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1、單擊此處編輯母版標題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,#,1,表象,:,量子力學中的態和力學量的具體表示方式稱為表象,4.1,態的表象,一個粒子的態完全可由歸一化的波函數,(,r,t,),來描述，將,(,r,t,),稱為,坐標表象,。下面將討論用動量為,變量,描述波函數。,c,(,p,t,),為展開系數，,p,(,x,),是動量的本征函數,2,c,(,p,t,),和,(,r,t,),描述的是粒子態同一個狀態，,(,r,t,),是這個狀態在坐標表象中的波函數，而,c,(,p,t,),為同一狀態在動量表象中的波函數。,表示在,所描寫的態中測量粒子動量所,結果在 范圍內
2、的幾率,如果,(x,t),描述的狀態是具有動量,p,的自由粒子的狀態,3,在動量表象中，具有確定動量,p,的粒子波函數是,函數。,同樣，在坐標表象中，具有確定坐標,x,的粒子波函數也是,函數。,4,解：首先對波函數進行歸一化,例題：一維粒子運動的狀態是,求：（,1,）,粒子動量的幾率分布；,（,2,）粒子的平均動量,5,動量的幾率分布為,6,動量的平均值為,另一種解法,7,考慮任意力學量,Q,本征值為,1,2,n,對應的本征函數,u,1,(x),u,2,(x),u,n,(x),則任意波函數,（,x,）按,Q,的本征函數,展開為,如果,（,x,）和,u,n,(x),都是歸一化的，則,8,所以,在
3、,（,x,）所描寫的量子態中測量,力學量,Q,所得的結果為,Q,n,的幾率,數列,就是,（,x,）所描寫的量子態中在,Q,表象中的表示,9,共軛轉置矩陣,波函數的歸一化表示成,10,如果力學量,Q,除了有分立的本征值，還有連續的本征值，則,其中,歸一化可表示為,11,直角坐標系中，矢量,A,的方向由,i,j,k,三個單位矢量基矢決定，大小由,A,x,A,y,A,z,三個分量（基矢的系數）決定。,在量子力學中，選定一個,F,表象，將,Q,的本征函數,u,1,(x),u,2,(x),u,n,(x),看作一組基矢，有無限多個，大小由,a,1,(t),a,2,(t),a,n,(t),系數決定。,常用的
4、表象有坐標表象、動量表象、能量表象和角動量表象,所以，量子力學中態矢量所決定的空間是無限維的空間函數，基矢是正交歸一的波函數。數學上稱為希爾伯特（,Hilbert,）空間,.,12,例 質量為,m,的粒子在均勻力場,V,(,x,),Fx,(,F,0),中運動，,試在動量表象中粒子的波函數。,解,：,在動量表象中，坐標,x,的算符表示為,13,定態的薛定諤方程,動量表象中粒子的函數,變到坐標表象中，則波函數為,14,其中,（,Ariy,函數）,15,4.2,算符的矩陣表示,在,Q,表象中，,Q,的本征值分別為,Q,1,，,Q,2,，,Q,3,，,Q,n,對應的本征函數分別為,u,1,(x),u,
5、2,(x),u,n,(x),.,將,(x,t),和,(x,t),分別在,Q,表象中按,Q,的本征函數展開,16,兩邊同乘以,并在整個空間積分,利用本征函數,u,n,(x),的正交性,17,引進記號,這就是,在,Q,表項中的表述方式,表示成矩陣的形式：,得,18,矩陣,F,nm,的共軛矩陣表示為,因為量子力學中的算符都是厄米算符，,即,將滿足該式的矩陣稱為,厄密矩陣,19,若在轉置矩陣中，每個矩陣元素用它的共軛復數來代替，得到的新矩陣稱為,F,的共軛轉置矩陣，簡稱為共扼矩陣,F,nm,的轉置矩陣為,根據厄密矩陣的定義,所以,20,例 求一維無限深勢阱中（寬度為,a,）粒子的坐標和動量在能量表象中
6、的矩陣元,解：在能量表象中,能量的本征值及本征函數為,21,22,Q,在自身表象中的矩陣元,Q,m,為,Q,在自身空間中的的本征值,結論：算符在自身的表象中是一個對角矩陣,23,如,x,在坐標空間中可表示為,動量,p,在動量空間中表示為,一維諧振子能量表象中能量的矩陣元,24,如果,Q,只具有連續分布的本征值,q,，那么算符,F,在,Q,表象中依然是一個矩陣：,這個矩陣的行列不再可數，而是用連續變化的下標來表示,在動量表象中，算符,F,的矩陣元為：,其中,p,(,x,),是動量的本征函數,25,4.3,量子力學公式的矩陣表述,1.,平均值公式,26,寫成矩陣形式,簡寫為,27,2.,本征值方程
7、,在量子力學中最重要的問題是找算符的本征值和本征函數。,首先，算符,F,的本征函數滿足,28,有非零解的條件是其系數行列式為零,這是一個線性齊次代數方程組,這是一個久期（,secular,）方程。將有,1,，,2,.,n,n,個解，就是,F,的本征值。,29,3.,矩陣形式的薛定諤方程,薛定諤方程,不顯含時間的波函數的,能量表象,波函數根據哈密頓本征函數展開,代入薛定諤方程,30,兩邊同乘以,并積分,簡寫為,H,均為矩陣元。,31,例題：求在動量表象中線性諧振子的能量本征函數,線性諧振子的總能量為,解法一：在動量表象中，,x,的算符表示為：,則,H,算符表示為,定態的薛定諤方程寫為,32,c(p),是動量表象中的本征函數,仿照一維諧振子坐標空間的求解方法可解出,c(p),。,33,例：設已知在 和 的共同表象中，算符 的矩陣為：,求 的本征值和歸一化的本征函數，最后將矩陣 對角化,解：設 的本征態為,其本征方程為：,34,即,分別有,35,欲求 的非零解，其系數行列式為零：,得,36,是 的本征值,把解得的,值代入本征方程，可以得到,a,1,，,a,2,，,a,3,值,本征態為,本征態為,37,本征態為,矩陣 對角化矩陣為,38,習題：第,130,頁,1,、,2,、,3,、,4,
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