連續型隨機變量及其概率密度

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1、,一、概率密度的概念與性質,二、常見連續型隨機變量的分布,三、小結,第三節連續型隨機變量及其概率密度,一、概率密度的概念與性質,1.,概率密度函數的定義,存在,概率密度函數,簡稱概率密度,.,連續型隨機變量的分布函數是連續函數,.,2.,概率密度函數的性質,反之，滿足（,1,）（,2,）的一個可積函數,f,(,x,),必是某連續型隨機變量,X,的概率密度，因此，常用這兩條性質檢驗,f,(,x,),是否為概率密度。,幾何意義：曲線,y,=,f,(,x,),與,x,軸之間的面積等于,1,同時得以下計算公式,幾何意義：,X,落在區間,(x,1,，,x,2,),的概率,Px,1,0.1,。,解,:,(

2、1),由于,解得,k,=3,.,于是,X,的概率密度為,(2),例,2,確定常數,A,，,B,使得函數,為連續型隨機變量,X,的分布函數,并求出,X,的概率密度,.,解,:,由分布函數的性質知,又由連續型隨機變量的分布函數的連續性知,F(,x,),在,x,=0,處有,F,(0-0)=,F,(0),即：,A=1-A,，所以：,A,=1/2.,于是,X,的分布函數為：,X,的概率密度為,所以,B=1,.,二、常見連續型隨機變量及其概率分布,(,一,),均勻分布,其他,概率密度函數圖形,分布函數,均勻分布的意義,例,3,長途汽車起點站于每時的,10,分、,25,分、,55,分發車，設乘客不知發車時間

3、，于每小時的任意時刻隨機地到達車站，求乘客候車時間超過,10,分鐘的概率,.,解：,設,A,為乘客候車時間超過,10,分鐘，,X,為乘客于某時,X,分鐘到達，,例,4,設隨機變量,X,服從區間,-3,，,6,上的均勻分布，試求關于,t,的方程,有實根的概率,解：,隨機變量,的概率密度為,方程有實根，當且僅當,即，,解得，,是常數，則稱,X,服從參數為,(,二,),指數分布,其他,.,記作,的指數分布,.,隨機變量,X,的分布函數為,某些元件或設備的壽命服從指數分布,.,例如無線電元件的壽命、電力設備的壽命、動物的壽命等都服從指數分布,.,應用與背景,例,6,電子元件的壽命,X(,年）服從參數為

4、,3,的指數分布,(1),求該電子元件壽命超過,2,年的概率。,(2),已知該電子元件已使用了,1.5,年，求它還能使用兩年的概率為多少？,解,有,指數分布的重要性質,:“,無記憶性”,.,該性質稱為無記憶性,.,的壽命,那么上式表明,:,與從開,這,就是說,練習,設打一次電話所用時間,X,（單位：分鐘）是以,1/10,為參數的指數型隨機變量,.,如果某人剛好在你前面走進公用電話間，求你需要等待,10,分鐘到,20,分鐘之間的概率,解：,依題意，可知,X,的密度函數為,令,A=,某人等待時間為,10,到,20,分鐘,，則,（三）正態分布,正態分布的概率密度函數,正態分布,.,性質,:,有,軸平

5、移,而不改變其形狀,可見正態分布的概率密,為位置參數,.,稱軸不變,而形狀在改變,圖形越高越瘦,圖形越矮越胖,.,正態分布的應用與背景,正態分布是最常見最重要的一種分布,例如測,量誤差,人的生理特征尺寸如身高、體重等,;,正常,情況下生產的產品尺寸、,直徑、,長度、,重量高度,等都近似服從正態分布,.,即有,標準正態分布的圖形,性質,證明,解,例,7,證,得,則,由此知,定理,1,正態分布的計算,原函數不是,初等函數,轉化為標準正態分布查表計算,有,例,8,設,X,N(1.5,，,2,2,),，求,P-1X2,。,解,:,查表得：,(3-c)/2=0.43,即,c=2.14,例,9,設,X,N

6、(3,4),，求數,c,，使得,PXc=2PXc,.,解,:,從而，,PXc=1-PXc,=2PXc,因此，,PXc=1/3,=1/3,例,10,將一溫度調節器放置在貯存著某種液體的,容器內,.,是一個隨機變量,(2),若要求保持液體的溫度至少,解,(1),所求概率為,即,亦即,故需,例,11,說明：,X N(,2,),落在,(-3,+3),內的概率為,0.9974,這一事實稱為“,3,規則”。,2,）,P|X-|2,3,）,P|X-|3,=2(2)-1=0.9544,=2(3)-1=0.9974,=20.8413-1,對于標準正態隨機變量,的定義,.,分布函數,三、小結,2.,常見連續型隨機變量的分布,均勻分布,正態分布,指數分布,正態分布有極其廣泛的實際背景,是自然界和社會現象中最為常見的一種分布,一個變量如果受到大量微小的、獨立的隨機因素的影響,那么這個變量一般是一個正態隨機變量,.,3.,正態分布是概率論中最重要的分布,二項分布、泊松分布等的極限分布是正態分布所以，無論在實踐中，還是在理論上，正態分布是概率論中最重要的一種分布,.,