機械專業外文文獻翻譯-外文翻譯-- 利用三次樣條函數

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畢業設計 (論文 )外文資料翻譯 學院 (系 )： 機械工程 院 專 業： 機械工程及自動化 姓 名： 學 號： 外文出處： 附 件： 指導教師評語： 此翻譯文章翻譯用詞比較準確，文筆也較為通順，為在以后工作中接觸英文資料打下了基礎 簽名： 年 月 日 注： 請將該封面與附件裝訂成冊。 附件 1：外文資料翻譯譯文 ( ) 1 s ?? 與 2? 的對比 利用 三次樣條函數的好處如下是： 1. 他們簡化計算的必要條件和數字的不穩定性由高階的曲線引起的。 2. 他們允許有轉折點的最低階的三維曲線。 3. 他們在空間中有能力扭曲。 在這章中我們將提出兩種類型的樣條（ 參量性的和非參量性的樣條），我們在這里負責解釋基本的數學推導和舉例論證他們的工具的任務。 拋物線的 三次樣條函數 考慮在 , , )著 1,...,變化描繪所得的一組數據點。我們的結果是要在所有的這些點之間通過一參量性的 三次樣條函數。參量性的三次樣條函數是表示為一或多個參量的函數的曲線。在任何兩點之間參量性的三次樣條函數等式是根據參數 t 得到的，如下： 32, 0 , 1 , 2 , 3()i i i i iS t a a a t a t? ? ? ? (, 0 , 1 , 2,,i i ia a a 和 ,3據邊界條件和曲線的 連續性和穩定性而決定的常數。注意在任何兩點之間如何定義精確的距離。如果距離是標準的，因此它的涵義是從 0到 1。在 0t? 時，樣條而， ,0 ( , )i i i i P x y? ? ? 1,..., ,0 [ , ]i i ia x y?(我們在這個時候目標是要求在每一時間間隔之間常數的值。參數 t 的弦長定義為 ? ? ? ?221 1 1i i i i it x x y y? ? ?? ? ? ?當 1 2,..., (求其它常數 考慮這三點，1, 2和 3P。讓在1232在23性的三次樣條函數。因為 ()t 的涵義是應該在1束。實際上當它們是被定義點所需要的時，在等式（ 定義常 數有 x 和 y 成分。按照 x 軸向和 y 軸向分量兩者所表示的參量性樣條函數的一般關系式如下被表達： 23, 0 , 0 , 1 , 1 , 2 , 2 , 3 , 3( ) ( ) , ( ) , , , ,i x i y i x i y i x i y i x i y i x i y iS t S t S t a a a a t a a t a a t? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (式中 10 ?和 1,..., 1 再次注意到當我們在 0t? 如 何求們得到 23, 0 , 1 , 2 , 3 0 , 0( 0 ) [ ]i i i i i i t t a a t a t a t a?? ? ? ? ? ? ? (2,1 , 2 , 3 ,100()( 0 ) 2 3ii i i i i t a a t a t ????? ??? ? ? ? ? ? ???????(因此 ,0 ( , )i i i i iS a P x y??? (已知 : n 控制 頂點 ) 1 ,1? (n 未知 ) (同樣地，我們以在點 1P 和 2P 寫入導數 2, 1 , 2 , 3()( ) 2 3ii i i tS t a a t a ? ? ? ? (2, 2 , 32()( ) 2 6ii i tS t a a ? ? ? (3,33()( ) 6 tS t ? ?? (我們由等式（ 義 三次樣條函數 ,當我們代替常數 ,0和 ,1同 從等式（ （ 得的 1S 和 2S 的時候，采取下列的形式： 231 1 , 2 , 3()i i iS t S S t a t a t?? ? ? ? (在控制頂點 ( , )x y 2,..., 1 的連續性使我們得出 1 1 1 1( ) ( 0 )i i i i iS t t S t S P? ? ? ?? ? ? ? ? 1 1 1( ) ( 0 )i i i iS t t S t S? ? ?? ? ?? ? ? ? (從那我們求出 ,2和 ,3因為已知的 和 ,2和 ,3 S? 的函數，它是更多合乎需要的表示它們 231 , 2 1 , 3 1 12, 2 1 , 3 1 1i i i i i i i ii i i i i t a t a t SS a t a t S? ? ? ?? ? ??? ? ? ???? ? ?(現在我們可以求出適合 ,2和 ,3表達式當作 1,,,i i S ?? 和 1 的函數。 利用等式（ （ 我們得到 , 2 1 12 1131( ) ( 2 )i i i i S S ?? ??? ? ? ? ? (, 3 1 1321121( ) ( )i i i i S S ?? ??? ? ? ? ? (因此，那樣條函數在 1P 和 2P 之間可以簡單的表示為 2 1 1 2 1 2 1 223112 3 2 22 2 2 2 2 23 ( ) 2 2 ( )()i S S S S S S S SS t S S t tt t t t t t? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?(在計 算機 圖形處理 的環境中和 通用算法的發展中，我們需要問下列問題： ( ) , ( ) , . . . , ( )i i nS t S t S t? 解決 1S? 和 2S? 的方法？ ,和 2t 而得到數據集點？ 2, ,..., P 中樣條函數之間的連續性？ 總之，等式（ 對于任何兩個相鄰的立方部分進行歸納而得到解答，例如當 12? ? 時的 () 1()， n 為數據點的數目。為一般的數據集改寫等式（ 我們得 1 1 1 1 1232 3 2 21 1 1 1 1 13 ( ) 2 2 ( )() i i i i i i ii i ii i i i i S S S S S SS t S S t t tt t t t t t? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?(回答前面的問題，我們首先指出那個確定 在立方部分之間的 連續性，我們必須計算 ()()的第二階導數與在他們的相應的相連點方面把他們等同起來。從等式（ 我們得到 , 2 , 3( ) 2 6i i iS t a a t?? ?? (,2(0) 2 ? (2 , 2 , 3 2( ) 2 6i i iS t a a t?? ?? (我們也能分辨那邊界條件 21( ) ( 0 )t S ??? ??? (利用等式（ （ 和（ 等式（ （ 和（ 起我們得到 1 2 1 1 1 22 2 ( )i i i i i t t S t S? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?221 2 1 2 1123() i i i i i t S S t S ? ? ? ??? ??? ? ? ??? ? ?12? ? （ 在矩陣形式中，等式（ 被明確地寫成的，顯示了那等式的重要特征。 簡而言之， 3 2 3 2 14 3 4 3 25 4 5 4 312 ( ) 0 0 00 2 ( ) 0 00 0 2 ( ) 0: : : : : : :0 0 2 ( )n n n n nt t t t St t t t St t t t St t t t S??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?222 3 2 3 2 123223 4 3 4 3 234221 1 1 2133:3n n n n n S t S S t S S t S ? ? ??????? ? ???????? ? ????????? ? ?????(等式（ 到含未知數 n 的 2n? 個等式是顯而易見的。本質上，為了求出未知數 n ，我們必須按照 S? 的兩個附加等式。 另一方面，如果端點 1S? 和 已知， 通常就是這樣在射束偏轉中分析 ,然后方程組結果形成一致的聯立方程式為我們求出所有的未知數?，F在我們能檢驗邊界條件使上述問題徹底地 解決。 邊界條件自然樣條函數 。 亦稱衰減條件，自然樣條函數由 ())t 從開始階段和到 0結束所設定第二階導數來確定。因此， 11'' '' ( 0 ) 0S S t? ? ? (1'' '' ( ) 0n n t t?? ? ? (按照 S? 寫出這些條件，我們得到兩個等式 1 2 2 1 2' 0 . 5 ' 1 . 5 ( ) /S S S S t? ? ? ( 112 ' 4 ' ( 6 / ) ( )n n n n t S S??? ? ? (增加等式（ （ 等式（ 2n? 個方程，我們 因此能求出所有的S? 定位樣條函數。 為這樣條函數提出的邊界條件是以致于在 0t? 和 的第一階導數（斜率）被確定。它們必須在等式（ 構成附加的其他兩個等式。 結 在任何兩點之間 參量性的三次樣條函數構造如下： 1. 求出最大弦長和計算 1, 2,..., nt t t 。 2. 利用等式（ 相應的 邊界條件求出 1, 2, ..., S? ? ? 。 3. 利用等式（ （ 和（ 出組成參量性三次樣條函數的系數。 范例 以下數據集 (1,1), (), ( 和 (求出參數的 三次樣條函數 在基點的兩個末端假設一種衰減形式。 解答 圖表 4.7 i xi 0 1 1 2 — 我們首先計算弦的跨度 221 1 1( ) ( )i i i i it x x y y? ? ?? ? ? ? 計算 S? 所必須的精確等式從等式（ 得 i=0) 1 2 2 1232 ( )S S S ? ? ? i=1) 233 1 3 2 2 2 3 2 3 2 2 2 12332 ( ) [ ( ) ( ) ]t S t t S t S t S S t S ? ?? ? ? ? ? ? ? i=2) 234 2 4 3 3 3 4 3 4 3 4 3 23432 ( ) [ ( ) ( ) ]t S t t S t S t S S t S ? ?? ? ? ? ? ? ? i=3) 3 4 4 3432 ( )S S S ? ? ? (利用等式（ （ 到邊界條件，與上述等式（ 者簡單地利用等式（ 起，我們得 [ ][ ] [ ]T i C? ? (式中 2 1 0 01 . 0 3 1 4 . 2 9 8 1 . 1 1 8 0[]0 0 . 7 0 7 3 . 4 7 6 1 . 0 3 10 0 1 2?????(2 2 2 22 3 2 32 1 2 1222 3 2 3 2 1 2 3 2 3 2 11 2 2 33 4 3 4 3 2 3 4 3 4 3 23 4 3 43 ( ) 3 ( )33[] [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ][ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ]x x y yS x x x x y y y yx x x x y y y S t S S t S S t S S t S St t t S t S S t S S t S St t t t??? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?= 1 2 2 34 7 1 24 5 1 22 1 2 1????????(為了給 作解答，我們經過 1[] 倍增等式（ 使其自動地得到 ,1數，得出 1[ ] [ ] [ ]i T C?? ? 式中 1 , 12 , 13 , 14 , 10 . 2 7 9 2 1 . 2 9 1 70 . 7 8 3 6 0 . 0 9 9 60 . 8 7 7 6 0 . 1 7 2 00 . 6 2 1 7 0 . 9 7 4 5? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?(現在我們使用等式（ 到 ,21, 2 12113 ( ) 1 ( 2 )()i ???? ? ??? ? ? i=1,2,3 (1 , 22 , 23 , 2000 . 4 5 2 1 . 0 6 70 . 3 6 1 1 . 1 3 5 ???? ??? ????? ?????(相似地 ,等式（ 出 ,3數 , 3 1 1321121( ) ( )( ) ( )i i i i S S ??? ??? ? ? ? (1 , 32 , 33 , 30 . 1 3 5 0 . 3 1 70 . 2 6 3 0 . 7 1 30 . 1 7 1 0 . 5 3 6 ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?(總之，我們已經得到聯接所有的 4個數據點的所有的三條樣條和他們在他們的明確形式中被表達 .。 ? ? ? ? ? ? ? ?231 1 1 0 . 2 7 9 1 . 2 9 2 0 0 0 . 1 3 5 0 . 3 1 7S t t t? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?232 1 . 5 2 0 . 7 8 4 0 . 1 0 . 4 5 2 1 . 0 6 7 0 . 2 6 3 0 . 7 1 3S t t t? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?233 2 . 5 1 . 7 5 0 . 8 7 8 0 . 1 7 2 0 . 3 6 1 1 . 1 3 5 0 . 1 7 1 0 . 5 3 6S t t t? ? ? ? ? ? (在圖 圖 參數的三次曲線是等式（ 出的。 范例 非參量性的三次樣條函數 非參量性的三次樣條函數被定義為是有唯一的單參數的函數的曲線。非參量性的三次樣條函數允許在 x 參數值和那三次樣條函數的數值之間的直線變量的關系式來決定。這從它的數學表達式中可看出： 23()S x a b x c x d x? ? ? ? (從等式（ 我們注意到那三次樣條函數是 x 獨自的函數。 如此，我們可以說在 ? ?0, 1, ..., nx x x 范圍內的時間間隔中適合于已知的數據集點 1 2, ...,, P 的 判定，我們必須建立經過所有這些點的樣條。讓每一子區間由 ,1[]來表示；因此，我們的任務將求出這些間隔中的每個 三次樣條函數。再次，我們必須得到一個為常數 ,,和 d 作解答的算法。 三次樣條函數 ()n? 三次部分樣條組成。每個點有 x 和 y 數值；因此，那 ()那間隔 1[ , ]，我們可以寫 ()i i iS x y? (1 1 1 1( ) ( )i i i iS x S x y? ? ? ??? (考慮那三次樣條函數的平滑性和連續性，從下列的情況得到： 1 1 1( ) ( )i i i iS x S x? ? ???? (1 1 1( ) ( )i i i iS x S x? ? ??? ??? (那非參量性的三次樣條函數適合于任何間隔 1x x ??? 可以表示為 23( ) ( ) ( ) ( )i i i i i i i iS x a b x x c x x d x x? ? ? ? ? ? ? (它的第一和第二導數是 22 ( ) 3 ( )i i i i i iS b c x x d x x? ? ? ? ? ? (2 6 ( )i i i iS c d x x?? ? ? ? (由等式（ （ 到樣條的利用標準，我們推斷出下列的： ()i i i iS x a y?? (2 311()i i i i i i i i i iS x a a b h c h d h??? ? ? ? ? (和 ()i i iS x b? ? (21 1 1 1( ) ( ) 2 3i i i i i i i i i iS x S x b b c h d h? ? ? ???? ? ? ? ? (1 1 1 1( ) ( ) 2 2 6i i i i i i i iS x S x c c d h? ? ? ??? ??? ? ? ? (式中 1i i ih x x??? 因為所有的 值是已知的，我們可以利用等式（ （ 出 11( 2 )3i i i i ii ia a h c cb h??????( 本質上，上述等式適合于利用 和 1求出 結果。類似這樣的函數，如果我們使用 1 和 我們將得到另一個表達式，如下： 1 1 1( 2 )3i i i i ii ia a h c cb h ? ? ?????(等式（ （ 義同樣的 一旦我們使他們相等，他們就會變成一個依據 未知 等式 111 1 1 1 12 ( ) 3 ( )i i i ii i i i i i i a a ah c h h c h c ? ? ? ? ???? ? ? ? ? (當 數被確定時，我們再一次在一矩陣形式中寫出上述等式 0 0 1 1 01 1 2 2 12 2 3 22 2 1 12 ( ) 0 00 2 ( ) 00 0 2 ( ) 0: : : : : :0 0 0 2 ( )n n n n nh h h h ch h h h ch h h ch h h h c? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?2 1 1 0101 1 2123:n n n a a a a ? ???????????????(等式（ 等式 2n? 同未知數 n 組成；因此 ,它不能被求解。但是，樣條的端點 0P 和 常被認為必須滿足完全的邊界條件。通過已知 0c 和 等式（ 于通過 1值求出其余的 1c 。 上述等式可以用緊湊結構來表示，如下 [ ][ ] [ ]c A? i=1,… , 1n? (H 和 A 可以當作它們隨精確地已知系數來分別地計算 依次，樣條的等式確定通過由等式（ 出的 著由等式（ 出的 1 1 11( 2 )3i i i i a h c cb h ? ? ?????? (13h? ?? i=0,… , 1n? (邊界條件 然樣條函數 在自然樣條函數的邊界條件中由在曲線的開始和末端的點設定第二 導數為 0時而被求出。因此， 0( ) ( ) 0nS x S x? ???? (當代入等式 (使我們得出 0 0 (位樣條函數 定位的邊界條件由在 x 和 定第一導數（ 斜率）來求出。簡而言之， 00( ) ( )S x f x??? (和 ( ) ( )x f x??? (當 f? 是一個指 定函數。下列范例說明這種方法計算 非參量性的三次樣條函數和使它的有用的部分最顯著。注意在唯一的一個簡單化的方法中我們已經采用樣條的基本概念；它被留給讀者去研究在這個最主要的曲線擬合法之后數學的推進。 范例 在下面的表格中顯示出的點求出 非參量性的三次樣條函數（自然樣條函數）。 i 0 1 1 2 1 n=2 — 解答： 第 1步：控制點 ,時間間隔和 第 2步：求出 1c ： 自然樣條 (0c =2c =0) 2 1 1 00 0 0 1 1 1 2 102 ( ) 3 ( )a a a ah c h h c h c ? ? ? ? ? 1 1 . 7 5 2 2 10 . 5 0 2 ( 0 . 5 1 ) 1 0 3 ( )1 0 . 5c ??? ? ? ? ? ? ? 13 3 ( 0 2 )c ? ? ? 1 ? 第 3步：求出 和 11( 2 )3i i i i ii ia a h c cb h? ? ???? i = 0,… , 1n? 1 1 11( 2 )3i i i i a h c ? ?????? i = 1,… , n 13h? ?? i = 0,… , 1n? 1 0 0 0 1001000( 2 ) 2 . 3 7 5301 . 53a a h c ? ? ? ???? ??? ? ? ???2 1 1 1 2112111( 2 ) 1 . 2 5310 . 7 53a a h c ? ? ? ???? ??? ????結果如下 i 0 1 1 0 2 n? — — 0 — 圖 非參量性的三次樣條函數。 貝塞爾曲線 貝塞爾曲線的形狀是由那位置上的交點來定義的，并且那曲線不能與除邊界點之外的所有的已知點相交。在確實的情況中，存在著不適當的交點或不適合地定位點，那三次樣條函數的方法在不判定更多點時不能形成平滑曲線。貝塞爾曲線允許非限制曲線的彎曲度適當地貫穿所有的點。這樣可設想曲線的形狀適合由一系列的點所定義的多邊形。 貝塞爾曲線的數學基礎（影響彎曲的形狀的重量因素）與伯恩斯坦基礎相關，通過下列 , ( ) (1 )i n nJ t t ???????? (式中 !!( ) !n ni i n i????????和 !n 定義為 **! ( 1 ) ( 2 ) * . . .n n n n? ? ? (在有序集合中 n 是 多項式的階和 i 是 特殊的極點（在 0 到 n 之間）。那曲線的交點被定義為 ,1( ) ( )n i n t S J t?? ? (0 1)t?? (從 1i? 到 n ，和 相當于不同的點的矢量分量。 為了建立貝塞爾曲線，我們必須求 ,值，它有參數 t 的函數。它是假設在it n? 時 ,在最大值的函數和 ,由其給予的 , ( ) ( )( ) ( ) ni n i n i n iJ n i n??? (下列范例說明貝塞爾曲線的曲線擬合法。 范例 定貝塞爾曲線經過下列各點： ? ?0 01P ? ? ?1 25P ? ? ?2 45P ? ? ?3 61P ? 求出 貝塞爾曲線經過這些點的間距。 解答 我們 注意到 4個點構成貝塞爾曲線的多邊形。因為我們有 4個判定極點，則3n? 。 利用等式 (們可求出 J 函數的值，式中 0 3 33 , 023 , 123 , 233 , 3( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )( ) 3 ( 1 )( ) 3 ( 1 )()J t t t tJ t tJ t t tJ t t? ? ? ??????(因此， 0 3 , 0 1 3 , 1 2 3 , 2 2 3 , 3()S t P J P J P J P J? ? ? ? (因為不同的 t 的值，在圖表 可以求出 貝塞爾曲線適合的系數。結果是 ()? ?(0) 0 1S ? ? ?( 0 . 1 5 ) 0 . 9 2 . 5 2 9S ? ? ?( 0 . 3 5 ) 2 . 1 0 2 3 . 7 3 3S ? ? ?(0 3 4S ? ? ?( 0 . 6 5 ) 3 . 9 0 4 3 . 7 3 3S ? ? ?( 0 . 8 5 ) 5 . 0 9 9 2 . 5 2 9S ? ? ?(1) 6 1S ? 那答案被 繪制在圖 圖 貝塞爾曲線表示為圖表 表 貝塞爾曲線 函數 的賦值 3 , 1( 0 ,1, 2 , 3 ) 按照參數 t t 3,0J 3,1J 3,2J 3,3J 0 1 0 0 0 0 0 0 1 范例 塞爾曲線等式的區別 貝塞爾曲線利用一階乘積的表達式和需要為了簡單化的計算而需要限制緊湊結構的 , ()我們知道任何曲線的 函數 必須是在交點那個時候的區別，是定位最小值或最大值，斜率，和邊界點的必要條件。讓我們從那貝塞爾曲線正如等式 (所定義的開始，式中 ,1( ) ( )n i n t S J t?? ? (0 1)t?? (利用由等式 (部分地區別，我們獲得 ,,11() ( ) ( )n i i n t S J t S J ?????? (讓我們尋找一個由 和 J? 兩者都為了完成我們的區別的表達式。注解 變為零是因為它在 i 時表示出的特征值，和 , ( ) ( 1 )i n t t ????? ?????????? 11( 1 ) ( 1 ) ( 1 )i n i i n t t n t ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?(代替等式 (成等式 (我們得出 貝塞爾曲線的區別 11() ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )i n i i n t i t t S n t t ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? (上述等式注意到左邊和右邊的關系和標志在 i 和 1i? 通過 i 隨著 1j? 在左邊關系簡單地轉換使我們可以引導 S 的數值。 簡而言之 11 11100() ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( 1 )1nn j n j i n t j t t S n i t t ? ? ? ????? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ???(式中 1( 1 )1 ? ? ???? ? ? ??? ? ? ?和 1() i ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?然后等式 (下列的式子 ? ?1 1101() ( 1 )n i n j t n t t S ???????? ? ??????(在貝塞爾曲線中 起來控制頂點的數目影響曲線的真實度。此外，在貝塞爾曲線中的混合 函數 的性質無法考慮到一個比較容易的方法修正當前曲線的形狀。 ,0( ) ( )n i i t S N t?? ? 11()t t???? (式中 , 1 1 , 1, 11( ) ( ) ( ) ( )() i i k i k i i k i i k it t N t t t N t t t t? ? ? ?? ? ? ??????? (和 ,1 1() 0 ?? 1t t ??? 其余的全部 (此外， 被認為是節點值并需要求值是為可獲得所有的 N 的函數。知道 ,1一常數；所以，根據等式 (,2比例為 1的一個 函數。類似這樣式子我們可看見 , () 1)k? ，當 k 是更大的時就要求按 1的比例。 k 的數值 明確表示曲線的種類。 這有兩種節點的類型： a) 周期性的節點： iT i k?? (0 )i n k? ? ? (b) 非周期性的節點： 0 12it i ? ? ??? ???0 i nn i n k????? ? ?(當 明確表示周期性的節點的 曲線無法經過第一個和最后一個點時，就由貝塞爾曲線來確定，反之非周期性的節點確定第一個和最后一個點經過曲線。這個是由于述。 范例 例 3定義 為控制點的彎曲由 0, 1 2 解答： 當那相鄰的節點之間的間隔總是 1時，這個定義那統一的節點情況。從等式(我們獲得那節點值如下： 0 1 2 3 40 , 0 , 0 , 1 , 1 ,t t t t t? ? ? ? ? 和 5 1t ? (注解 2n? k? ) 從等式 (們得到 , ()們需要求出 N 的函數相當于按要求排序點 1, 2, 和 3。從 0t 到 我們定義 ( 1)n? 的混合函數。 種類 1. 讓我們求解全部可能的函數。 0, 11, 12, 13, 14, 11()01()1()01()01()0 ???? ???? ???? ???? ??0112233445t t t t t t ????????( 從以上可知在 0t? 和 1t? 時我們需要選擇非零的函數。因為我們選擇 2,1()0,1)內有特征值為 1的僅有的非零的函數。 種類 2. 我們獲得種類 2 ,2函數如下： 1 1 , 1 3 2 , 11 , 2 2 1 3 2( ) ( )() t t N t t t t t t?????? 2, 1(1 )(1 )??(附件 2：外文原文 （復印件） ) 1 s ?? ? . of as 1. 2. 3. to in In we of we of to a of in , ),...,. is to a A is a is as a of or is in of a t as 32, 0 , 1 , 2 , 3()i i i i iS t a a a t a t? ? ? ? (, 0 , 1 , 2,,i i ia a a 3of t a So if is t? , is to 0 ,0 ( , )i i i i P x y? ? ? 1,..., ,0 [ , ]i i ia x y?(at is to t is ? ? ? ?221 1 1i i i i it x x y y? ? ?? ? ? ? 1 2,..., (is as 1, 2P. t. iS?P. )P, of t tt?P. In x y as to A of in of x? y? be as 23, 0 , 0 , 1 , 1 , 2 , 2 , 3 , 3( ) ( ) , ( ) , , , ,i x i y i x i y i x i y i x i y i x i y iS t S t S t a a a a t a a t a a t? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (0 ? 1,..., 1 we t? as as we 3, 0 , 1 , 2 , 3 0 , 0( 0 ) [ ]i i i i i i t t a a t a t a t a?? ? ? ? ? ? ? (2,1 , 2 , 3 ,100()( 0 ) 2 3ii i i i i t a a t a t ????? ??? ? ? ? ? ? ???????(0 ( , )i i i i iS a P x y??? (n 1 ,1? (n (we at P P , 1 , 2 , 3()( ) 2 3ii i i tS t a a t a ? ? ? ? (2, 2 , 32()( ) 2 6ii i tS t a a ? ? ? (3,33()( ) 6 tS t ? ?? (by we 01S S 231 1 , 2 , 3()i i iS t S S t a t a t?? ? ? ? (at , )x y 2,..., 1 1 1 1( ) ( 0 )i i i i iS t t S t