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1、單擊此處編輯母版標題樣式,,單擊此處編輯母版文本樣式,,第二級,,第三級,,第四級,,第五級,,,*,*,三、冪級數的性質,1,加減法,設,f,(,x,)=,和,g,(,x,)=,,的收斂半徑,分別各為,R,1,>0,和,R,2,>0,,,,則,=,f,(,x,),?,g,(,x,).,的收斂半徑,,R,,? min{,R,1,,,R,2,},.,2,,設冪級數 的收斂半徑,R,>0,,則在收斂區間,(,?,R,,,R,),內,,,其,和函數,S,(,x,),是,連續,函數,.,若級數 在端點收斂,,,則,S,(,x,),在端點單側連續,.,,
2、3,冪級數 的和函數,S,(,x,),在收斂區間,(,?,R,,,R,),內可導,,,并可以,逐項求導,任意次,,,且求導后級數的收斂半徑不變,.,即,,f,?,(,x,),=,x,,?(?,R,,,R,),,4,冪級數 的和函數,S,(,x,),在收斂區間,(,?,R,,,R,),內可積,,,并可,逐項求積分,,,且積分后級數的收斂半徑不變,.,x,,?(?,R,,,R,),,即,n,=1,,(,a,n,x,n,),?,,,注,,:,常用已知和函數的冪級數,(1),(,?,1<,x,<1),(2),(3),(4),(5),,二、麥克勞林,(,Mac
3、laurin,),公式,三、,泰勒級數,一、泰勒公式的建立,§7.6,泰勒,(,Taylor,),公式與泰勒級數,4,,一次多項式,在微分的應用中有近似計算公式,:,若,f,?,(,x,0,),存在,,,則在,x,0,點附近有,f,(,x,) =,f,(,x,0,) +,f,?(,x,0,) (,x,?,x,0,),f,(,x,),?,,f,(,x,0,) +,f,?(,x,0,) (,x,?,x,0,),+,o,(,x,?,x,0,),需要解決的問題,如何提高精度,?,如何估計誤差,?,不足,:,1.,精確度不高,;,2.,誤差不能定量的估計,.,希望,:,在,x,0,點附近,,,用適當的,
4、高次多項式,P,n,(,x,)=,a,0,+,a,1,(,x,?,x,0,)+,a,2,(,x,?,x,0,),2,+,···,+,a,n,(,x,?,x,0,),n,?,f,(,x,),,一、泰勒公式,,猜想,2,若有相同的切線,3,若彎曲方向相同,近似程度越來越好,,n,次多項式系數的確定,,1,若在,x,0,點相交,P,n,(,x,0,)=,f,(,x,0,),P,n,?,(,x,0,)=,f,?,(,x,0,),P,n,?,(,x,0,)=,f,?,,(,x,0,),??????,y,=,f,(,x,),假設,P,n,(,k,),(,x,0,)=,f,(,k,),(,x,0,),y,=
5、,P,n,,(,x,),x,o,y,x,0,,即有,P,n,(,x,),=,a,0,+,a,1,(,x,?,x,0,)+,a,2,(,x,?,x,0,),2,+,···,+,a,n,(,x,?,x,0,),n,假設,P,n,(,k,),(,x,0,)=,f,(,k,),(,x,0,),P,n,,(,n,),(,x,),=,n,!,a,n,P,n,?,,(,x,),=,a,1,+2,a,2,(,x,?,x,0,)+3,a,3,(,x,?,x,0,),2,+,···,+,na,n,(,x,?,x,0,),n,?,1,P,n,?,(,x,),=2,a,2,+3?2,a,2,(,x,?,x,0,)+,
6、···,+,n,?(,n,?1,)?,a,n,(,x,?,x,0,),n,?2,??????,a,0,=,,f,(,x,0,),,2,a,2,=,f,?,(,x,0,),,n,!,a,n,=,f,(,n,),(,x,0,),,??????,k,=0, 1, 2,,3,,···,,n,令,x,,=,x,0,得,a,1,=,f,?,(,x,0,),,??????,a,0,=,,f,(,x,0,),,a,1,=,f,?,(,x,0,),,,k,=0, 1, 2,,3,,···,,n,代入,P,n,(,x,),中得,P,n,(,x,),=,f,(,x,0,),+,f,?(,x,0,),(,x,?,x,
7、0,)+,(,x,?,x,0,),2,+,···,+ (,x,?,x,0,),n,P,n,(,x,),=,a,0,+,a,1,(,x,?,x,0,)+,a,2,(,x,?,x,0,),2,+,···,+,a,n,(,x,?,x,0,),n,稱為函數,f,(,x,),在,x,0,處的,泰勒多項式,.,k,=0, 1, 2,,3,,···,,n,稱為泰勒系數,f,(,x,) =,P,n,(,x,) +,o,(,x,?,x,0,),n,.,,其中,定理,1 (,泰勒中值定理,),,若函數,f,(,x,),在,x,0,點的某鄰域,U,R,(,x,0,),內具有直到,n,+1
8、,階連續導數,,,則當,x,取,U,R,(,x,0,),內任何值,時,,,f,(,x,),可按,(,x,?,x,0,),的方冪展開為,f,(,x,),=,f,(,x,0,)+,f,?(,x,0,)(,x,?,x,0,)+,(,?,,在,x,0,與,x,之間,),+,R,n,(,x,),公式,(1),稱為函數,f,(,x,),在,x,0,處的,泰勒公式,.,(1),,R,n,(,x,),稱為,拉格朗日,(,Lagrange,),余項,.,泰勒系數,k,=0, 1, 2,,,···,,n,是唯一的,.,,設,f,(,x,),=,f,(,x,0,)+,f,?(,x,0,)(,x,?,x,0,)+,k
9、,,證,由于,f,(,x,),在,U,R,(,x,0,),內具有,n,+1,階連續導數,,,作輔助函數,?,(,t,),=,f,(,x,)?[,f,(,t,)+,f,,?(,t,)(,x,?,t,)+,?,(,x,),=0,=?,(,x,0,),,不妨設,x,0,<,x,,,則,?,(,t,),在,[,x,0,,,x,],連續,,,在,(,x,0,,,x,),可導,,,羅爾定理知,,,至少存在一點,?,?,(,x,0,,,x,),,使,??,(,?,)=0,,,因,??,(,t,),=,?,f,?,(,t,),?,(,t,),=,f,(,x,)?,f,(,t,)?,f,,?(,t,)(,x,?
10、,t,),?,?,[,f,?,(,t,)(,x,?,t,),?,f,?(,t,)],?,???,所以,?,?,(,x,0,,,x,),,故,解得,k,=,f,(,n,+1),(,?,),,,x,0,>,x,時同理可證,,,,其中,f,(,x,),=,f,(0)+,f,?(0),x,+,1,?,當,x,0,=0,時,,,(,?,,在,0,與,x,之間,),或令,?,,=,?,x,, 0<,?,<1,,則,+,R,n,(,x,),.,稱為函數,f,(,x,),的,麥克勞林,(,Maclaurin,),公式,.,2,?,,f,(,x,) ?,f,(,x,0,)+,f,?(,x,0,)(,x,?,x
11、,0,)+,其誤差為,:,,R,n,(,x,),,解,例,1*,,求,f,(,x,),=,e,x,在,x,=0,的,n,階,泰勒公式,.,因為,f,(,n,),(,x,),=,e,x,,,n,=1, 2, 3,,???,所以,f,(,n,),(,0,),=,e,0,=1,,n,=1, 2, 3,,???,于是,,f,(,x,),=,e,x,在,x,=0,的,n,階,泰勒公式為,:,其中,0<,?,<1.,,定義,如果函數,f,(,x,),在,x,0,的某鄰域內是存在,任意階導數,,,則冪級數,稱為函數,f,(,x,),在,x,0,處的,泰勒級數,.,=,f,(,x,0,) +,f,?(,x,0
12、,)(,x,?,x,0,),二、泰勒級數,稱為函數,f,(,x,),的,麥克勞林級數,.,問題,:,泰勒級數在收斂區間是否收斂于,f,(,x,)?,不一定,.,,解,例,2*,,求,f,(,x,),=,sin,x,,在,x,=0,的,泰勒級數,.,當,n,=2,k,時,,,,f,(2,k,),(0),=,sin(,k,?,,)=0,,k,=0,1,2,,???,,當,n,=2,k,+1,時,,,,f,(2,k,+1),(0),=sin (,k,?,+,,),=,,(?1),k,,,得,因,=0,,于是,R,=+?,,定理,2,,f,(,x,),在,x,0,點的,泰勒級數,在,U,R,,(,x,
13、0,),內收斂于,f,(,x,),,,?,,在,U,R,,(,x,0,),內,,,R,n,(,x,),?0.,,=0,,所以,sin,x,,=,,0,?,,其中,收斂區間為,:,(,??, +?,).,,x,?,(,??, +?,).,即,,麥克勞林多項式逼近,sin,x,y,=,sin,x,y,=,x,,§7.7,初等函數的冪,級數展開式,一、直接法,(,泰勒級數法,),,二、間接法,,三、常見函數的冪級數展開式,,步驟,:,(1),求,f,(,n,),(,x,),,n,=0,1,2,,,???,(4),討論,?,并求出其收斂區間,.,(3),寫出冪級數,利用,泰勒公式,或,麥克勞林公式,將
14、,f,(,x,),展開為冪級數,若,為,0,,,則冪級數在此,收斂,區間內等,于,函數,,f,(,x,),;,若,不為,0,,,則冪級數雖然,收斂,,,但它的,和不是,f,(,x,).,一、直接法,(,泰勒級數法,),(2),計算,a,n,=,,f,(,n,),(,x,0,),,,n,=0,1,2,,,???,,解,例,1,,將,f,(,x,),=,e,x,在展開成,x,的冪級數,.,因,f,(,n,),(,x,),=,e,x,,,n,=1, 2, 3,,???,,,f,(,n,),(,0,),=,e,0,=1,,于是,,f,(,x,),=,e,x,在,x,=0,的,麥克勞林級數,為,:,其中
15、,0<,?,<1,=,0,,所以,,e,x,=1+,x,+,??,<,x,<+?.,收斂,區間為,:,(,??, +?,),,二項展開式,+???,+,nx,n,?1,+,x,n,(1+,x,),n,=,1+,nx,+,(1+,x,),?,=,1+,?x,+,?,,解,例,2,,將,f,(,x,),=(1+,x,,),?,展開成,x,的冪級數,.,n,=0,1,2,,???,,,f,(,n,),(0),=,?,(,?,?1)(,??,2)???(,?,?,n,+1),=1,,得,[(1+,x,),?,],(,n,),,=,?,(,?,?1),(,??,2,),???(,?,?,n,+,1)(1
16、+,x,),(,?? n,),,,,注意,:,當,x,=,?,1,時,,,級數的收斂性與,?,的取值有關,.,?,?,,?,1,,收斂區間為,: (,?1, 1,).,?,1<,?,<0,,,收斂區間為,: (,?1, 1],.,?,>0,,,收斂區間為,: [,?1, 1],.,所以,(1+,x,),?,的泰勒級數的收斂區間是,(?1, 1),,,,x,?(?1, 1),(1+,x,),?,=,1+,?x,+,牛頓二項式展開式,當,?,,=,,?,1,時,,,x,?,(,?1, 1,).,=,1,?,x,+,x,2,?,x,3,+,···,+(?1,),n,x,n,+,···,,三、小結,1.,如何求函數的泰勒級數,;,2.,泰勒級數收斂于函數的條件,;,3.,函數展開成泰勒級數的方法,.,,
泰勒公式和泰勒級數
