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1、*股票價格的期權定價模型分析李嘯宇（南京信息工程大學數學與統計學院 南京 210044）摘要：在 2000 年之后，證券交易在世界范圍內得到良好發展，隨之產生的就是期權問題，投資消費問題開始得到我國數學家與金融學家的關注，對金融衍生證券開展高效科學的估價，是目前高效管理且避免風險的重要方式，是金融衍生證券正常運作和長久發展的核心。期權定價的分析主要是在大量衍生證券定價模型中進行，現實因素是：（1）期權定價簡單易行。（2）若干期權合約就可以構建成新的證券組合，通過對期權定價，可以更容易對證券組合定價。（3）對于多種證券來說，定價原理本質重點相同，所以，利用分析期權定價，也許可以尋找到證券定價的一
2、般性結果。本文對若干期權定價問題進行研究，試圖得到一些實用的數學結論，并且能夠展示數學與金融之間的辯證關系：一方面，數學是金融研究的一個強大的工具，另一方面，金融實踐推動數學理論本身的發展。論文共分為三章:第一章敘述期權定價理論的發展與定價主要方式：第二章敘述股票具體定價方式；第三章是對全文的總結。關鍵詞:股票 期權定價 證券組合Option pricing model of stock price analysisLi Xiao-YuCollege of Mathematics and Statistics,NUIST,Nanjing 210044,ChinaAbstract:Since 2
3、000,on a global scale to obtain rapid development of stock exchange,the subsequent rights as scheduled,investment spending more and more cause the attention of domestic mathematicians and financial economists,a reasonable valuation,financial derivatives accurately is the precondition of effective ma
4、nagement and risk aversion,a reasonable existence and healthy development of financial derivatives.The study of option pricing is the most widely studied in the pricing model of many derivative securities,because:(1)option pricing is simple and easy.(2)a number of options contracts can be built into
5、 a new portfolio,which can be more easily priced through the pricing of options.(3)for all kinds of securities,the pricing principle is the one that changes from one to another.Therefore,by studying the pricing of options,it is possible to find the general conclusion of securities pricing.In this pa
6、per,the number of option pricing problem is studied,trying to get some practical mathematical conclusion,and be able to show the dialectical relationship between mathematics and finance:on the one hand,mathematics is a powerful tool of financial research,on the other hand,the financial practice to p
7、romote the development of mathematics itself.The thesis is divided into three chapters:chapter one introduces the development of option pricing theory and the basic method of pricing:the second chapter introduces the pricing method of stock options.The third chapter is the summary of the full text.K
8、eywords:Stock Option pricing Portfolio第一章 課題背景與相關理論1.1 課題背景與意義 改革開放使得在中國大陸上沉寂了 20 年之久的證券市場重新崛起，隨著 90 年代上海交易所與深圳交易所的成立以及鄧小平同志的南巡，中國股市開始迅速擴張，這是中國金融市場新的開始。但是,伴隨著金融市場全球化，金融事件如經濟危機，泡沫經濟等也都在給全球的經濟帶來難以估量的傷害。可以說，股價的合理性對國家的經濟繁榮尤為重要，也牽扯到平民百姓的損益。這是本論文的出發點希望借以分析股票的期權定價模型來探索股市的規律性。1.2 早期模型1.2.1 期權的含義期權，簡單地說就是一個訂
9、貨合同，我們用一個例子來說明。甲希望在一年以后購得某品牌新上市的手機 A，甲認為該手機新上市時會以 8000 元出售，超過了甲的承受范圍，同時，有乙認為，該手機新上市時會以 6000 元出售，那么這時甲乙同意簽署一份合同（即期權），且甲向乙支付期權費用，該合同規定，當手機上市時，甲有權利以 7000 元的價格從乙處購買手機 A，但是甲不具備買入的義務。這是最簡單的期權模型，我們也可以規定將“買入”改為“賣出”，不變的只是支付期權費用的人是有權利而無義務的。1.2.2 期權定價模型的發展 股市有風險，投資需謹慎。正是這種風險顯示了期權的價格，長久以來，人們一直致力于研究如何用各種不確定因素估計標
10、的資產的風險。早在 20 世紀初，法國數學家路易斯在他的投機理論中就提出了對絕對的布朗運動的股票價格2（股價的變動也是一個隨機過程，其變化過程可以用布朗運動來模擬）的估值模型，對于買方而言，其期權的價值為：XSXSXXSSV(1-1)dxe21y2x-y-2 ,2y-2e21y因為理論并未關注到正值貨幣的時間價值，投資者對風險的接受程度，所以該理論也只能作為定價模型的基石。1964 年，波內斯提出了在固定對數分布下的股票收益，給出了以下定價公式：)21(/lne)21(/ln22XSXXSSV(1-2)此處，表示股票預期收益率。1965 年，薩繆爾森尋找到歐式買方期權17的定價模型，思考到期權
11、需要具備相對高的預期收益率，此模型主要公式為：)21(/lne)21(/lne22-XSXXSSV(1-3)通過觀察（1-2）（1-3）可知，波內斯模型就是薩繆爾森模型在=時的特殊情況3-7,11。這些理論,為Black-Scholes定價理論的發展尋找到正確方向,還對日后的各項定價理論的發展起到了決定性的作用。第二章 現代期權定價模型2.1 Black-Scholes 模型1973 年，Black與Scholes指出Black-Scholes模型15(此后叫做B-S模型），另外，Merton8在很多方面做出了重要推廣。上述專家在股價服從對數正態分布的假定下，使用無套利理論，推測出不付紅利的歐
12、式期權的定價模型：2-r1dXe-dSV(2-1)其中：2121r/lndXS-d21-r/lnd122XS我們已經知道，在清算日，買入期權的支付為XSCTT,0max，我們只要求出TC的期望，我們就可以通過利率貼現，求出現在的期權價格，即：TtTrCEetSc,(2-2)因 此 突 破 口 在 于 計 算 出TCE。取P是XST的 概 率，那 么，01|PXXSSEPCETTT,即XXSSEPCETTT|(2-3)該問題最終歸結為求解P和XSSEPTT|。接下來我們來求解這兩個量。（1）求P。因為0 XST,有XSTlnln和SXSSTlnlnlnln，SXSST/ln/ln，故有SXSSo
13、bXSobPTT/ln/lnPrPr(2-4)在風險中性基礎上，r，基于 Black-Scholes 之假定，SST/ln服從正態分布，此外其期望與方差主要是：221lnrSSET 及 2lnSSDT其中tT-。所以，隨機變量221lnrSST服從標準正態分布。2221ln21lnPrrobrSXrSSobXSPPTT(2-5)如果記2121lnrXSd ,12dd。221121121lnPrddddrSSobPT(2-6)由于TTerSS221exp服從對數正態分布。分布密度函數 2221exp21VLELVSSfTT。其中:TSLln，221lnrSLE，22LDV故 TXTrTXTrTX
14、TTTrTXTTTTTdSVVLELVSSedSVLELLELVSSedSSfSrSSeSdSfSXSSEP2222221exp2121exp2121explnexplnexp|作變量替換：VVLESVVLELyT22ln(2-7)有：TTdSVSdy1，且當TS時，y，而當XST時，12lndVVLEXyy可以得到：12121exp21|dSeySedyySeXSSEPrryrTT(2-8)故：2121|,dXedSXddSeeXPXSSEPetScrrrTTrBlack-Scholes的核心理論是,人們對風險持有的態度并不能影響期權的有效價格,就是估值方式和股價期望收益率沒有關系,它僅依賴
15、于一些可觀測變量,如:S(股票現價)、r(無風險利率)和(股票的價格波動率)(股價的波動率可以根據大量的歷史數據估計得到)、X(股票的執行價格)、(到期期限),這就使得Black-Scholes公式的使用條件得到了很大的簡化16。2.2 二項式定價法二項式期權定價法(二叉樹法)是由Rubinstein等人提出的一種數值計算法9。2.2.1 單期二項式期權模型假定：股票在期初與期末時刻的價格主要是S、1S。記起初時刻的期權價值為 C。那么S 與 C 在期末時有如下表示：XSCd,0maxdXSuCu,0maxPSuCSXSdCd,0max1-PSdXSuCu,0max現在我們可以構建一個如下組合
16、：對任意 S1，由于是套期保值組合，故存在等式：duc-dmc-umSS解出：Sd-uc-cmdu(2-9)又有：urc-umem-cSST(2-10)其中，r是無風險利率，T是期初到期末的時間長度(以年為單位)。由(2-7)與(2-8)可得duucdccuducceducduudurTduc-c(2-11)解出：drTurTrTcdueucdudeec又因為：TSSEr1e)(則:SdppSu1SerT即dppuT1er(2-12)可得dudeprT得出單期看漲期權的二項式期權定價公式:1durTcppcec(2-13)2.2.2 n期看漲期權的二項式期權定價公式將單期看漲期權的二項式期權定
17、價公式當做前提，此時把二項式期權定價公式使用到多期(此處常用條件是du1)。下圖是兩期股票價格二叉樹圖且有：XSucuu2,0maxXSudccduud,0maxXSdcdd2,0max直接利用單期看漲期權的二項式期權定價公式，可得1uduutrucppcec(2-14)1dddutrdcppcec(2-15)其中，t是每一期的時間長度(以年為單位)。再對uc，dc運用單期看漲期權的二項式期權定價公式，可得：112222dduduutrcpcppcpec (2-16)主要是兩期看漲期權的二項式期權定價公式。利用兩期模型可以很容易的推廣到n期，思考買入n期到期的看漲期權，股票當前價格是，而不同周
18、期內股票漲價或降低的概率p，1-p和u,d值均類似，那么每期股票的價格主要被劃分成兩類，如此，在n期末，股票價格nS的全部可能取值是inidSu,i=0，1，n，并且nS=inidSu的概率為：inippinin1!按照推導兩期模型的思路，從第n期開始向前遞推，可以得到n期看漲期權的二項式定S2SuSud=S2SdSuSd價公式:niiniinitnrXdSuppininec00,max1!(2-17)二項式期權定價的重點是u與d的明確，在現實使用中，假如當前時刻是t,期權到期日是T，就可以把期權有效期T-t劃分成n個時間周期，不同周期長度是t(將年當做單位)，無風險利率是r，股票波動率是,那
19、么可以讓teu,ted(2-18)因為二項式期權定價模型主要使用離散化形式來處置價格，因此在期權和約期內，上述模型需要思考股利發放狀況。此外，在樹狀結構結束之后，了解期權到期的全部價值，可以推測出以前結點的價位，且統計出價格樹上所有結點的理論意義。在所有結點，可對比一直持有和馬上執行的價值，進而挑選最佳值。不只能得到所有點的正當價格，此外還能了解最佳期權執行時間。因此此模型還能使用在美式期權統計中。為了讓此定價模型統計的數據更加精準，必須讓n取相對高的數值。但是在n提高時，所要統計的任務也會隨之增多。n一直變大最終趨向到無窮大的時候。二項式模型與Black-Scholes期權定價模型全部相同。
20、在Black-Scholes期權定價模型遭受約束或者和現實狀況有明顯差異時使用二項式模型就可以得到較好的效果。2.3 Monte-Carlo模擬方法Monte-Carlo模擬方式14還是重要的數值統計方式，能對歐式衍生證券開展估值。上述方式可以處理相對雜的問題，此外統計相對效率好，其主要由初始時刻的期權值推導此后時刻的期權值，主要使用在歐式期權中。Monte-Carlo模擬方式的主要理論是:假定了解標的資產價格的分布函數，之后將期權的有效期限劃分成眾多較小的時間間隔，通過計算機的功能，需要從分布樣本內隨機選擇來模擬不同時間間隔股票價格的變化與股票價格也許會出現的運行路徑，如此就能統計出期權最終
21、價值。上述結論可被當做所有可能終值集合內的隨機樣本，使用上述變量的其他路徑可得到其他的隨機樣本。通過較多的樣本路徑就能得到較多的隨機樣本。不斷反復無數次，得出T時刻期權價格的集合，對眾多隨機樣本開展大致的算術平均，可以得出T時刻期權的預期收益。依照無套利定價理論，將此后T時刻期權的預期收益Xr使用無風險利率折現就能得到目前時刻期權的價格:TrTXEeP(2-19)此處，P代表期權的價格，r代表無風險利率，目前時刻是 0，TXE是T時刻期權的預期效益。Monte-Carlo模擬方式主要使用在對標的股票標準差是隨機變量的期權開展研究2124，股票價格與標準差的路徑全部被模擬。任意時間的標準差之值，
22、影響被抽樣股票價格的概率情況。此方式的主要優點則是其可以使用在標的資產的預期收益率與波動率的函數形式相對繁瑣的問題中，此外模擬運算時間伴隨變量個數的增加呈線性增長，其運算是比較有效率的。然而，此方式的不足主要是必須被使用在歐式期權中，而無法被使用在能提早執行合同的美式期權。并且蒙特卡羅模擬方法的結果的精度依賴于模擬運算次數。Monte-Carlo模擬可以和二叉樹圖方法結合起來為期權定價。在樹圖構造完成之后，能夠從樹圖內隨機選擇路徑樣本。不同的是我們這次不是從后往前倒推，而是順著樹圖往后推?；痉椒ㄈ缦?在首個結點我們選擇 0 到 1 范圍內的隨機數，假如上述隨機數低于P，此時需要選擇上升分支，
23、否則就要選擇降低分支。達到下個結點之后，繼續重復以上過程，一直到達樹圖底端，之后可統計此選定路徑的期權盈虧值，如此就可以結束首次模擬。反復以上所有環節，開展數次模擬。此時把全部盈虧值按照無風險利率開展貼現之后得到平均值，也就是期權價格計值。第三章 股票期權的定價方法在之前的長久時間內，股票定價觀點出現明顯的改變與進步，一直并未出現被大眾認可的定價方式。之前的定價方式認為股票的內在價值等于該股票持有者在經營期內預期得到的股息收入按一定折現率計算的現值。最初股票定價模型是 John B.Williams 在 1938 年設計的，主要內容是:122111111iiinnDDDDS(3-1)此處，S
24、是目前股票價格，iD是第 i 期期末現金股息，是期望收益率，其等于無風險利率以及風險補償率。1962 年，Myron J.Gordon 在以上模型前提下，設計股息折現模型。假定：股息以預期的穩定增長率發展，此時(3-1)式則是:10022011011111111iiinnDDDDS(3-2)在 的基礎上，公式被簡化成12:10-1DDS (3-3)可以看出，傳統模型的構造是完全符合邏輯的，但是也存在如下弊端：的值和無風險利率與風險補償率有關，后者和眾多不明確的隱藏投資者的風險偏好有關，故 難以準確估算。準確的預計未來很長時間內支付的現金股利非常困難。而對于股息折現模型，其在 時是沒有意義的。切
25、對的估計很難精確。因此，除了在簡化模型中用于檢測，傳統方法很難進行實用。3.1 股票的期權定價方法 3.1.1 權益資本的期權特征10 假定：V 表示公司價值，X 表示公司負債，那么在到期日，會有如下情況：V X,公司不僅能覆蓋債權人的債務，其超過部分還歸股東所有。這種情形如圖所示:類比可知，公司的資產好比一個看漲期權，在經營周期期末，若有 VX，股東將行權，其盈利為 V-X;若有 V X 或 V=X，股東將放棄行權，股東會虧損買入股權的費用20。3.1.2 期權定價模型 根據之前的敘述，即便企業股票屬于看漲期權，顯然可以通過看漲期權的定價模型來統計股票綜合價值，只需要了解總股數，每股價格就可
26、以順利了解到。接下來深入分析怎樣使用 Black-Scholes 期權定價模型確定股票價格27。根據 Black-Scholes 期權定價模型，主要公式是:21dXedSctTr(3-4）其中tTtTrXSd2121ln，tTdtTtTrXSd12221-ln dxeyyx-2221，是標準正態分布函數，把上面模型中的變量重新定義:我們可以直接代入（3-4）式進行計算，得到的 C 就是公司股票的總價值。3.1.3 模型參數的估計 在采用 Black-Scholes 模型時可知，S、X、r、T 都是可以直接得到或者精確估計的，那么問題的關鍵就是如何準確預估行業價值的波動率。企業此后市場價值的年波
27、動率的明確。公司價值V股東損益0-CXBlack-Scholes 期權定價模型假設股票價格的對數符合正態分布，此時價格波動率就是股票年收益率的標準差，且假設波動率在期權有效期內不發生改變。一般來說波動率統計是在大量信息前提下開展估計，在此處明顯可通過企業價值的之前評估值來明確年波動率。確定下述定義符號:n+1 代表觀察次數，iS代表在第 i 個時間間隔末的企業價值評估值，代表間隔長度(將年當做單位)，之后讓1/lniiiSSu，此時 i=1,2,n。由于iuiieSS1，所以iu就是第 i 個時間間隔后的連續復利收益(并不是以年為單位的)。iu的標準差 S 通常估計為:niiuuns1211(
28、3-5)或 21121111niniiiunnuns(3-6)其中u為iu的均值。因為iu的標準差是，其中變量 s 是估計值，因此自身就是被預估成*s，此處ss*，因此估計標準誤差類似于ns2*。3.2 股票的期權定價應用實例23下表確定某企業在 1997 年 4 月到 2002 年 6 月底二十個季度的企業價值評估值。季度公司價值評估表（千萬元）公司評估價值比率（1-/iiSS）每季收益1/lniiiSSu每季收益平方2iu020120.1251.006250.006230.00004219.8750.98758-0.012500.0001563201.006290.006270.00004
29、420.51.025000.024690.00061520.250.98781-0.012270.00015620.8751.030860.030400.000924720.8751.000000.000000.00000820.8751.000000.000000.00000根據(3-6）式，可以計算出公司價值季度收益率標準差的估計值是：0123.038009531.01900333.02s由于=1/4 年，則波動率的估計值是：0246.04/10123.0*ss所以該公司價值波動率的估計值是每年 2.46%，這個估計值的標準誤差是：0.003892020.0246或每年 0.389%。公司
30、資產負債表(2002 年 6 月 30 日）18單位：千萬元資產負債及所有者權益流動資產5.43流動負債3.62固定資產12.24公司債券12.00其他資產4.33股東權益6.38資產合計22.00負債及權益合計22.00上述是此企業在 2002 年第二季度底的大致資產負債表，企業下發的債券到期時間是2006 年 6 月底，綜合面值是 1.2 億元，年息按照 11%下發，到期日還本付息數值是:217.18%111124X(千萬元)。己知該公司在 2002 年 6 月 30 日的評估價值是 22 千萬元，去除其余短期負債后企業價值 是 S=18.38 千 萬 元(22-3.62=18.38)。假
31、 定 無 風 險 年 利 率 r=10%,那 么 依 照Black-Scholes 定價公式，可統計得到:920.750.99401-0.006010.000036020.751.000000.000000.0000011211.012050.011980.000141221.1251.005950.005930.0000351320.8750.98817-0.011900.000141420.8751.000000.000000.000001521.251.017960.017800.000321621.3751.005880.005870.0000341721.3751.000000.00
32、0000.000001821.250.99415-0.005870.0000341921.751.023530.023260.0005420221.011490.011430.00013合計0.095310.0033322.240246.040246.0211.0217.18/38.18ln21ln221tTtTrXSd17.240246.022.212tTdd 9868.022.21 d9850.017.22 d 11.69850.0217.189868.038.1841.021edXedSctTr負債率：（12.00+3.62）/22.00=71%假如企業準備下發的綜合股數是 100 萬，
33、那么每股價格是 61.1 元。根據上述案例可知，即便企業總負債率為 71%，然而企業價值變化不大，運作業績平穩，企業在債券到期時執行看漲期權的可能性是 98.5%，也就是企業有很高的概率支付債務，破產概率很低26。3.3 與蒙特卡洛模擬的對比為了說明 B-S 模型的準確性，我們采用一種傳統方法來與 B-S 模型所得到的結果來進行比較。從前面的介紹我們可以知道，二叉樹是最容易理解的方法，但是為了使二叉樹模型得到精確的結果，我們不得不使 n 取一個很大的數，然而當 n 增加時，所需要計算的步驟將呈幾何級數增加，很難操作。并且 n 越來越大時，會越來越趨近于 B-S 模型，這種驗證是沒有意義的。而蒙
34、特卡洛模擬法和 B-S 模型是完全不同的兩種思路，同時可以借助 matlab進行快速的計算，且不會因為維數而影響誤差，相比之下，我們選擇蒙特卡洛模擬法來與 B-S模型比較。我們還是采用上表的數據，選擇第四季度為起始時間，由原始數據，該季度公司股價為4.85（用 B-S 模型估計出來的股價為 4.839，吻合良好）。接下來，我們用 matlab 來估計股價：首先，我們把股票的有效期限分為若干個很小的時間間隔，這里我們選擇將其定義為dt=1/365。確定無風險利率 r=0.1，這和用 B-S 模型時市場的無風險利率是一致的。第三步，計算市場的波動率,這里用到的方法和 B-S 模型中第一步用到的方法
35、是相同的，只需要帶入第四季度的數據計算即可。過程也非常簡單，易知波動率 sigma=0.0304。同時確定從起始日到到期日的時間間隔為 nDays1=1440，這里的單位是天?，F在我們要構造蒙特卡洛模擬，確定三個循環：首先是由起始日到到期日中的每一天我們都要進行模擬。這是第一個循環：For nDays=1:nDays1其次，每一天中要選擇若干個運行路徑，并且利用這些路徑產生符合正態分布的隨機矩陣。本例中我們確定路徑數是 1000 條。這是第二個循環：for j=1:nTrailsn=randn(1,nDays)最后要確定每一天的股價，從而依次確定其后的股價，直至到期日。這是第三個循環：for
36、i=1:nDays ds=s*（expTerm+stddev*n(i)確定三個循環之后，即我們經過幾千次的重復實驗之后，得到到期日時刻股票價格的集合，對這些隨機樣本進行簡單的算術平均就可以得到到期日當天的股票價格了。完整的蒙特卡洛模擬模型如下圖：經過模擬我們得到了如下所示的到期日當天的股價集合：通過取出這些股價的算術平均值，我們得到如下的股價：很容易看出，由蒙特卡洛模擬得到的最終的股價是在59.2,59.7波動，由期權定價法得到的股價是 61.1，兩個結果較為吻合。從上面的構造過程可以看出，蒙特卡洛模擬最后是簡單的取得集合的算術平均值，這對最后結果的準確性是有影響的，因為任一時刻投資者對股價影
37、響的大小是不同的，所有這些影響都會使得股價的變動趨向于某個方向，在股價趨向于某個方向后，投資者的行為對股價的影響又會改變，這種影響我們可以看作是一種較為定向的影響，而不再是隨機的影響，因此蒙特卡洛模擬在處理股價問題上時雖然過程簡單，但結果仍然不是非常準確的，在沒有對蒙特卡洛模擬法進行改進、時期較長或 B-S 模型沒有受到限制時，B-S 模型應該是一個更好的選擇。第四章 反思與展望回顧整篇文章，運用到了如下幾種方法：歷史研究方法。通過回顧期權定價理論的歷史，發現期權定價理論發展的規律以及對股票期權定價方法的借鑒意義。定性與定量相結合研究方法。論文中在重視股票價格的定性描述的同時，著重強調對定量研
38、究方法的探討和運用，通過實例說明了 Black-Scholes 模型確實可以運用到股票定價上。共性與個性的比較研究。期權理論具有一般性，論文在系統描述期權理論和方法發展的同時，強調股票期權定價的特殊性。至此，我們已經成功的把 Black-Scholes 模型運用到了股票定價中，但是以上過程都是基于市場上已知的信息，換句話說，B-S 模型只是用于對股價的檢驗，查看公司對股票的定價是否合理、投資者對市場的影響是否已經導致了市場失靈。那么我們能否將 B-S 模型運用到股價的預測上呢？對于這一問題，理論上是不可以的。首先我們要清楚，對股價的預測是以人為主體的，“人”這個變量本身就是不可測的，人的情緒、
39、人所具有的知識體系都影響著人對股價的預測。借用索羅斯的觀點，即便預測股價這一行為本身具有一定的可行性，對其進行預測這一行為本身就會對股價產生影響最重要的是，這種影響是無法預測的。如此一來，就會導致對股價的預測是不可行的?？傊?，股票投資是一個大眾選美的過程，除非你能左右大眾的思想，否則，你想準確預測股票的價格是非常困難的。雖然就目前而言預測股價是一個“不可能事件”，但是結合行為經濟學、行為金融學，說不定可以找到一個適合大眾使用的數學公式。參考文獻1陳浩武，唐元虎，淺析期權定價理論，技術經濟與管理研究，2003,4:23-242錢立，簡評期權定價理論的主要發展，經濟科學，2000,4:89-973
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論文 股票價格的期權定價模型分析
