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1、單擊此處編輯母版標題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,西南財經大學,省級精品課程,經濟管理數學分析課題組版權所有,請勿外傳,1,第十六章 多元函數的極限與連續,2,二元函數的極限,3,二元函數的連續性,1,平面點集與多元函數,經濟管理數學分析,2,1,平面點集與多元函數,第十六章 多元函數的極限與連續,3,一 平面點集,1.,平面點集的基本概念,(P85),第十六章多元函數的極限與連續,1,平面點集與多元函數,4,2.,點與點集的關系,(按內外關系),:,第十六章多元函數的極限與連續1 平面點集與多元函數,5,x+y,=0,x,y,O,如圖,D,1,例如,,平
2、面點集,D,1,=(,x,y,)|,x+y,0:,易見,直線上方每一點,都是,D,1,的內點.,但直線上的,點不是,D,1,的內點.,第十六章多元函數的極限與連續1 平面點集與多元函數,6,x,y,O,x,2,+,y,2,=1,1,1,D,2,易知,圓內部的每一點都是,D,2,的內點.但圓周上的點不是,D,2,的內點.,又如,,平面點集,D,2,=(,x,y,)|,x,2,+,y,2,1,,,如圖:,第十六章多元函數的極限與連續1 平面點集與多元函數,7,其中,CE,=R,2,E,是,E,關于全平面的,余集,,,E,的全體界點所成集合稱為,E,的,邊界,,,記作,E,.,例如,,平面點集,D,
3、1,=(,x,y,)|,x+y,0,的邊界是直線,x,+,y,=0,上,點的全體.平面點集,D,2,=(,x,y,)|,x,2,+,y,2,1,的邊界是單位圓周,x,2,+,y,2,=1,上的點的全體.如圖所示:,第十六章多元函數的極限與連續1 平面點集與多元函數,8,x,y,O,1,1,x,2,+,y,2,=1,D,2,x+y,=0,x,y,O,E,的界點可以是,E,中的點,也可以不是,E,中的點.,D,1,例如,,平面點集,D,1,=(,x,y,)|,x+y,0,的邊界是直線,x,+,y,=0,上點的全體.平面點集,D,2,=(,x,y,)|,x,2,+,y,2,1,的邊界是單位圓周,x,
4、2,+,y,2,=1,上的點的全體.如圖所示:,第十六章多元函數的極限與連續1 平面點集與多元函數,9,從幾何上看,所謂,A,是,E,的聚點是指在,A,的附近聚集了無限多個,E,中的點.即在,A,的任意近旁都有無限多個,E,中的點.,A,如圖所示,3.,點與點集的關系,(按疏密關系),:,第十六章多元函數的極限與連續1 平面點集與多元函數,10,D,1,的界點是,D,1,的聚點,但它不屬于,D,1,;,D,2,的界點是,D,2,的聚,點,但它屬于,D,2,.,例如,平面點集,D,1,=(,x,y,)|,x+y,0和,D,2,=(,x,y,)|,x,2,+,y,2,1,如圖所示:,x,y,O,1
5、,1,x,2,+,y,2,=1,D,2,x+y,=0,x,y,O,D,1,第十六章多元函數的極限與連續1 平面點集與多元函數,11,第十六章多元函數的極限與連續1 平面點集與多元函數,12,例如,,平面點集,D,1,=(,x,y,)|,x+y,0是開集,.平面點集,D,2,=,(,x,y,)|,x,2,+,y,2,1,不是開集.,x,y,O,E,一般地,,E,如右圖所示:,若,E,不包含邊界,則,E,為開集.,若,E,包含邊界,則,E,不是開集.,4.,一些重要的平面點集,第十六章多元函數的極限與連續1 平面點集與多元函數,13,如圖,X,Y,E,連通,Y,X,E,不連通,例如,平面點集,D,
6、2,=(,x,y,)|,x,2,+,y,2,1,是閉集.,第十六章多元函數的極限與連續1 平面點集與多元函數,14,從幾何上看,閉區域是連成一片的,包括邊界的平面點集.,從幾何上看,所謂,E,是連通集,是指,E,是連成一片的,,E,中的,點都可用折線連接.,例如,,平面點集,D,1,=(,x,y,)|,x+y,0和,D,2,=(,x,y,)|,x,2,+,y,2,1,都是連通集.,例如,,平面點集,D,2,=(,x,y,)|,x,2,+,y,2,1,是閉區域.,第十六章多元函數的極限與連續1 平面點集與多元函數,15,例如,,平面點集,D,1,=(,x,y,)|,x+y,0,是無界集,它是無界
7、開區,域,而平面點集,D,2,=(,x,y,)|,x,2,+,y,2,1,是有界集,它是有界閉區域.,第十六章多元函數的極限與連續1 平面點集與多元函數,16,第十六章多元函數的極限與連續1 平面點集與多元函數,17,第十六章多元函數的極限與連續1 平面點集與多元函數,18,點集,D,定義域,,,值域,.,x,、,y,自變量,,,z,因變量,.,函數的兩個要素:,定義域、對應法則.,第十六章多元函數的極限與連續1 平面點集與多元函數,19,與一元函數相類似,對于定義域約定:,定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切點集.,解,所求定義域為,第十六章多元函數的極限與連續1 平面點集與多元函數,其
8、中,D,為有界半開半閉區域.,20,二元函數,z,=,f,(,x,y,),的,幾何意義,如圖所示,設函數,z,=,f,(,x,y,),的定義域為,D,,對于任意取定的,(,x,y,),D,,,對應的函數值為,z,=,f,(,x,y,),.,以,x,為橫坐標、,y,為縱坐標、,z,為豎坐標在空間就確定一點,M,(,x,y,z,),,當,(,x,y,),取遍,D,上一切點時,得一個空間點集,(,x,y,z,)|,z,=,f,(,x,y,),(,x,y,),D,,,二元函數的圖形,通常是一張曲面.,第十六章多元函數的極限與連續1 平面點集與多元函數,21,例如,1.,z,=,ax,+,by,+,c,
9、一張平面,,如圖,O,x,y,z,球心在,(0,0,0),,半徑為,R,的上半球球面,S,,如圖,R,O,x,y,z,S,第十六章多元函數的極限與連續1 平面點集與多元函數,22,頂點在原點,位于,xoy,面上方 的園錐面,S,O,x,y,z,S,O,y,z,x,S,雙曲拋物面,(馬鞍面),S,注 與例4(P91)的區別,第十六章多元函數的極限與連續1 平面點集與多元函數,23,第十六章多元函數的極限與連續1 平面點集與多元函數,24,習題:P921習題 1,2,6,8題,第十六章多元函數的極限與連續1 平面點集與多元函數,25,*齊次函數,二元,k,次齊次函數:,(,t,R,,,k,常數),例如:,一次齊次函數,二次齊次函數,(,+,)次齊次函數,(Cobb-Douglas生產函數),一般地,生產函數通常假定為齊次函數,當,k,=1,時,稱規模報酬不變或固定規模報酬,(產出與生產規模成比例);,當,k,1,時,稱規模報酬遞增;,當,k,1,時,稱規模報酬遞減.,第十六章多元函數的極限與連續1 平面點集與多元函數,26,