平投影；直線的正面投影,,必垂直于該平面的正平線的正面投影。,,二、,兩平面垂直,,,幾何條件,：,若一平面通過另一平面的一條垂線，則兩平,,面垂直。反之若兩平面垂直，則從屬于其中一平面的任何一點,,向另一平面所作的垂線必屬于該平面。,,,直線與平面垂直的幾何條件,：,若一直線垂直于一平面內

20、任意兩條相交直線,，,則此直線必垂直于該平面。,,平面垂（法）線的性質,：,若一直線垂直于一平面,，,則此直線必垂直于屬于該平面的一切直線。,,,,V,H,P,A,K,L,D,C,B,E,,平面垂線的投影特性：,若一直線垂直于一平面，則直線的水平投影必垂直于屬于該平面的水平線的水平投影；直線的正面投影必垂直于屬于該平面的正平線的正面投影。,V,P,A,K,L,D,C,B,E,H,a,?,a,d,?,c,?,b,?,d,c,b,e,?,e,k,n,,k,?,n,?,,由平面垂線的投影特性得出：,若一直線垂直于屬于平面的水平線的水平投影；直線的正面投影垂直于屬于平面的正平線的正面投影、則直線必垂直

21、于該平面。,a,?,c,a,c,?,,n,?,,n,k,f,?,d,?,b,?,d,b,f,k,?,V,P,A,K,L,D,C,B,E,H,,平面由,?,,BDF,給定，試過定點,K,作平面的法線,。,a,?,c,a,c,?,,n,,n,?,k,f,?,d,?,b,?,d,b,f,k,?,,h,?,,,試過定點,K,作特殊位置平面的法線,。,,h,?,h,,h,?,h,k,k,?,S,V,k,?,k,P,V,k,?,k,,垂直于正垂面的直線是正平線,,垂直于鉛垂面的直線是水平線,,垂直于水平面的直線是鉛垂線,Q,H,h,,平面由兩平行線,AB,、,CD,給定，試判斷直線,MN,是否垂直于定平面

22、。,e,?,f,?,e,m,?,n,m,n,?,c,?,a,?,a,d,?,b,?,c,d,b,f,,結論：直線與平面不垂直,,h,?,,,,h,?,h,,h,?,h,（,k,）,k,?,k,?,k,P,′,k,?,k,垂直于正垂面的直線是正平線,垂直于鉛垂面的直線是水平線,,垂直于水平面的直線是鉛垂線,q,h,p,q,′,s,′,s,例題 過定點,K,作特殊位置平面（△表示）的法線。,,試過點,N,作一平面，使該平面與,V,面的夾角為,60 °,，與,H,面的夾角為,45 °,。,n,?,n,,,分析：平面的法線與平面的最大斜度線對同一投影面的夾角互為余角。,,所以平面法線對,H,面的傾角

23、為,45°,，對,V,面的傾角為,30°,。,H,P,A,K,F,D,C,B,E,f,?,?,試過點,N,作一平面，使該平面與,V,面的夾角為,60 °,，與,H,面的夾角為,45 °,。,直徑任取,NM,作圖過程,|,y,M,-y,N,|,|,z,M,-z,N,|,m,?,h,?,m n,m,k,|,z,M,-z,N,|,|,y,M,-y,N,|,30,°,45,°,m n,m,?,n,?,k,?,,h,,n,?,n,,Ⅱ,若一直線垂直于一定平面，則包含這條直線的所有平面都垂直于該平面。,即包含某平面垂線的任意平面都與該平面垂直。、,A,D,,兩,平面垂直的幾何條件,,若一平面通過另一平面的

24、一條垂線，則兩平面垂直。反之，若兩平面垂直，則從屬于其中一平面的任何一點向另一平面所作的垂線必屬于該平面。,,投影作圖,：由幾何條件得知若兩平面垂直，其中一平面必包含另一平面的一條垂線，因此兩平面垂直的投影作圖建立在平面垂線的基礎上。,,反之，兩平面相互垂直，則由屬于第一個平面的任意一點向第二個平面作的垂線必屬于第一個平面。,A,D,Ⅰ,Ⅱ,,兩平面垂直,兩平面不垂直,Ⅱ,Ⅰ,A,D,,g,?,,平面由,?,,BDF,給定，試包含直線,KG,作已知平面的垂面,h,a,?,c,a,c,?,,h,?,k,k,?,f,?,d,?,b,?,d,b,f,g,,試判斷,?,,A,BC,與相交兩直線,KG,

25、和,KH,所給定的平面是否垂直。,g,?,h,?,a,?,c,h,a,c,?,k,k,?,b,?,b,g,,f,?,f,,d,?,d,結論：因為平面法線,AD,不在,?,,A,BC,平面上，所以兩平面不垂直。,或者說平面,ABC,未包含平面,GKH,的垂線,,,例題 過點,K,作正垂面Ｐ垂直于平面,△,ABC,。,,b′,a′,k′,k,b,c′,c,a,P,V,Q,H,過點,K,作鉛垂面,Q,垂直于平面,△,ABC,。,分析：,,P⊥V,，,P⊥ABC → P⊥,平面,ABC,的正面跡線,,→,P,垂直于面上正平線,同理：,,Q⊥H,，,Q⊥ABC →

26、Q⊥,平面,ABC,的水平跡線,,→,Q,垂直于面上水平線,試過定點,A,作直線與已知直線,EF,正交。,a,?,e,f,a,f,?,e,?,,E,Q,分析,,,過已知點,A,作平面與已知直線,EF,垂直相交于點,K,，,連接,AK,，,AK,即為所求。,F,A,K,,作圖過程,,2,?,,1,a,?,e,,a,f,?,e,?,1,?,2,,2,?,,1,P,V,a,?,e,f,a,f,?,e,?,1,?,2,k,?,k,直角三角形法求,SC,KA,即,A,到,EF,的距離,f,,§5-4,關于空間幾何元素間的一些綜合問題,一、,量度問題,,1.,實長和實形,,,⑴ 直線段的實長,,⑵ 平

27、面圖形的實形,,,2.,有關距離的量度,,⑴ 兩點之間的距離,,⑵ 點到直線的距離、兩平行線間的距離,,⑶ 點到平面、相互平行的直線和平面之間的距離、兩平行平面間的距離,,,⑷,相叉二直線的最短距離,,3.,有關角度的量度,,⑴ 直線對投影面的傾角,,⑵ 直線對投影面的傾角,,⑶ 相交二直線的夾角,,⑷ 直線與平面的夾角,,⑸ 兩平面間的夾角,,,(1),實長與實形,,求線段的實長采用直角三角形法,,求平面圖形的實形可以將圖形劃分為三角形，求每個三角形的實形，進而求出平面圖形的實形。,?,|,z,A,-z,B,,|,AB,X,a,?,a,b,?,,b,,P,P,H,點到投影面垂直線的距離,點

28、到投影面平行線的距離,點到一般位置線的距離,兩,平行的直線之間的距離,A,B,a(b,),K,k,L,(l),H,L,l,K,k,B,a,A,b,（,2,）點到直線的距離,KL,M,K,L,M,1,M,2,K,L,V,H,P,H,K,k,P,L,l,A,D,C,B,E,L,K,(3),點,到,平面的距離,點到投影面垂直面的距離,點到一般位置平面的距離,點到平面的距離,L,K,P,M,K,L,Q,P,K,L,平行的直線與平面間的距離,,兩,平行平面之間的距離,P,Ｈ,M,M,1,(4),交叉二直線的最短距離,其中之一為投影面垂直線,k,L,l,K,公垂線,距離,Ｈ,M,M,1,k(l,),K,,

29、L,二者均為同一投影面的平行線,交叉二直線的最短距離,交叉二直線的最短距離及公垂線,M,M,1,M,P,P,M,M,1,M,P,距離,公垂線,距離,距離,距離,L,K,V,H,W,H,H,P,E,S,C,D,a,α,A,直線對投影面的傾角,相交二直線的夾角,平面對投影面的傾角,A,C,B,3,有關角度的量度,直線與平面的夾角,兩,平面之間的夾角,P,B,A,P,Q,φ,A,B,,ω,α,β,γ,φ,b,P,K,θ,a,P,C,θ,δ,K,φ,E,D,(4),交叉二直線的最短距離,交叉二直線的最短距離及公垂線,,,二、定位問題,:,線與平面、平面與平面的相交問題。,,三、解決綜合題的一般步驟,,

30、,1.,分析,,,2.,作圖,,,3.,檢查、討論,,四、綜合舉例,,,,過點,E,作,直線,EF,與已知直線,AB,、,CD,均相交。,已知條件,相對位置關系分析,軌跡分析,實際解題方案,例題：已知三角形,ABC,的,BC,邊屬于,MN,，,分別以,AB,為斜邊和直角 邊作出三角形,ABC,的投影。,b,a′,b′,m′,n′,a,m,n,以,AB,為斜邊，實際上就是,C,角為直角，,MN,為水平線，則，在,H,面上可以直接求出,C,點。,c,c,′,,例題：已知三角形,ABC,的,BC,邊屬于,MN,，,分別以,AB,為斜邊和直角 邊作出三角形,ABC,的投影。,,如果以,AB

31、,為直角邊，則,AC,┴AB,，過,A,點作,一,AB,的垂面，與,MN,的交點即為,C,點。,b,a′,b′,m′,n′,a,m,n,,作一直線,MN,與相叉直線,AB,和,CD,相交，并平行于直線,EF,。,,,,,x,o,e,a,b,d,c,f,e′,f′,a′,b′,c′,d′,n,n′,原題,分析,作圖,作圖思路：,,含交叉二線之一（,AB,或,CD,） 作,直線,EF,的平行平面,,求此平面與交叉二線中的另一直線（,CD,或,AB,）,的交點,,過此交點作直線,EF,的平行線,P,V,m,m′,C,求作以,AB,為底，頂點,C,屬于直線,MN,的等腰三角形,ABC,,。,a,b,m

32、,n,a,′,b′,m′,n′,x,o,,原題,分析,,作圖思路：,,作等腰△,ABC,底邊的中垂面,,求此中垂面與頂點所在直線,MN,的交點,,連接該交點和底邊兩端點,作圖,c′,c,P,V,,作一平面,P,，,使其與△,ABC,平行，且距△,ABC,為定長,L,,。,原題,,k,k′,e,e′,f,f′,分析,c,a,b,c,c′,a′,b′,x,o,a,b,L,b′,a′,c′,x,o,作圖思路：,,過平面上的已知點作平面的法線,,在此法線上從已知點截取定長獲得距平面為定長的端點,,過此端點作平面平行于已知面,d,L,d′,,例題,﹕,,已知點,K,到△,ABC,距離為定長,L,，求,k

33、,,。,L,,d,d′,L,o,a,b,c,c′,a′,b′,x,,k′,,k,e′,e,1,、,用上例的方法獲得法線上定長端點再與已知點,K,連線平行于已知平面,,∵,平面的法線與平面的最大斜度線對同一投影面的夾角互為余角。,例題,,已知點,K,到△,ABC,距離為定長,L,，求,k,,。,2,、,利用平面法線對投影面的傾角與平面相應的傾角互余，即與平面相應的最大斜度線對同一投影面的傾角互余,L,b,c,c′,b′,x,o,k,′,a′,a,β,b,為,平面,ABC,對,V,面的傾角,β,1,b,1,為,平面,ABC,的,法線,對,V,面的傾角,法線的,V,投影長度,法線的,Y,坐標差,(,

34、法線,),k,β,1,L,投影作圖步驟,﹕,利用對,V,面的最大斜度線求出,b,角,.,2,、,90°,–,,b,﹦,b,1,3,、,由法線的實長,L,及,b,1,，,用直角△法求出,法線的,V,投影長度和法線的,Y,坐標差,作業評講,,求,K,點到平面的真實距離,b′,a′,c′,b,a,c,k′,k,Q,H,TL,,1,3,2,1′,2′,3′,a,b,a′,c,d,c′,b′,d′,求作以,AB,為邊,并屬于△,ⅠⅡⅢ,的正方形,ABCD,。,作圖思路,,在△,ⅠⅡⅢ,上取線，確定,a′ b′,及其鄰邊的方向,,確定鄰邊,AD,,作對應邊的平行線，完成正方形,ABCD,。,,,c,a,b

35、,a′,b′,c′,a,b,a′,b′,c′,c,例,,已知,AB⊥BC,，求,bc,。,包含,AB,做,BC,的垂面，,BC,垂直于平面上所有的線。,利用平面法線的投影特性,過點,B,作,AB,的垂面，,BC,屬于該平面,。,再在平面內取點,作菱形,ABCD,，使,AB//MN,，點,A,屬于直線,I II,，,BC,屬于直線,III IV,，,完成其,H,、,V,面投影。,m′,n′,m,n,1′,2,′,1,2,3,4,3,′,4′,b,b′,a,′,a,sc,c,c′,d′,d,作圖思路：,,包含,ⅠⅡ,作一個平面與,MN,平行,,求該平面與,ⅢⅣ,的交點，即,B,點。,,作,AB//

36、MN,得,AB,的投影。求,AB,實長，用定比的方法，根據實長求得,C,點的投影。,,根據平行四邊形作出,D,點的投影。,,d,?,e,?,d,e,作屬于,?,,A,BC,的直線,FG,與直線,DE,垂直相交。,f,?,a,?,c,a,c,?,b,?,b,,,P,H,f,Qv,g,g,?,,SC,DF,求直線,DE,與,?,ABC,的夾角,θ,b′,c′,a′,d′,e′,b,a,c,d,e,f′,f,SC,DE,SC,DF,SC,FE,φ,θ,SC,FE,,本章要點,,（,一）平行問題,,,1,熟悉線、面平行，面、面平行的幾何條件；,2,熟練掌握線、面平行，面、面平行的投影特性及作圖方法。,

37、,（二）相交問題,,,1,熟練掌握特殊位置線、面相交（其中直線或平面的投影具有積聚性）交點的求法和作兩個面的交線（其中一平面的投影具有積聚性）。,2,熟練掌握一般位置線、面相交求交點的方法；掌握一般位置面、面相交求交線的作圖方法。,3,掌握利用重影點判別投影可見性的方法。,,（三）垂直問題,掌握線面垂直、面面垂直的投影特性及作圖方法。,,（四）點、線、面綜合題,,1,熟練掌握點、線、面的基本作圖方法；,2,能對一般畫法幾何綜合題進行空間分析，了解綜合題的一般解題步驟和方法。,c,P16,習,5-6,（左） 求兩平面的交線并判別可見性。,P,H,Q,H,k′,l′,k,l,a,b,a′,b′,c′,1,2,3,1′,2′,3′,分析 不選,BC,、,ⅠⅡ,、,ⅠⅢ,作業講評,,求兩平面的交線并判別可見性。,1,2,3,1′,2′,3′,a,b,c,a′,b′,c′,k′,l′,k,l,P,H,Q,V,R,V,k′,l′,k,l,,,,,分析 不選,AB,、,ⅡⅢ,作圖,檢查、討論,作業講評,