精算模型第2章

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2、第二章 個別保單的理賠額和理賠次數,,第一節 理賠額的分布,,一、常用名詞,,投保人（,insurer,）,,承保人,,,保險公司（,insurance,）,,損失事件（,loss event or claim,）,,注意：事故不等于損失事件,,損失額（,loss,）,,理賠事件（,payment event,）,,賠付額，理賠額（,amount paid,）,,注意：損失事件不等于理賠事件，理賠額不等于損失額,,,記號：,,X,表示投保人實際損失額（,ground-up loss,）。,,,Y,表示保險人每次理賠事件的賠付額,(amount paid,per payment,),，簡稱理賠額

3、,;,,Y,*,表示投保人每次損失事件中獲得的實際索賠額,(amount paid,per loss,),,,,二、常見的部分賠償形式,1,、,免賠額（,deductible,）,,含義：當損失額低于某一限額時不做賠償，這一限額稱為免賠額（或自付額），當損失額高于免賠額，只賠償高出的部分。,,例如,,免賠額為,50,元,,數學形式：,,例,1,：已知某風險標的的原始損失額如下：,,,,0,,,1,,,2,,,3,,,4,,,,,0.4,,,0.2,,,0.2,,,0.15,,,0.5,,,,假設免賠額為,1,，求每次理賠事件的賠付額,Y,,和每次損失事件的賠付額的分布。,,,,0,,,1,,,

4、2,,,3,,,4,,,,,0.4,,,0.2,,,0.2,,,0.15,,,0.05,,,,,0,,,0,,,1,,,2,,,3,,,,,,,,,,,0.2/0.4,,,0.15/0.4,,,0.05/0.4,,,,,0.4,,,0.2,,,0.2,,,0.15,,,0.05,,,,,Y,L,的分布容易計算，,,,,,Y,P,的分布是在,X,>,d,的條件下，,,X,－,d,的條件分布。記,Y,P,的分布函數記為,F,YP,(,y,),，,,當,y,>0,時為，,,,,,當,y,＝,0,時，,,Y,P,的分布密度函數可以寫為,,,2,、保單限額（,Policy limit,）,,含義：每次保

5、險事故中按保險單所約定的最高賠償金額。,,例如,:,最高保單限額為,1500,元,,數學形式：,,,,,,,請問,：當免賠額和保單限額同時存在時，情況會怎樣？,,例,2,:,設某醫療保險單上規定了免賠額為,100,,保單限額為,5,000,，,,有三個投保人看病花費分別為,50, 4000,,和,5500,,問他們獲得的賠付額各是多少,?,,注意,：如果同時規定最高保單限額為,u,，免賠額為,d,，則投保人所能得到的最高賠償金額為,u,。,,,,,,未定義,,解,：設,X,i,表示第,i,個投保人的損失額,, Y,i,,表示他所獲得的賠付,,,則,,,,,,,所以，由,X1=40, X2=40

6、00, X3=5500,,得,,Y1=0,Y2=4000-100=3900, Y3=5000,例,3,：假設某險種的保單規定免賠額為,100,元，保單限額為,9,00,元。假設損失服從,Weibull,分布，,,,,,,求理賠額,Y,P,的分布。,,,解,：設,X,表示實際損失額，,Y,P,表示理賠額，則,,,Y,P,的分布函數和分布密度分別為,,,未定義,,,當,y,＝,900,時，,,,當時，,,,3,、比例分擔,,含義：在保險單中約定一個比例常數，當損失事故中的實際損失額為,X,時，保險公司只賠付,a,X,，,,例如，,a,＝,0.8,,,,,當免賠額、保單限額和比例分擔三者同時存在時,

7、,,未定義,,,三、理賠額的期望,,記號,,,,顯然，,,,設,X,表示損失額，,Y,P,表示每次賠償理賠額，,Y,L,每次損失的賠付額,,免賠額情形：,,,保單限額,,,保單限額、免賠額同時存在,,,比例分擔、保單限額、免賠額同時存在：,,,1,、有限期望函數,,性質,,1.,,,,2.,對于非負隨機變量,X,,,3,、對非負隨機變量,X,,,,證明：,,,,例,4,：設某險種的損失額,X,具有密度函數,,,x,>0,,假定最高理賠額為,u,=4,萬元,,,求理賠額的期望是多少,?,,解,：設理賠額為,Y,，則,,,,由,,,知,,2,、剩余期望函數,,,E,(,X,),，,e,X,(,d,

8、),與,E,(,X,∧,d,),的關系,,,,E,(,X,)=,E,(,X,∧,d,)+,e,X,(,d,)(1-,F,(,d,)),,例,5,：設某險種的損失額,X,具有密度函數,,,假定免賠額等于,0.2,萬元,,,求每次損失事件實際賠付額和每次理賠額事件理賠額,Y,的期望。,,解,,經計算得到,,，且,,,,,,上面的例子可以總結為下面的定理：,,,,定理,,設,X,表示實際損失額，,,免賠額為,d,，,,比例分擔額,a,,,保單覆蓋的最大損失,u,，則每次損失賠付額,Y,L,和賠償的理賠額,Y,的期望分別為,,,,證明：保單覆蓋的最大損失,u,，則最高賠償額為,,,可以表示為,,,所以

9、,,,由于,Y,P,是,X>d,條件下，的值，因此,,,四、通貨膨脹效應,1,、通貨膨脹率已知為,r,,對損失額的影響,,設,X,表示過去時期內損失額,, Z,表示現在或未來時期內的損失額,,,則兩者的關系為,Z=(1+r)X,。容易計算得到,,,對理賠額的影響：,,定理：,設,X,表示實際損失額,,,免賠額為,d,,保單覆蓋的最大損失,u,和比例分擔額,a,,,,通貨膨脹率為,r,,,則明年每次損失賠付額為,,,每次理賠的理賠額為,,,,,例,6,,假設某險種在,2003,年的實際損失額服從離散分布,,。保單上規定每次損失的免賠額為,1500,元。假設從,2003,年到,2004,年的通貨膨

10、脹額為,5,％，,2004,年的免賠額保持不變，求,2004,年的每次損失賠付額的期望是多少。比今年相比，增長率是多少？,,,解,,,今年每次損失的索賠額為,,,,明年每次損失的索賠額為,,增長率為,8,％,,2,通貨膨脹率是隨機的,,考慮模型,Y=CX,,隨機變量,C,和,X,是獨立的,,,C,>1,，,C,表示隨機通貨膨脹,,,一般是主觀預測得來，設其分布函數為,F,C,(c),,密度為,f,C,(c),。若,X,的分布函數為,,,滿足,,，則,,,,容易計算出，明年的損失額的期望和方差為,,,,,這是因為,例,7,預測明年的通貨膨脹率在,2%,到,6%,之間，,,而且低通貨膨脹率的可能性

11、更大。設損失,X,服從均值為,10,的指數分布，,,，求明年損失額的期望。,,,,解,：不妨考慮這樣一個密度函數,,,,其中,,,這個密度函數滿足低通貨膨脹率的可能性更大這個條件。經計算得到,C,的期望和方差為,,,,于是由公式計算得到,,,,第,2,節 理賠次數,,主要內容,1,、母函數與矩母函數,,2,、一張保單的理賠次數分布,,3,、理賠次數的混合分布,,4,、理賠次數的復合分布,,5,、免賠額對理賠次數分布的影響,,1,、,N,的母函數與矩母函數,,設,N,是一個離散隨機變量，取值于,0,1,2,,…,,記,,,其母函數為,矩母函數為,,母函數與矩母函數的關系,,母,(,矩母,),函數

12、性質,,1,、若,N,的母,(,矩母,),函數存在，那么母,(,矩母,),函數與分布函數是相互唯一決定的。,,2,、由母,(,矩母,),函數可以導出矩的計算：,,,請問,,3,、設,N,＝,N,1,+…+N,n,, N,i,相互獨立，則,,二、一張保單的理賠次數分布,,,1,、泊松分布,(Poisson),,對于保險公司而言，客戶因發生損失而提出理賠的人數類似于等待服務現象，因此對大多數險種來說，個別保單的理賠次數可用泊松分布來表示，即在單位時間內個別保單發生理賠次數,N,的分布列為：,,,在單位時間內理賠次數,N,的分布列為,,,泊松分布的性質：,,（,1,）均值和方差,,,（,2,）母函數

13、,,,,（,3,）矩母函數,,,,（,4,）可加性,,定理,1,：設,,,是,相互獨立,的泊松隨機變量，參數分別為,,，則,,服從泊松分布，參數為,,。,,證明：,,,,故,N,服從泊松分布，參數為,,。,（,5,）可分解性,,假設損失事故可以分為,m,個不同類型,C,1,,…,C,m,,E,i,表示第,i,類事故發生。,,p,i,表示第,i,類事故發生的概率，,,N,i,表示第,i,類事故發生的次數，,,N,表示所有事故發生的次數。,,,,,定理,2,：若,N,服從參數為,l,的泊松分布，則,N,1,,N,2,,…,N,n,都是相互獨立的，且服從泊松分布，參數分別是,l,p,i,，。,,證明

14、,：給定,N=n,，,N,i,|n,服從二項分布,B(1,p,i,),，,N,1,,,…,,N,n,服從多項分布,,,因此,,其中,n,＝,n,1,+n,2,+…+n,n,,因此，,,的聯合分布等于,N,i,分布的乘積，,N,i,是相互獨立的隨機變量。,,例,1,：設,N,表示損失事故發生的次數，,X,表示損失額，服從泊松分布，,l,=10,，,X,～,U[0, 20],。問損失額超過,5,的事故發生次數的概率分布。,,,,,解,：令,E,表示事件“損失額超過,5,”,,,,,所以損失額超過,5,的次數服從參數為,10×0.75=7.5,的泊松分布。,,例,2,：假設某險種的個體保單損失,X,

15、的分布為,,,,,,又假設個體保單在一年內發生的損失事件的次數,N,服從泊松分布，,l,＝,200,。,N,i,表示損失額為,i,的損失事件的次數。,,,,（,1,）,,求,,的分布。,,,（,2,）假設免賠額為,1,，求個體保單在一年內發生的理賠事件次數的分布。,,,解,：由于,,，且,N,服從泊松分布，由定理知，,N,i,相互獨立且服從泊松分布。,,參數,l,i,等于,,,計算得到,,,,,,,（,2,）留作課堂練習,,2,、其他常見的理賠次數分布,,（,1,）負二項分布,,其中：,,,負二項分布的性質,,（,1,）當,r,＝,1,，負二項分布退化為幾何分布,,,,（,2,）母函數,,,,

16、注意：我們這里的負二項是廣義的負二項分布，,,r,可以為非整數。,將,,化簡得到,,,（,3,）均值和方差,,,,,（,2,）二項分布,,,性質,,,（,1,）母函數與矩母函數,,,（,2,）均值與方差,,,,,請問：如何從觀察數據簡單區別,,負二項分布、二項分布和泊松分布,例,3,：設有,100,個,40,歲的投保人投保生命險，,q,表示一個投保人明年死亡的概率，問明年死亡人數的分布是什么？,,3,、,(a, b, 0),分布族,,上述,3,種分布都可以用,(a, b, 0),分布來表示,,,定義,：設隨機變量,N,的分布列滿足,,,,,,則稱分布族為,(a, b, 0),分布族,,,,注：

17、泊松分布，二項分布，負二項分布是（,a,b,0),分布族,,泊松分布：,,,負二項分布,,,,,,,因此，,,當,r,＝,1,時，負二項分布是幾何分布，,,,二項分布,,,,,,,例,4,：設,N,是一隨機變量，令,,，如果,,,,,問,N,的分布是什么？,,解：由,,知，,N,服從二項式分布,,,,,練習,：設,X,的分布屬于,(a,b,0),,分布族,，已知,,,求,,,三、理賠次數的混合分布,背景：,,從保單中隨意抽取一份保單，求該保單的理賠次數分布。,,同質性,：指所有的保單相互獨立，且都有相同的風險水平，即各保單的損失額的分布相同，損失次數的分布也相同。,,非同質性,：保單組合中的每

18、個保單風險水平各不相同。表示其風險水平。,,數學模型,,設,Q,是一個隨機變量，當,Q,＝,q,時，,,,令,,為,Q,的累積分布，,u,(q),為,q,的密度函數，,則,N,的分布列為,,,,或者,,,N,的分布稱為混合分布。,,,,例,5,：某司機總體被平均分成兩個類型。每個司機發生車禍的次數都服從泊松分布。第一種類型的司機的平均發生車禍的次數服從（,0.2,，,1.8,）的均勻分布。第二種類型的司機的平均發生車禍的次數服從（,0.5,，,2.0,）的均勻分布。從這個總體中隨機抽取一個司機，求他不發生車禍的概率。,,解,,,混合分布性質,,,1.,母函數,,,或者,,,其中,P,N,(z|

19、,q,),表示在,Q,＝,q,條件下，,N,的母函數。,,2,．均值和方差,,,,,,常見的幾種混合泊松分布,,1,、離散型混合,,對于規模較小的保單組合，假設保單組合由,n,種不同的風險水平構成，泊松參數取值于,,,,，設,,，,,。當,L,＝,l,k,時，保單的損失次數服從參數為,l,k,的泊松分布。則從保單組合中任意抽取一份保單的分布為,,,,,,,,例,6,：假設投保車險的駕駛員可以分為兩類，他們出事的次數服從泊松分布，其中好的一類的泊松參數為,0.11,，壞的一類的泊松參數為,0.70,，好的駕駛員和壞的駕駛員的比例為,0.94,和,0.06,，則任意一個駕駛員出事的次數分布時多少？

20、,,,解,2,、連續型的混合,,對于規模較大的保單組合，可以假設其中的泊松參數服從連續分布。以,u(,l,),表示的密度函數，通常稱為結構函數。則從保單組合中隨機抽取一份保單的損失次數分布為,,,,,,性質：,,,(1),母函數的表達式,,,（,2,）結構函數的唯一性，設,P,1,和,P,2,是兩個混合泊松分布的母函數，分別表示為,,,,,,若,P,1,(z)=P,2,(z),，則,u(,q,)=v(,q),。,,,,,例,7,：設,Q,的母函數為,,,,,,求,N,的分布。,,解,：利用母函數公式,,,,定理,3,：設保單組合中每張保單的理賠次數,N,服從泊松分布，但參數,l,是一個隨機變量

21、，隨每張保單變化而變化。若,l,服從伽瑪分布，,,,，,,,,,則,N,服從負二項分布。,,,,,四、理賠次數的復合分布,,問題：一次損失事故的發生可能會導致多份保單同時發生索賠，如何求索賠次數的分布。,,,例,1,：設從城市,A,到城市,B,的某航線每個月有,70,個航班，假設每個航班有,,的可能性取消，假設每次飛行有,,的概率出事。進一步假設每趟飛機有,200,個座位，每次飛行有,,的就座率和,6,個機組人員，假設出事飛機上的每個人都死亡，并且都買了保險。,,,求每個月此航線的索賠次數的期望和方差。,.,,,,,解：令,S,表示下個月此航線的總索賠次數,,N,表示下個月出行的航班數,,P,

22、表示飛機上的人員數，,M,表示乘客數,,,,,D,表示發生事故的死亡人數，,,則,。,,,定義：設,M,和,N,分別為兩個計數隨機變量，,iid,與,M,的分別相同，則,N,的分布稱為,,的復合分布,,,的分布稱為第一分布，,M,稱為第二分布。,,,,背景：,N,表示單位時間內損失事故的發生數，,,M,表示第,i,個損失事故產生的索賠次數，,,S,表示單位時間內索賠的總次數。,,,,,,S,的性質,,母函數,,,,例,1,：,M,服從泊松分布，,N,服從泊松分布，,,,，,,,例,2,：求例,1,中,S,的母函數：,,,,,,，,,,,均值和方差,,,,例,1,續：求例,1,中,S,的期望和方

23、差,,,,,,,,,,,,,注意：當免賠額存在時，理賠次數不等于損失次數。,,1,、免賠額存在時,,,X,表示損失，,N,L,表示損失次數，,d,表示免賠額，,N,P,表示理賠次數,,，,，,,五、,免賠額對理賠次數的分布的影響,,,例：設某損失事件的損失額有幾種可能,,，發生的概率分別為,,，假設損失事件的次數服從,,的負二項分布，免賠額為,50,，求賠償事件的次數的分布。,,解,,,,,,N,P,服從負二項分布,,,,,,,。,命題,1,,命題,1,：假設,N,L,的母函數,,，其中,B(.),是與參數,,無關的函數，則,N,L,和,N,P,的分布類型沒有變化。,,證明：,,,,,,注：所

24、有的,,分布都保持原來的類型。,,,,,,,,,,,,,,2,、免賠額發生變化時,,設原來的免賠額為,d,，現在免賠額調整為,d*,，請問調整后新理賠次數發生了什么變化。,,記,N,d,,表示免賠額為,d,的理賠次數，,N,d,*,表示理賠額為,d*,的理賠次數，設,v’,表示在免賠額提高后，以前的索賠事件能夠繼續獲得賠償的比例，則,,,令,I=1,表示繼續獲得賠償，,,表示,I=0,不能繼續獲得賠償,,,,當,d,*,>d,時，若,N,的分布為（,a,b,0,），則,N,d,*,分布類型不會發生變化，參數有變化,,當,d,*,