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1、單擊此處編輯母版標題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,,,*,剪力,彎矩,彎曲正應力及強度條件,彎曲切應力及強度條件,彎曲剛度分析,靜不定梁分析,,彎曲變形的計算,,,,,第七章 彎曲變形,彎曲內力,彎曲強度,彎曲變形,,,剪力彎矩彎曲正應力及強度條件彎曲切應力及強度條件彎曲剛度分析,1,1、齒輪傳動,輪齒不均勻磨損，噪聲增大，產生振動；,加速軸承磨損，降低使用壽命；若變形過大，使傳動失效。,,,,,§7-1 引言,一、彎曲實例,弊端：,,,1,2,,,,,1,2,,,1、齒輪傳動 輪齒不均勻磨損，噪聲增大，產生振動； 加速軸承,2,2、繼電器中的簧片,,,電磁力
2、,當變形足夠大時，可以有效接通電路；,觸點,,當變形不夠大時，不能有效接通電路；,簧片,,,,,工程中，一方面要限制變形，另一方面要利用變形。,,,2、繼電器中的簧片電磁力當變形足夠大時，可以有效接通電路；觸,3,,,x,w,撓曲軸,m—m,n—n,（1）撓度,,w,,：橫截面形心在垂直于軸線方向的位移,（2）轉角,θ,：橫截面繞中性軸的轉過的角度,w,θ,符號規定：向上為正，向下為負。,,符號規定：逆時針為正，順時針為負。,,（3）軸向位移,Δx,：,橫截面形心在軸線方向的位移 ，,小變形情況下，略去不計。,ΔX,x,（連續、,,光滑,平坦的平面曲線）,,w,z,,,,,,,二、梁變形的表示
3、方法,θ,,,xw撓曲軸m—mn—n（1）撓度 w ：橫截面形心在垂直于軸,4,,,(通常,θ,<1o=0.0175弧度),撓曲軸曲線性質：,,撓曲軸,x,w,x,w(x),o,θ(x),θ(x),,,（2）撓曲軸上任一點的切線斜率等于梁上該截面的轉角值。,（,1）撓曲軸上任一點的縱坐標等于梁上該截面的撓度值；,,,,,三、撓度和轉角之間的關系,,,(通常θ<1o=0.0175弧度)撓曲軸曲線性質：撓曲軸xw,5,1、中性層曲率表示的彎曲變形公式,,(純彎曲變形公式，,EI,為抗彎剛度）,,2、數學中的曲率公式,一、撓曲軸微分方程,,,M,ρ,o,x,w,,ρ(x),M(x),,,,,§7-2
4、 梁變形基本方程,,,1、中性層曲率表示的彎曲變形公式(純彎曲變形公式，EI為抗彎,6,,,3、撓曲軸微分方程,4、撓曲軸近似微分方程,弧度,,（1）在小變形條件下，,,,,,,o,x,w,,,,,,,M > 0,M < 0,（2）正負號確定：,M,與,w″,保持同號,（1）線彈性范圍,（2）小變形條件,（3）平面彎曲,適用條件：,,,3、撓曲軸微分方程4、撓曲軸近似微分方程 弧度（1）在小變形,7,二、積分法計算梁的變形,,,,C、D為積分常數，,它由位移邊界與連續,條件確定。,,,,,,,二、積分法計算梁的變形C、D為積分常數，它由位移邊界與連續,8,,,,,,,,邊界條件：,(2)鉸支
5、座：,,,,A,B,C,A,B,（1）固定端約束：,連續條件 ：,C,,,邊界條件：(2)鉸支座：ABCAB（1）固定端約束：連續條件,9,例1：,懸臂梁AB，彎曲剛度,EI,為常數，受力,F,和力偶,M = FL,作用，求,w(,x)，,θ(x),；,并計算B截面的撓度和轉角值。,解：1、 建立撓曲軸微分方程并積分,A端約束反力,F,Ay,=F,梁的彎矩方程：,L,B,M,A,F,F,Ay,x,撓曲軸近似微分方程：,,,,,x,w,,,例1：懸臂梁AB，彎曲剛度 EI 為常數，受力F 和力偶M,10,2、確定積分常數,A端為固定端約束，,x=0, w=0,x=0,,θ=0,,C,=0,,
6、 D,=0,3、撓度方程、轉角方程及B截面的轉角,將,x=L,代入轉角方程：,,,,,L,B,M,A,F,F,Ay,x,w,x,,,2、確定積分常數A端為固定端約束，x=0, w=0C=0 ,,11,,例2：由積分法求圖示梁的,w,A,、,?,A,。,解：1) 坐標系如圖；,AC,段：,則近似微分方程為：,積分可得：,,,,,,x,,,,,,w,x,,,,x,,,,,,,,,,,,,,,,,Fa,,,,a,,,,,a,,F,EI,C,A,B,,,,,,,2) 分兩段進行分析：,BC,段：,,,例2：由積分法求圖示梁的wA、?A。解：1) 坐標系如圖；A,12,,,積分可得：,則近似微分方程為：
7、,利用約束和連續條件確定,C,1,、,D,1,、,C,2,、,D,2,四個常數：,,,時,，,約束條件：,,,積分可得：則,13,連續條件：,處,，,由此可得：,即：,,,,由此可得：,,,連續條件：處，由此可得：即： 由此可得：,14,最后可得：,（向下）,（逆時針）,(2) 由約束和連續條件求積分常數；,(1) 兩段：四個常數，每增加一段，就增加 兩個積分常數；,小結：,(3) 坐標原點一律放在左邊，分段寫出,M,(,x,)；,,,(4) 注意,x,的范圍。,,,最后可得：（向下）（逆時針）(2) 由約束和連續條件求積分常,15,§7-3計算梁位移的疊加法,由于：,1）,小變形，軸向位
8、移可忽略；,簡單載荷下梁的撓度和轉角見附錄E。,因此，,梁的撓度和轉角與載荷成線性關系，可用疊加原理求復雜載荷作用下梁的撓度和轉角。,2）線彈性范圍工作。,,,,,§7-3計算梁位移的疊加法由于：1）小變形，軸向位移可忽略；,16,例：利用疊加原理求圖示彎曲剛度為,EI,的懸臂梁自由端,B,截面的撓度和轉角。,解：原荷載可看成為圖a和b兩種荷載的疊加，對應 的變形和相關量如圖所示。,F,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,l,,,,,l,,,,,l,,EI,F,A,B,,,,,,,C,D,q,B,1,F,,,,,,,,q,C,1,w,C,1,w,C,1,q,C,1,?,
9、2,l,,,,,,,,,直線,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,w,B,1,(a),q,D,1,q,B,2,w,D,1,·,,,,,,,,,,,F,,,,,,,,q,D,1,BD,,,,,,,直線,w,D,1,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,w,B,2,(b),?,,,,,例：利用疊加原理求圖示彎曲剛度為EI的懸臂梁自由端B截面的撓,17,對圖a，可得,C,截面的撓度和轉角為：,由位移關系可得此時,B,截面的撓度和轉角為：,（向下）,（順時針）,q,B,1,F,,,,,,,,q,C,1,w,C,1,w,C,1,q,C,1,?,2,l,,,,,,,,,直線,,,,,,,
10、,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,w,B,1,(a),,,,,對圖a，可得C截面的撓度和轉角為：由位移關系可得此時B截面的,18,對圖b，可得,D,截面的撓度和轉角為：,同理可得此時,B,截面的撓度和轉角為：,（向下）,（順時針）,q,D,1,q,B,2,w,D,1,·,,,,,,,,,,,F,,,,,,,,q,D,1,BD,,,,,,,直線,w,D,1,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,w,B,2,(b),?,,,,,對圖b，可得D截面的撓度和轉角為：同理可得此時B截面的撓度和,19,,,將相應的位移進行疊加，即得：,（向下）,（順時針）,,,,,將相,20,例：由疊加原理求圖示
11、彎曲剛度為,EI,的外伸梁,C,截面 的撓度和轉角以及,D,截面的撓度。,解：可將外伸梁看成是圖a和b所示的簡支梁和懸臂 梁的疊加。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,B,C,(b),F=qa,,,,,,A,EI,,D,B,qa,qa,2,/2,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(a),,,,,,,,,,,,A,C,,,,,a,,,,,a,,,,,a,,,,,,,,,,,,,,F=qa,B,D,EI,,,,,,（1）對圖a，其又可看成為圖c和d所示荷載的組合。,,,,,例：由疊加原理求圖示彎曲剛度為EI的外伸梁C截面,21,+,,,,,,A
12、,,,,,,,F=qa,(c),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,qa,2,/2,(d),,圖c中,D,截面的撓度和,B,截面的轉角為：,圖d中,D,截面的撓度和,B,截面的轉角為：,,,,,+AF=qa(c)qa2/2(d)圖c中D截面的撓度和B截面,22,將相應的位移進行疊加，即得：,（向下）,（順時針）,（2）對圖b，,C,截面的撓度和轉角分別為：,,,,,將相應的位移進行疊加，即得：（向下）（順時針）（2）對圖b，,23,,,所以：,原外伸梁,C,端的撓度和轉角也可按疊加原理求得，即：,（向下）,（順時針）,,,,,,,,,,,,A,C,,,,,a,,,,,a,,,,
13、,a,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,F=qa,B,D,EI,q,B,q,Cq,q,B,×,a,w,Cq,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,所以：原外伸梁C端的撓度和,24,例：利用疊加原理求圖示彎曲剛度為,EI,的中間鉸梁鉸 接點,B,處的撓度和,B,點右截面的轉角以及,D,截面的撓度，其中：,F,=2,qa,。,,,,,,解：可在鉸接點處將梁分成圖a和b所示兩部分，并可求得鉸接點處的一對作用力與反作用力為：,q,A,,,,,,,,,,EI,EI,F,B,C,,,,a,/2,,D,,,,,,,,,,a,,,,,a,,,,,,,,,,,,,,,
14、,,,,,,,,,,,,,,,,,,例：利用疊加原理求圖示彎曲剛度為EI的中間鉸梁鉸,25,F/,2,,,,,,,,,w,B,,,,直線,,,B,w,DF,,,w,/2,+,F/,2,,,,,,,,,,,,,,,,w,B,,,,,,,,q,B,,,,,,,,,,,,,,,C,,,,,A,,,,,,,,,,F,,,,,,,,,(a),B,C,q,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(b),F/,2,,,,,,B,,,,,,,,C,圖a和b中分別給出了兩部分的變形情況。,(c),并且圖b又可分解為圖c所示兩種載荷的組合。,,,,,F/2wB直線BwDFw/2+F/2wBqBCAF(a
15、)BC,26,,（1）對圖b，可得其,B,截面的撓度和轉角為：,進行相應的疊加可得：,（向下）,（逆時針）,,,,,（1）對圖b，可得其B,27,（2）圖a可看成為右支座有一定豎直位移（位移量為,w,B,）的簡支梁，此時,D,截面的撓度為：,（向下）,F/,2,,,,,,,,,w,B,,,,直線,,,B,w,DF,,,w,/2,A,,,,,,,,,,F,,,,,,,,,(a),,,,,（2）圖a可看成為右支座有一定豎直位移（位移量為wB）的簡支,28,§7-4 梁的剛度條件,?,提高梁的剛度的措施,1、,梁的剛度校核,,保證梁的正常工作除要滿足強度條件外，產生的變形也不能太大，應滿足剛度條件，
16、即有：,與,為許可值，可查設計手冊。,其中，,,,,,§7-4 梁的剛度條件?提高梁的剛度的措施1、梁的剛度校核,29,例：圖示空心圓截面外伸梁，已知,D,=80mm，,d,=40mm，,E,=200GPa，,C,點撓度不得大于,AB,跨長的10,-4,，,B,截面轉角不得大于10,-3,rad，,校核剛度。,解：首先,可利用圖a,由疊加原理求,w,C,和,?,B,。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,200,,,,,200,,,,,100,,A,D,B,C,F,2,=1kN,F,1,=2kN,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
17、,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,D,,,,,,,,,,d,,,,(a),,,,,,,,A,,F,2,,,,,,,,,,C,F,1,B,,,,,,,,,,,,,,l,,,,,,,,,,,,,,,,,F,1,,×,BD,,,,,,例：圖示空心圓截面外伸梁，已知D=80mm，d=40mm，E,30,圖a可看成由圖b和c的疊加而得，圖b和c分別有：,,,,,,,,,,w,C,1,q,B,1,,,,,,,,,,,,w,C,2,q,B,2,,,,,,,,,A,,,,,,,,,,,B,F,2
18、,,,,(b),,,,,,,,,A,,C,,,,,,,,,,,,,,,,,,B,M,,(c),,,,,圖a可看成由圖b和c的疊加而得，圖b和c分別有：wC1qB1,31,疊加可得：,因為：,,,,,疊加可得：因為：,32,所以：,剛度滿足。,則：,,,,,所以：剛度滿足。則：,33,2）減少梁的跨度或增加支承。,2、,提高剛度措施,除外加載荷外，梁的位移,w,、,?,還與梁的彎曲剛度,EI,成反比，與跨長,l,的,n,次方成正比，因此，提高剛度的措施有：,1）升高,EI,。,各種鋼材,E,相差不大，主要提高,I,，在截面面積,A,不變時，盡可能使面積分布遠離中性軸。,如工字形、箱形等截面。,如
19、下圖所示結構：,,,,,2）減少梁的跨度或增加支承。2、提高剛度措施,34,超靜定梁:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,B,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,B,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,C,,,,,,,,,,,,,,,B,,,,,,,,,,,,,,,,,,,超靜定梁:BABACB,35,§6-5 簡單超靜定梁,,,超靜定問題：平衡方程不能完全求解，有多余約
20、束，需列補充方程。,,解除多余約束，得到相當系統，根據變形協調條件，列補充方程,列補充方程：,F,,,,,,,,,B,q,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,B,,,,,,,,,,,,,,,,,F,A,A,M,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A,B,q,,,,,,,,,,,,l,,,,,A,q,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
21、,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,B,,,,,,,,,,Bq,,,,w,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A,,,,,,,,,,,,,F,,,,,,,,B,B,,w,,,,,BF,,,§6-5 簡單超靜定梁 超靜定問題：平衡方程不,36,,可分別求出（也可查表）梁在均布載荷和集中力作用下的撓度為,,補充方程變為,,解得,,,可分別求出（也可查表）梁在均布載荷和集中力作用下,37,,也可以取支座,A,處阻止梁端面轉動的約束作為“多余”約束，解除后可得相當系統,,根據原超靜定梁端面,A,的轉
22、角應等于零的變形相容條件，可由變形協調條件建立補充方程來求解。,,可從右向左作出剪力圖和彎矩圖,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,F,s,圖,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,M圖,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,M,A,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A,B,q,,,,,,l,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A,,,也可以取支座 A 處阻止梁端面轉動的約束作為“,38,謝謝！再見！,,,,,謝謝！再見！,39,
單輝祖材力(彎曲變形)課件
